2011年合工大工程硕士矩阵理论考试范围与重要习题

1、2011年合工大工程硕士矩阵理论考试范围与重要习题1、两个子空间的直和例：设V1和V2分别是齐次方程组x1+x2+.+%=0和x1=x2=.=xn的解空间，证明V=mv2。证明：因方程组xi+x2+.+xn=0和xi=x2=.=%,只有零解，故V11V2=0,从而V1+V2=V1©V2,且V何V2是V的子空间，即V何V2<V。又Vi的维数是n-1,V2的维数是1故V13V2的维数是n维，所以MsynV。注：任给一个V的子空间v1，可以找到子空间V2使得：V=v1©v2此式称为V的一个直和分解，V1,V2称为互补空间2、线性空间中线性变换的象空间与核例题1:证明：线性空

2、间V的线性变换T的象空间和核都是V的子空间证明：因为V非空，所以TV步空_x,yV,.-PxyV,xVTxTy-T(xy)TV)Tx=T(x)TV)故是T(V足V勺线性子空间因为所以非空因为0WkeT(所以TeH交)Vx,ywkeT(V>,wP则Tx=T»0于是T(xy)=TxTy=瞅xykTer()T(九x)=，uTx故KxWkTr()因此keT(用M性子空间。例题2:线性空间V中的线性变化T的象空间和核的维数之和等于V的维数dim(T(V)+dim(ker(T)=dim(V)证明：设dim(V)=ndim(ker(T)=s只需证明dim(T(V)=n-s即可取ker(T)的

3、一组基x1,x2,.,Xs再添加n-s个向量将这组向量扩充为V的一组基xi,X2,.,xs,ys+i,ys+2,.,*对-x-VX=?JX什九X2.十九sxs+Ns+ys+1.+yynn则Tx=iTxi-Tx2sTxssTysi.Tynn=JsiTys1.nTynT(V)=SparTysi,Tysi,.,Tysi现在只需证明Tys+i,Tys节,Tyn线性无关。设ksiTysiks2Tys2.knTyn=0则：T(ksiysiks2ys.2.knyn)=0故ksiTysiks2Tys2.knTynker(T)于是ks+iys+i+ks节ys+2+knyn可由玉？2，.?$线性表示即ksiysi

4、ks2ys2.knyn=lixi12x2.|sxs故有lixi12x2.lsxs-ksiysi-ks2ys2-.-knyn=0I3xi,x2,.,xs,ys+,.,yn是V的一组基，所以|i=l2=.=ksi=.=kn=0因此Tys乜Tys节,.，Tyn线性无关3、过渡矩阵线性变换在给定基下的矩阵例题：已知i3中的线性变换T在基彳=(-i,i,i：T、2=(i,0,-1T二7。/，4i0i'下的矩阵是ii0L2l求T在基e=(i,0,0)T,e2=(Q1,0)t,q=(0,0,i)T下的矩阵。解：设基。£,£到e©©的过度矩阵为Q2,3-1<

5、;0即:1J所以T在基0,62,4下的矩阵B为,101_1一B=Q110QL21-110'0111=10/11041j_11八_12110,1-11-2=2202024、定理：内积空间中必存在标准正交基(施密特正交化)例：设61,62,63,04©是i5中的一组标准正交基VnSpaMctcazRs其中1=G.65,：2=61-0264/3=2610263求V的一组标准正交基解：设k1al+k2a2+k3a3=0,即有kk22k3s-k2-k362ksQ*264g=0因为耳©©©,线性无关，故k1=k2=k3=0因此口口2,口3线性无关，所以1al

6、p2p3是V的一组基。现将其化为标准正交基，首先将其正交化取1=：1=q.65,2=)2二上，11,1231,112,22e一%,64,61,652-61-6264_4,1561-65e65,6165H©-戈.64-20-65="1一%64-晶v、(261+62+63,61+65),.(2s+62+6356|-金+a-65)3:26162ce6511-6|65,6165206264265,2616264265=26Q?©3一反G.6二向金3-65再将其单位化煮(el-20+2Q-皿2_22一J2,21=2eie263-655、正交矩阵与酉矩阵的性质与判定例1:设口

7、是n维欧氏空间V中的单位向量，定义V中的变换T为Tx=x-2(ot,x/。证明T为正交变换证明：-x,y三V,-九三：T(x加(x*2(,x：y)=(x+y)2Mx+P(y,)=x-2(x:)y：2(y,=)TxTyT(x)-x-2：(,x)='x-2,(t,x-)='x'2(x,Tx故T是V的线性变换-xV2Tx=(TxTx>x(-2仅二，x)一,二x2(,)=(x,x>x,2仅二；)：(x2：(x,);x:(2(x:),2(,)=(x,x>2(x,x)(-：)x2：(x)(二,x2:4(,)(,)222=(x,x>2(x2-)：2(2,)x4

8、2(,)=(x,x>|x|222故|Tx|=|x|,所以T是正交变换例2证明：n阶的方阵A为酉矩阵的充要条件是对任何xwin都有|Ax|=|x|证明："="(必要性)注：酉矩阵AhA=AAh=E2若A是酉矩阵，则对Vx=i有|Ax|=(Ax,Ax)=(Ax)(Ax)|Ax|2=(xHAh)Ax=xH(AhA)x=xHEx=xHx=(x,x)=|x|2则Ax=x取In中的一组标准正交基e=（1,0，,0）T©=（0,i,.,0）T,.©=（0,0，,1）T,则存在唯一的线性变换T,使得T在基0,62,.,6n下的矩阵是A即：T（e,殳,.,en）=（

9、ei©,.,en）A（证明T是正交变换）X:x=（Xi,X2,.,Xn）TT（ei,e2,.,en）x=（e,.,en）Ax=Tx=Ax又网=|x|，叫Tx|=|x|因此T是正交变换，从而A是酉矩阵。6、矩阵A的约当标准形（初等因子和不变因子）2例题：求矩阵A=2l1-1-11-1-2都的约当标准形、不变因子、初等因子。2>解:-2-211-11-11-2-2-1+1110<03上2©32c2,（）C3.-1九-2九一12九一21_1_九？+4九3,00'九-1020（九T）-22110<002九-2一九2十4九一3,故A的不变因子是1,九一1,（

10、九一1）2初等因子是九-1,（九-if因九-1对应的约当块（1）（九-12对应的约当块0、110、1或J=010b<00b10故A的约当标准形为J=01<00求约当标准形的步骤：写出A的特征矩阵E-A求出KEA的全部初等因子写出每个初等因子对应的约当块写出约当标准形例题：设A=-157、凯莱-哈密顿定理432，证明：B=2A2A19A-29A36E为可逆矩阵并将B表示为A的多项式。证明：A的特征多项式为f°J=KE-A=-1-215-5=2-6-7由凯莱-哈密顿定理得：2f(A)=A-6A+7E=0of(九)=|九E-A，则f(A)=02-1、【26J因24-12'

11、;319'2-29-36=2-252-6'7)+p+1故B=2A4-12A319A2-29A36E=2A25fAAE=AE=因为B=14#0,所以B可逆。将人=8E代入f(A户A26A+7E=0中得:(BE)26(BE)7E=B2-8B14E=02B2-8B-14E-ilB(B-8E)=E故B，=V(B-8E)=-1-4(A-7E)8、线性空间的范数没有例子就把定义搬上了定义：设V是数域P上的线性空间，如果对V中的任意向量V都有一个非负实数与之对应，记为冈且满足下列的性质1>正定性：当X#0时,|X>02>齐次性:对WPKx|=|那x|3三角不等式：Vx,yV

12、,x+y称为Ix|的x范数并称定义了范数的线性空间为赋范空间其他重要例题例题1:设为？2,.,%是数域P上的线性空间V的一组向量，则由他们的所有线性组合构成的集合S=%xi+儿2x2+.+九nxn|YP,i=1,2,.,n是V的子空间。证明：显然S非空，九WP-：=kixikx2.kxnS-=lixilx2.lxn-Sa+P=(kl+li)xi+(k2+12)x2+.+(kn+ln)xnWS(ki+li)WP),=('ki)xi('k2)x2.(kn)xnS故S是V的子空间称S为由xi,x2,.,xn生成的子空间记作S=Spanxi,x2,.,xn)S=Spanixi,x2,.,xn：'xi,x2,.,xn的一个最大线性无关组就是SpaMxi,x2,.,xn的一组基SpaMxi,x2,.,xn的维数=秩(xi,x2,.,xn)例题2:在n维的向量空间in中，对向量x=(-i,-2,.,-n)T,y=(匕下2,.卅n)T定义(x,y)=q良1+W匕+£&=yHx其中yH表示y的共腕转置则(x,y)为i“中的内积Uj-q+勺|=o=(xM目+44+V=(x&#