2019届福建省福州市高三第一学期质量抽测数学(文)试题(解析版)

1、2021届福建省福州市高三第一学期质量抽测数学(文)试题一、单项选择题1 .集合A=xEN|x|)B=x|x2-20那么A门B=()A.M.：1B.IMC.10d.m2入内也【答案】B【解析】先化简集合A,B,再根据交集的运算即可.【详解】解：集合A=2由集合B中的不等式八2七0,因式分解得：僧+和仅-$).,解得：1,所以集合6=.那么集合AnB=0,"应选：B.【点睛】此题考查了交集的运算,看清代表元素是解题关键,属于一道根底题.J+32 .复数工=1-,那么工-1()2(_.A.B.-2C.D.2【答案】Dz2+3【解析】把工=1-2'代入I,再由复数代数形式的乘除运算

2、化简得答案.【详解】解mi,z2+3(l-2i)2+3-4i-23z-1l-2i-l-2i【点睛】是根底的计算题.此题考查复数代数形式的乘除运算,3.随机抽取某中学甲班9名同学、乙班10名同学,获得期中测试数学成绩的茎叶图如下：估计该中学甲、乙两班数学成绩的中位数分别是A.75,84B.76,83C.76,84D,75,83【答案】B【解析】利用中位数的定义,将茎叶图中数值排序,甲班9个数据选中间一位数,乙中10个数据选中间两个数据的平均数即得答案.【详解】解：甲班9个数据有小到大的顺序排序为：52,66,72,74,76,76,78,82,96故中位数为76;乙班10个数据有小到大的顺序排序

3、为：62,74,76,78,82,84,85,86,88,92故中位数为82+84=332故答案为：B.【点睛】此题考查茎叶图中的中位数的定义,解题关键首要是排序,其次是看清个数,属于根底题.4 .如图,为一圆柱切削后的几何体及其正视图,那么相应的侧视图可以是【解析】三视图是对一个物体从一个三个不同的侧面进行正投影得到的,三个视图间存在长对正,高平齐,宽相等的对应关系,在三视图中不可见的轮廓用虚线表示【详解】根据题意以及图形：由主视图得出主视方向,左视图应该是从实物图的左边进行正B正确.投影,右边的轮廓为不可见轮廓,所以要用虚线表示,故应选:B.【点睛】考查正投影,以及三视图的作图知识,此题属

4、于中档题5 .+贝产()枢611A.2B.2C1D.2【答案】C【解析】根据二倍角的余弦公式化简题中的等式,可得2cos.+3cosa-2=0,再根据85口2卜1,1,解出8$口.【详解】1cosa=-2或一2.'4:1s；,.；-工口一12COSa-1+丸5a=1,即2.口5a+丸5H=0,解之得又由余弦函数取值范围,可知85岂E-14,1cosa=-'8S0t=F2不符合题意舍去,得2.应选:C.【点睛】此题考查了二倍角的余弦公式,亡.2注意有界性,属于中档题.22xyC：=la>0,b>0)6.点(口到双曲线ab的渐近线的距离为2,那么匚的离心率是()3<

5、;6<69A.2B.3C.2D.4【答案】A【解析】先求出双曲线的渐近线,再根据点到直线的距离公式利用椭圆离心率公式求解即可.【详解】解：丁双曲线/b*的渐近线为取士二口,d=.-=2二点PO引到bx±av=O的距离+d,3-c=-a2应选：A.【点睛】此题考查双曲线的性质,考查学生的计算水平,比拟根底.7.等比数列l"的前项和为n,假设/,那么广()A.18B.10C.-14D.-22【答案】D【解析】由求和公式可得关于否和q的值,再代入求和公式可得.【详解】解：设等比数列的公比为q,显然q*i,nU-qf)5=2由求和公式可得“i-q,l-q*1+q+q2-6可得

6、i-q*i+q2,解得q=z,代回可得,%(l-q3-2l-(-2)5"£=-221-q1-(-2)应选：J【点睛】此题考查等比数列的求和公式,属根底题.28,函数,冈=7n冈的局部图像大致为()【解析】由函数的表达式确定函数的性质,运用导数求出极值,从而利用数形结合确定函数的图象的形状.【详解】解：=f(-x)二函数f(x)是偶函数,的图象关于丫轴对称,故排除B,vlimffx)->+3又,故排除D.1114x-=0-f(x)=l-ln->0f(K)在时取最小值,即X时取最小值,解得x=,此时'2故排除C.应选:A.【点睛】此题考查了函数性质的判断与数

7、形结合的思想应用,同时考查了排除法以及导数在函数极值判断中的应用,属于中档题.9,函数皿二事必+2$帚*-1在0,切单调递增,那么中的最大值是()nn3hA.4B.2CSD.河【答案】C【解析】先化简函数f(x),结合三角函数的单调性即可求f(x)的单调递增区间,从而得出m的最大值.【详解】2f(xi=sin2x+2sinx-1=sin2x+lcos2x-lsMZkyb镰在单调递增,</ttnn3nf'(x)=2cos2x+25in2x=2x+-I>00<2x+<rr一一<x<即I4,解得4即88,由于xE3h口户那么m的最大值是8.应选:C.【点睛

8、】此题主要考查三角函数的单调区间的求解,利用导数及三角函数的图象和性质是解决本题的关键.10.如图,抛物线的焦点为F,过点F且斜率为1的直线依次交抛物线及圆k-I2+yz=-4于点A,E、JD四点,那么|AR|+|CD|的值是A.6B.7C.8D.9【答案】B【解析】由可得,直线方程为¥二算一1,代入抛物线方程消去V,结合抛物线的定义和韦达,即可得出结论.【详解】解：设4一J、B%,4,由可知,直线方程为V=XT,代入抛物线方程消去得/6x+l=0,2=6那么1A因.|CD|二AF-r+DF-r=】+2T-=7应选:B.【点睛】抛物线的定义,可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线

9、的距离,属于根底题.11.在边长为1的正方形AKD中,动点P在以点匚为圆心且与BD相切的圆上.假设AP=AAB+gD,那么A+U的最大值是A.3B.3c,3D,4【答案】A【解析】如图：以A为原点,以AB,AD所在的直线为x¥轴建立如下图的坐标系,先求出圆的标准方程,再设点P的坐标为+1,2,根据AP=MB+pAD,求出3,匕根据三角函数的性质即可求出最值Di【详解】解：如图：以人为原点,以AB,AD所在的直线为N,Y轴建立如下图的坐标系,那么.：,1,.动点P在以点C为圆心且与®D相切的圆上,设圆的半径为,ABD=+1'=22,工圆的方程为设点的坐标为匕in8+1

10、)2vAP=AAB+L1ADsin9+1)2工口0"即4伏山,-cosO+1=X-sin9+1-un+1=sinf0+)+2v-iCsin(0+)C14,故入+U的最大值为3,应选：A.7)1【点睛】此题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质,关键是设点p的坐标,考查了学生的运算水平和转化水平,属于中档题.12.函数附二划*aR,对于任意工乂产Q2,12恒成立,那么白的取值范围是11*A.22B,HC.110-2,OU【解析】由题意知max-3即等价转化为f&J%汨工3,通过研究函数导数从而得到最值,依次验证选项即可.,一小心E0,2解：对于任息L2,inxj-ft

11、xji"卜一卡、Rn恒成立,即的叫或“3也就是"U其Ein&3,代入选项验证即可,验证a=1时,3=|1曰-2|+1,令M=kWx-2,g(x)=3x2=3(T),由g(x)的图像可以知道刖幻在电1,上递减,在12上递增,削.=-之雇1=-4启=0,他噌=4便同一.f="口=可£3不满足,故排除B,D.131a=-f(x)=X+1_a12,2.验证2时,2,令鼠x)=xTx+1,1g(x=3xT;mT)由自的图像可以知道欧X在0,11上递减,在Q2)上递增,6(0)=lTg(l)=-l,g(2)=3f故*：U=3,叫一明产.=3一满足,故排除C.

12、应选：A.【点睛】此题考查恒成立问题的转化,应用导数求得最值,利用排除法通过验证选项求解的过程,属于中档题.二、填空题13,向量己=(-23),6=口叫假设"°,那么坨=.【答案】-3【解析】根据题意,由向量平行的坐标公式解得m的值.【详解】I-+解：根据题意,向量卜之用,b=QM,假设,决,必有3*2=(-2),解可得：m=T；故答案为：-3.【点睛】此题考查向量平行的坐标表示,关键是利用向量平行的坐标表示方法得到关于巾的方程,属于根底题.2k+¥+3之.,)x-2y+4>0,14 .假设实数",*满足约束条件-"2纯那么3"

13、V的最大值是.【答案】9【解析】画出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象找出最优解求出最大值.【详解】12x+y+,x-2y+43口x=2解：画出变量x,Y满足约束条件I表示的平面区域如图：由握2V+4二口解得A2引工=3k+y变形为v=-mx+J作出目标函数对应的直线,当直线过423时,直线的纵截距最大,工最大,此题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求目标函数的最值,属于根底题.15 .圆锥的顶点为5,母线SA,5B互相垂直,5A与圆锥底面所成角为灯,假设第AH的面积为8,那么该圆锥外接球的外表积是.【答案】【解析】利用条件求出母线长度,然后求解圆锥的高及底面半径

14、,利用勾股定理建立等量关系求得球半径,再代入球的外表积公式求值即可.【详解】12-SA=8解：圆锥的顶点为5,母线5A,沿互相垂直,ASAg的面积为8,可得：2,解得SA,失3A与圆锥底面所成角为3.;可得圆锥的底面半径为2d5,圆锥的高为2,设该圆锥外接球的半径为R,由勾股定理可得"=承一2+12回解得艮那么该圆锥外接球的外表积为：s=4nR'=4"=64,故答案为：.【点睛】此题考查圆锥外接球外表积的求法,母线以及底面所成角的应用,考查转化思想以及计算水平,属于中档题.3CO$(A-B)=-16.在ME匚中,*C=6,BC=g,4,那么二.1【答案】【解析】在B

15、C上取点D,使得BD=ADK出A-B,应用余弦定理求得BD=DC=DA,证得A点在以bc为直径的圆上,在中解三角形且乙巴与乙匚互余,再利用诱导公式和二倍角公式即可得解.【详解】由题知a>b,在BC上取点D,使得BD=AD连接AD,即A-B=上口*匚,X2+(8-x)2-6Z3CO$(A-B)=-设BD=x,在MBC中利用余弦定理：2K(8-x)4解得x=4.故D为BC中点.BD=DC=DA=故A点在以BC为直径的圆上,故必日匚为田,AC二十*=-在RtAABC中,AB=2j74,2,Asin(B-C)=sinj-C-cj=sinf-2cj=cqs2C=l-2sin2C=1-2乂/=1飞=

16、.1故答案为：【点睛】此题考查余弦定理,共圆证实及二倍角公式的应用,属于中档题三、解做题、,瓦、,n5n515力+a»=517.等差数列的前八项为n,且5,之3.(1)求数列位/的通项公式；1(2)求数列4n-Ban+i的前n项和L.【答案】(1)V(2)筋+1【解析】(1)设出等差数列的首项和公差,直接列方程组求出,然后代入等差数列的通项公式整理；(2)把(1)中求出的通项公式,代入数列的通项中进行列项整理,那么利用裂项相消可.【详解】(1)解：设等差数列位J的公差为弓,“十%".5a+%)a=2a,=d=1a=a+(n-=n1,1,n1a=Hi(2)解：由上问知,.1二

17、1111':1I',?1 115n=+4111111111n二-+)=T1=丁三3'：士二-2一:上一-【点睛】此题考查了等差数列的通项公式,考查了裂项相消法求数列的和,是中档题.18 .如图,在平行四边形瓯“中,口为CM的中点,以转为折痕将迎口M折起,使点M到达点P的位置,且平面ABCDJ_平面PADE是PB中点,AB=2BC.(1)求证：匚口1平面PAD；(2)假设代?=2,AB=4,求三棱锥A-PCD的高.【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)取AP的中点F,通过证实四边形EFDC为平行四边形得到CEIIDF即可求证.(2)取四口的中点.,先证实p0-L平面阳8

18、再通过等体积转化外一吒口=Vp-a8即可求解.【详解】(1)证实：取AP的中点F,连接口F,EF,如下图ABEF=由于点E是PB中点,所以EFIIAB且2.ABCD-又由于四边形ABCM是平行四边形,所以ABII8且2,所以EFIICD且EF=8,所以四边形EFDC为平行四边形,所以CE|DF由于CEU平面PAD,DF仁平面PAD,所以匚工II平面PAD.(2)取山口的中点.,连结P0、C.,如下图,由于在平行四边形3匚环中,口为匚的中点,AB=2BCAD=2AB=4由于AD=,所以PD=PA=AD=2,所以MDP为正三角形,所以PQ1AD,且P.由于在平行四边形"BCM中,D为CM

19、的中点,以AD为折痕将AADM折起,使点M到达点F的位置,且平面ABCD1平面PAD,所以P.1平面AKD,ADC=120.bScd=LA.k8"sinSDC所以设三棱锥A-PCD的高为h,11-S.h=-S-PO、,期一二M_酢8"MSrM由于A-PCDP-ACD,33所以2强所以三棱锥A-PCD的高为5【点睛】此题考查线面平行的判定,等体积转化求椎体的高,属于根底题Egggb?.)也(*19 .椭圆3b的离心率为2,点2在k上.(1)求E的方程；(2)设直线I：片丘+2与E交于A,B两点,假设OA0B;2求k的值.J2版+y=1It=±【答案】(1)4(2)6

20、【解析】(1)利用建立方程组,可求椭圆的根本量,从而可得椭圆方程；k值范(2)设A、B两点坐标,带入椭圆和直线方程,利用向量坐标化解方程即可得出围.【详解】C0屈222-2e-=-c=b=a-c=-a(1)解：由题意得日工,所以2,4,341a=2b=1口方)F%3又点2在上上,所以3匕,联立,解得+y2=1所以椭圆E的标准方程为4(2)解：设A,B的坐标为仪M),依题意得,联立方程组%=kx+2消去匕得口+4k%'16kx+12=Ci.,2m2Jk)一=(16k-4&l+4k0>04?16k12x,+x.=乩人=1iJ12jl+4k；l+4k?OAr00-xTx2+yx

21、Y2=W+2)(k,+2)=(1+k2)xtx?+2刈、+xj+4712-16k=(1+I(>+2k+4l+4k21+41?12-20kZ=+4l+4k2OA0B=2.l+4kZ-64所以,【点睛】此题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程,考查直线方程和椭圆方程联立,利用向量坐标化运用韦达定理,考查化简整理的运算水平,属于中档题.20 .随着我国中医学的开展,药用昆虫的使用相应愈来愈多.每年春暖以后至寒冬前,是昆虫大量活动与繁殖季节,易于采集各种药用昆虫.一只药用昆虫的产卵数Y与定范围内的温度x有关,于是科研人员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究,现收集了

22、该种药用昆虫的5组观测数据如下表：日期2日7日15日22日30日温度蛾C101113128产卵数¥/个2325302616(1)从这5天中任选2天,记这两天药用昆虫的产卵分别为m,n,求事件rnn均不小于25的概率；(2)科研人员确定的研究方案是：先从这五组数据中任选2组,用剩下的3组数据建立¥关于乂的线性回归方程,再对被选取的2组数据进行检验.(i)假设选取的是3月2日与30日的两组数据,请根据3月7日、15日和22日这三天的数据,求出Y关于x的线性回归方程；(ii)假设由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个,那么认为得到的线性回归方程是可靠的,试

23、问(i)中所得的线性回归方程是否可靠？h工俯闾像v)八|=1b=附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=1=v-b=.3*5y=x-3【答案】(1)10(2)(i)2,(ii)可靠,见解析.【解析】(1)根据题意写出所有的根本领件,即可求解：不小于25的概率；(2)(i)由题意求出V,代入公式求值,从而得到回归直线方程；(ii)分别将x的值代入,检验数据的误差均是否不超过2颗,即可判断.【详解】(1)解：依题意得,1m、"的所有情况有:3,252工划23工6磔,闻25方.25,26、25,16)、3.,26、(泗匈、25,16共有他个；设“m、n均不小于25为事件A,那么

24、事件包含的根本领件有(25,3.、,26、(犯26,33P(A)=所以1.,故事件概率为i°；33Z伙*)%¥)=5Z(xK尸=2(2)解：(i)由数据得V=",i=i,i=i,Yf-竹佃'¥)八金Sb二=-£也一行=2#_5-5a=y-x=27-转12=322R5y=-x-3所以¥关于"的线性回归方程为2R5y=-x-3(ii)由(i)知,Y关于耳的线性回归方程为2门5y=-x10-3=22当“10时,2,122-23X2R5V=-x$-3=17当产8时2|17-16|交y=-x-3所以,所得到的线性回归方程2是可

25、靠的.【点睛】此题考查了线性回归方程的求法及应用,属于根底题.21.函数HxXlx-l"二(1)求曲线Y±f(x)在点Q,)处的切线方程;(2)函数电)与函数¥S*mmER)的图像总有两个交点,设这两个交点的横坐标分别为(i)求"的取值范围;(ii)求证：.1m<-+4【答案】(1)¥"-1(2)(i)e,(ii)见解析【解析】(1)求出"X)的导数,求得切线的斜率,由可1);.得切点由点斜式方程可得切线的方程；(2)(i)函数f与函数V=,-4K*m(mER)的图像总有两个交点转化为函数期力-算之+m-巾有两个零点的

26、问题,进而研究削x)的导数及图像即可.(ii)先由(i)得£x)的单调性,分析出与、与不可能在同一单调区间内；设父2父,将勺吃导到(叫Z)上,利用函数g在卜叫Z)上单调性,欲证A*%>只需证实削&£(4飞)结合g%)二鼠叼,只需证实叫酣飞),再构造=飒)-乳4眄>2)结合单调性即可证实结论.【详解】e(x-1)'=1T(1)解：由得J,e(x-2)小)=,).f=.,又<f(l)=1,曲线V=电)在点口1)处的切线方程为:V=K-1.21*2(2)(i)令削+4x-m=(x-l)et+4x-m,.二二馆i-2)(x-2)由熹)吗导,*>

27、;2；由得,x.易知,“2为g冈极大值点,耳maT+4E又XT时削K)T.x,当*今+3时,gKT即函数g在x<2时有负值存在,在x2时也有负值存在.1师)2=+4-m?Ci由题意,只需满足,所以,即"J在)上为增函数,所以H&)>H=0.叫)>幽-叼成立.V4-V>4所以,【点睛】具体涉及到用导数来此题属于极值点偏移问题,主要考查函数与导数的综合应用水平,研究函数的单调性、极值,教学中的重点和难点.22.在平面直角坐标系x0V中,直线的参数方程为|x=3+tcosa|y=y0+tsina/为参数,为的倾斜角),以原点.为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线E的极坐标方程为71715n9=TPER9=HPEr)9=(pER)P=三条直线6,2,6与曲线E分别交于不同于极点的三点A,B,C.(1)求证：-Al+|.匚|=|0B|.(2)直线过IB两点,求为与口的值.2ny=la=V【答案】(1)见解析(2)/,3【解析】(1)把日值代入曲线E的极坐标方程即可得n5nn|0A=4sin-|0C|=4sin0B|=4sin-66T由此得证.nn9=-(pER9=-(pER)(2)当6,2,时求出A点的极坐标