初赛第1讲有效数字

1、初赛第1讲 有效数字1. 1.在化学计算和化学实验中正确使用有效在化学计算和化学实验中正确使用有效数字数字内容要求：内容要求：4.4.实验方法对有效数字的制约实验方法对有效数字的制约2.2.定量仪器（天平、量筒、移液管、滴定定量仪器（天平、量筒、移液管、滴定管、容量瓶等等）测量数据的有效数字管、容量瓶等等）测量数据的有效数字3.3.数字运算的约化规则和运算结果的有效数字运算的约化规则和运算结果的有效数字数字1.1.准确度准确度表示测量值与真实值的符合程度。测量值与真表示测量值与真实值的符合程度。测量值与真实值愈接近，测量愈准确。准确度的高低用误差大实值愈接近，测量愈准确。准确度的高低用误差大小

2、表示。小表示。2.2.误差误差 绝对误差绝对误差(E): 表示测量值与真实值之差，简称误差表示测量值与真实值之差，简称误差 E=Xi-XT测量值测量值 真实值真实值 相对误差相对误差(RE): 绝对误差与真实值之比，常用百分绝对误差与真实值之比，常用百分 率表示率表示 RE=E/XT100%例：例：实验测得过氧化氢溶液的含量实验测得过氧化氢溶液的含量 w(H2O2)为为0.2898，若试样中过氧化氢的实值若试样中过氧化氢的实值w(H2O2)为为0.2902，则测量，则测量结果的绝对误差和相对误差分别是多少？结果的绝对误差和相对误差分别是多少？E=0.2898-0.2902=-0.0004RE=

3、(-0.0004)/0.2902100%=-0.14%结论结论: E和和RE都有正负之分。正值表示分析结果偏高都有正负之分。正值表示分析结果偏高,负值表示分析结果偏低。其中负值表示分析结果偏低。其中RE能反映误差在真实能反映误差在真实结果中所占的比例，这对于比较在各种情况下测定结果中所占的比例，这对于比较在各种情况下测定结果的准确度更为方便，所以分析结果的准确度用结果的准确度更为方便，所以分析结果的准确度用RE表示更具实际意义。表示更具实际意义。1.1.精密度精密度表示在相同条件下，同一试样的重复测定值之表示在相同条件下，同一试样的重复测定值之间的符合程度。精密度高低用偏差大小表示。间的符合程

4、度。精密度高低用偏差大小表示。相对偏差相对偏差(Rd)：是绝对偏差与平均值之比，常用：是绝对偏差与平均值之比，常用 百分率表示。百分率表示。 Rd=d/X100% 准确度与精密度是两个不同的概念，精密是准准确度与精密度是两个不同的概念，精密是准确的前提。确的前提。2.2.偏差偏差绝对偏差绝对偏差(d)：是某一测定值：是某一测定值Xi与平均值与平均值X之差。之差。 d= XiX测量仪器测量仪器 准确度准确度分析天平分析天平 托盘天平托盘天平 10mL量筒量筒 移液管移液管 滴定管滴定管 容量瓶容量瓶 0.0001g0.1g0.1mL非常准确非常准确0.01mL非常准确非常准确例例1：甲、乙、丙三

5、位同学读取滴定管中一定量液甲、乙、丙三位同学读取滴定管中一定量液体的体积，分别得到体的体积，分别得到23.43mL、23.42mL、23.44mL三个数据。试说明这是为什么？是不是这三位同学三个数据。试说明这是为什么？是不是这三位同学读数出现了错误？读数出现了错误？准确数字：准确数字：根据刻度直接读出的数字根据刻度直接读出的数字可疑数字：可疑数字：没有刻度估计出来的数字（只能有一位）没有刻度估计出来的数字（只能有一位）读数相对误差：读数相对误差：1 12343234310001000RERE= = =0.40.4讨论：讨论：（1 1）若要求中和滴定测量时的相对误差小于）若要求中和滴定测量时的相

6、对误差小于1，对，对滴定剂的体积有何要求？滴定剂的体积有何要求？（2 2）如何减少滴定误差？）如何减少滴定误差？措施：措施：增加试剂用量；增加试剂用量；尽可能在第一次读数时调节尽可能在第一次读数时调节液面位置刚好在刻度线上；液面位置刚好在刻度线上；多次测定，求平均值等。多次测定，求平均值等。有效数字：有效数字：指测量中得到的有实际意义的数值。指测量中得到的有实际意义的数值。有效数字准确数字有效数字准确数字+1+1位可疑数字位可疑数字1.1.有效数字的位数有效数字的位数有效数字的位数，应根据分析方法与仪器的准确有效数字的位数，应根据分析方法与仪器的准确度来决定，一般使测得的数值中只有最后一位是可

7、疑度来决定，一般使测得的数值中只有最后一位是可疑的。自然数、分数、倍数等有效数字位数视作无限的。自然数、分数、倍数等有效数字位数视作无限例：例：分析天平称得某物质质量为分析天平称得某物质质量为0.5000g，其有效，其有效数字位数为数字位数为4，不能记作，不能记作0.5g。前者表明称得物质。前者表明称得物质质量为质量为0.5000g，且其称量误差为，且其称量误差为0.0001g，后者，后者表明称得物质质量为表明称得物质质量为0.5g，且其称量误差为，且其称量误差为0.1g。2.2.有效数字的中有效数字的中“0”0”的意义的意义 “0”在有效数字中有两种意义：一种是作为数在有效数字中有两种意义：

8、一种是作为数字定值，另一种是有效数字。字定值，另一种是有效数字。 例如在分析天平上称量物质，得到如下质量：例如在分析天平上称量物质，得到如下质量： 6位位 5位位 4位位 3位位 数字中间的数字中间的“0”和末尾的和末尾的“0”都是有效数字，都是有效数字，而数字前面所有的而数字前面所有的“0”只起定值作用。只起定值作用。以以“0”结尾结尾的正整数，有效数字的位数不确定。的正整数，有效数字的位数不确定。 科学计数法：科学计数法：4.5103 2位有效数字位有效数字4.50103 3 位有效数字位有效数字4.500103 4 位有效数字位有效数字 很大或很小的数，常用很大或很小的数，常用10的乘方

9、表示。当有的乘方表示。当有效数字确定后，在书写时一般只保留一位可疑数效数字确定后，在书写时一般只保留一位可疑数字，多余数字按数字修约规则处理。字，多余数字按数字修约规则处理。 3.3.有效数字位数与相对误差的关系有效数字位数与相对误差的关系例：例：设下列三个数的最后一位数字都有设下列三个数的最后一位数字都有1的绝对的绝对误差，则它们的相对误差分别为多少？误差，则它们的相对误差分别为多少？0.0121、25.64、1.0578210008 (3位位)11211256410000.4 (4位位)110578210000.009 (6位位)有效数字位数越多，相对误差越小，准确度越高有效数字位数越多，

10、相对误差越小，准确度越高 测量结果所记录的数字，应与所用仪器测量测量结果所记录的数字，应与所用仪器测量的精密度相适应的精密度相适应这一法则的具体运用如下：这一法则的具体运用如下：4.4.有效数字修约规则有效数字修约规则四舍六入五成双，即当尾数四舍六入五成双，即当尾数4时舍去，尾数时舍去，尾数6时进位。当尾数为时进位。当尾数为5时，则应视被保留末位数字时，则应视被保留末位数字是奇数还是偶数，是奇数还是偶数，5前为偶数应将前为偶数应将5舍去，舍去，5前为奇前为奇数应将数应将5进位。进位。“四舍六入五成双四舍六入五成双”法则：法则：a. 将将28.175和和28.165处理成处理成4位有效数字，则分

11、别为位有效数字，则分别为 28.18和和28.16。b. 若被舍弃的第一位数字大于若被舍弃的第一位数字大于5，则其前一位数字加，则其前一位数字加 1，例如，例如28.2645处理成处理成3位有效数字时，其被舍去位有效数字时，其被舍去 的第一位数字为的第一位数字为6，大于，大于5，则有效数字应为，则有效数字应为28.3。 若被舍弃的第一位数字小于若被舍弃的第一位数字小于5，则舍去，例如，则舍去，例如 1.63499处理成处理成3位有效数字时，其被舍去的第一位有效数字时，其被舍去的第一位位 数字为数字为4，小于，小于5，则有效数字应为，则有效数字应为1.63。c. 若被舍弃的第一位数字等于若被舍弃

12、的第一位数字等于5，而其后数字全部为，而其后数字全部为 零时，则视被保留末位数字为奇数或偶数（零视零时，则视被保留末位数字为奇数或偶数（零视 为偶），而定进或舍，末位数是奇数时进为偶），而定进或舍，末位数是奇数时进1，末位，末位 数为偶数时舍弃，例如数为偶数时舍弃，例如28.350、28.250、28.050处处 理成理成3位有效数字时，分别为位有效数字时，分别为28.4、28.2、28.0。 若被舍弃的第一位数字为若被舍弃的第一位数字为5，而其后的数字并非全，而其后的数字并非全 部为零时，则进部为零时，则进1，例如例如28.2501，只取，只取3位有效数位有效数 字时，成为字时，成为28.3

13、。d. 若被舍弃的数字包括几位数字时，若被舍弃的数字包括几位数字时，不得对该数字不得对该数字 进行连续修约，进行连续修约，而应根据以上各条作一次处理。而应根据以上各条作一次处理。 如如2.154546 ，只取，只取3位有效数字时，应为位有效数字时，应为2.15，而，而 不得按下法连续修约为不得按下法连续修约为2.16： 2.1545462.154552.15462.1552.165.5.有效数字运算规则有效数字运算规则（1）加法和减法）加法和减法在计算几个数字相加或相减时，它们的和或差只在计算几个数字相加或相减时，它们的和或差只能保留一位可疑数字，即有效数字位数的保留，应以能保留一位可疑数字，

14、即有效数字位数的保留，应以小数点后位数最少的数为依据。如将小数点后位数最少的数为依据。如将3.0113、41.25及及0.357相加，见下式（可疑数以相加，见下式（可疑数以“x x”标出）；标出）； 3.0113.0113 3 41.2 41.25 5+) 0.35+) 0.357 7 44.6 44.618318344.644.62 2可见，小数点后位数最小的数可见，小数点后位数最小的数41.25中的中的5已是可已是可疑，相加后使得疑，相加后使得44.6183中的中的1也可疑，所以，再多保也可疑，所以，再多保留几位已无意义，也不符合有效数字只保留一位可留几位已无意义，也不符合有效数字只保留一

15、位可疑数字的原则，这样相加后，结果应是疑数字的原则，这样相加后，结果应是44.62。 3.0113.0113 3 3.013.01 41.2 41.25 5 41.241.25 5 0.35 0.357 7 +)+) 0.30.36 6 44.644.62 2先取舍先取舍再运算再运算练习练习1 1：0.0121+25.64+1.05782? 0.010.01 25.64 25.64+) 1.06+) 1.06 26. 26.7171 0.01210.0121 25.64 25.64+) 1.05782+) 1.05782 26. 26.7099270992练习练习2 2：36+2.51+0.4

16、987? 36 36 3 3+) 0+) 0 39 39 加减法中涉及到的是相同的物理量，计算时加减法中涉及到的是相同的物理量，计算时以测量精度最差的数据作为标准。以测量精度最差的数据作为标准。（2）乘法和除法）乘法和除法乘除法中涉及不同的物理量，计算所得结果的相乘除法中涉及不同的物理量，计算所得结果的相对误差等于各测量数值的相对误差的总和，因此有效对误差等于各测量数值的相对误差的总和，因此有效数字的保留，应根据这一原则进行判断。数字的保留，应根据这一原则进行判断。例：例：0.0121 125.641.05782? 相对极值误差（相对误差的总和）为：相对极值误差（相对误差的总和）为： 88+0

17、.4+0.00988可见相对极值误差由有效数字位数最少可见相对极值误差由有效数字位数最少( (即相对即相对误差最大误差最大)的数决定。即在计算几个数相乘或相除时，的数决定。即在计算几个数相乘或相除时，其积或商的有效数字位数应以有效数字位数最少的为其积或商的有效数字位数应以有效数字位数最少的为准。如准。如1.211与与1. .2相乘：相乘： 1.21 1.211 1 1.1.2 2 24222422 121 1211 1 1 1453245321.51.5 1.2 1.2 1.1.2 2 2424 12 12 1 144441.41.4先取舍先取舍再运算再运算乘除法中，计算有效数字位乘除法中，计

18、算有效数字位数时，对于第一位的数值大于数时，对于第一位的数值大于7的数，则有效数字的总位数可的数，则有效数字的总位数可多算一位。例如多算一位。例如8.78，虽然只有，虽然只有3位数字，但第一位的数大于位数字，但第一位的数大于7，已接近于已接近于10.0010.00，所以运算时可，所以运算时可看作看作4位。位。练习：练习：0.0121 125.641.05782?以上以上3个数的乘积应为：个数的乘积应为：0.012125.61.06 60.328（3）对数）对数进行对数运算时，对数值的有效数字只由尾数部进行对数运算时，对数值的有效数字只由尾数部分的位数决定，首数部分为分的位数决定，首数部分为10

19、的幂数，不是有效数字。的幂数，不是有效数字。例：例：lg2345=3.3701 四位有效数字，首数四位有效数字，首数3不是有效数字不是有效数字lg2345=3.370 错。错。只有只有3位有效数字，与原数不符位有效数字，与原数不符c c( (H+) )4.910-11molL-1pH10.31正确正确pH10.31c c( (H+) )4.89810-11molL-1错误错误大量数据运算中大量数据运算中，为使误差不迅速积累，对，为使误差不迅速积累，对参加运算的所有数据，可以多保留一位可疑数字参加运算的所有数据，可以多保留一位可疑数字（多保留的叫（多保留的叫“安全数字安全数字”）。此法加减和乘除

20、）。此法加减和乘除均适用。均适用。在一般的定量分析实验中，要求相对误差不在一般的定量分析实验中，要求相对误差不超过超过11(四位有效数字即达到要求四位有效数字即达到要求)，如果测量数，如果测量数据多于四位有效数字时，测量结果只须保留四位据多于四位有效数字时，测量结果只须保留四位有效数字，如果测量数据小于有效数字，如果测量数据小于4 4位有效数字，应按位有效数字，应按有效数字位数最少的位数保留有效数字位数最少的位数保留(可能达不到相对误可能达不到相对误差不超过差不超过1的要求的要求) )。中和滴定时试剂用量不得。中和滴定时试剂用量不得少于少于20.00mL。1 1正确地记录测量数据正确地记录测量

21、数据例例1 1：万分之一分析天平称得某物重万分之一分析天平称得某物重0.2500g，不能，不能 记录为记录为0.250g或或0.25g。例例2 2：滴定管上读取溶液的体积为滴定管上读取溶液的体积为24mL时，应该记时，应该记 为为24.00mL，不能记为，不能记为24mL或或24.0mL。2 2正确地确定用量和选用适当的仪器正确地确定用量和选用适当的仪器一般定量实验要求相对误差不超过一般定量实验要求相对误差不超过11即即0.1%。若样品重为若样品重为23g时，不需要万分之一克的分析天平，时，不需要万分之一克的分析天平，用千分之一天平即可。用千分之一天平即可。 0.0020.002 2.000

22、2.000100%=100%=0.1% 0.1% 3 3正确地表示分析结果正确地表示分析结果例：例：分析煤中含硫量时，称取样品分析煤中含硫量时，称取样品3.5g3.5g，两次测得，两次测得结果（结果（S%）：甲为）：甲为0.042%和和0.041%，乙为，乙为0.04201%和和0.04199%，应采用谁的结果？为什么？，应采用谁的结果？为什么？分析：分析：0.001/0.042100%2% ( (甲的准确度甲的准确度)0.0000001/0.0420101100%0.0.02%( (乙的准确度乙的准确度)0.1/3 3.5 5100%3 3% ( (称样的准确度称样的准确度) 甲的准确度与称样的准确度是一致的，而乙的甲的准确度与称样的准确度是一致的，而乙的准确度大大超过了称样的准确度，是没有意义的。准确度大大超过了称样的准确度，是没有意义的。练习：练习：1判断有效数字位数：判断有效数字位数：（1）10.030； （2）40.02%；（3）pH4.74；（；（4）