@概率论与数理统计公式总结

1、第一章F(x)=P(X<x)八P(X=k)k<：xP(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)特别地，当A、B互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B)条件概率公式P(AB)P(A|B)P(B)概率的乘法公式P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)全概率公式：从原因计算结果nP(A)-P(Bk)P(A|Bk)k1Bayes公式：从结果找原因P(Bk|A)=P(Bi)P(A|Bi)n0<F(x,y)<1F(x,y)=PX<x,Y<y“P(Bk)P(A|Bk)k=1第二章二项分布(Bernoulli分布)XB(n,p)kkn_kP(X=kfp(1-p

2、),(k=0,1,.,n)泊松分布一一X-P(入)kP(X=k)=1e(k=0,1,.)k!概率密度函数f(x)dx=1怎样计算概P(a"X"b)率bP(amX三b)=f(x)dxa均匀分布XU(a,b)1f(x)=(a_x_b)b-a指数分布X-Exp(0)1-x/f(x)=e一(x-0)9F(x)=f(x)分布函数对离散型随机变量x对连续型随机F(x)=P(X<x)=ff(t)dt变量分布函数与密度函数的重要关系：xF(x)=P(X<x)=i-f(t)dt二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度f(x,y)函数联合分布F(x,y)函数f(x,y)-

3、0I：JJ(x,y)dxdy=1联合密度与边缘密度fx(x)=i-f(x,y)dy-tofY(y)v_J(x,y)dx离散型随机变量的独立性PX=i,Y=j二PX二iPY二j连续型随机变量的独立性f(x,y)=fx(x)fY(y)第三章数学期望离散型随机变量，数E(X)='、xkRk=.二学期望定义-boE(X)=fxf(x)dx连续型随机变上量，数学期望定义E(a)=a,其中a为常数E(a+bX)=a+bE(X),其中a、b为常数E(X+Y)=E(X)+E(Y),X、Y为任意随机变量E(g(X)=£g(xk)Pk随机变量g(X)的数学期望常用公式E(X)=£

4、63;XPijE(X)=xf(x,y)dxdyE(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=xyf(x,y)dxdy当X与Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y)方差定义式D(X)=匚x-E(X)2f(x)dx常用计算Id(x)=e(x2)-k(X)2|式常用公式D(XY)=D(X)D(Y)2E(X-E(X)(Y-E(Y)当X、Y相互独立时：D(X+Y)=D(X)+D(Y)方差的性质D(a)=0,其中a为常数D(a+bX)=b2D(X),其中a、b为常数当X、Y相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)协方差与相关系数E次-E(X)1Y-E(Y)f-E(XY)-E(X)E(Y)Cov(X,Y)=E(

5、XY)E(X)E(Y)Cov(X,Y)XY-D(X)D(Y)协方差的性质Cov(X,X)=E(X2)-(E(X)2=D(X)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)Cov(XY,Z)=Cov(X,Z)Cov(Y,Z)独立与相关独立必定不相关相关必定不独立不相关不一定独立第四章正态分XN(N,q2)布E(X)-'',D(X)-c2(a)=1-领a)标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式P(Z三a);P(Za)=：(a)P(Z-a)=P(Za)=1->(a)P(aZ'b)=：'(b).(a)P(-amZMa)=>(a)->(-a)=2)

6、(a)-1一般正态分布的概率计算,2X-XN(，；/)=Z=-N(0,1)CT一般正态分布的概率计算公式aiP（X_a）=P（X:二a）-：.：，（）a-P(X_a)=P(X.a)=1：.：，()a-）：.：，（c卡方分布第五章n22若X-N(0,1),则NXi/(n)i二2),则122寸2,、(n)t分布若XN(0,1),12(n),则Xt(n)，丫/nF分布正态总体条件下样本均值的分布：2X一口XN(J,)N(0,1)n:/一n样本方差的分布:-2(n-1)S2CJ2(n-1)X-jt(n-1)s/,n两个正态总体的方差之比22S1/S22/2二1仁F(n1-1,n2-1)第六章点估计：参

7、数的估计值为一个常数矩估计最大似然估计nn似然函数l="x”)Lpa6一iWi1均值的区间估计一一大样本结果汜硒弟6一标准差(通常未知，可用样本标准差s代替)；n一样本容量(大样本要求n>50)；ZB2正态分布的分位点p一样本比例n一样本容量(大样本要求n>50)z.,2正态分布的分位点Jj._小样本、正态总体、标准差仃已知上仃Ln小样本、正态总体、标准差。未知ta2(n-1)自由度为n1的t分布的分位点s2一样本方差正态总体方差的区间估计_222(n-1)S，2：-/21-：-/2(n-1)S2；7；/2一卡方分布的分位点2两个正态总体均值差的置信区间大样本或正态小样本

8、且方差已知2I2、L一产1,仃2M-x2）±%2J十一Vn1n2J两个正态总体方差比的置信区间22S1/S2<Fa/2(n11,n2-1)22S1/S2Fa/2（ni_1,n2_1）j第七章假设检验的步骤根据具体问题提出原假设H0和备择假设H1根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。不可避免的两类错误第1类（弃真）错误：原假设为真，但拒绝了原假设第2类（取伪）错误：原假设为假，但接受了原假设单个正态总体的显著性检验单正态总体均值的检验大样本情形Z检验t检验正态总体小样本、方差已知Z检验正态总体小样本、方差未知单正态总体方差的检验正态总体、均值未知卡方检验单正态总体均值的显著性检验统计假设的形式(1)Ho：-<H1:J4双边检验Ho：u.JoHi：!:二o左边检验(3)Ho：J。Hi：.d0右边检验单正态总体均值的Z检验(大样本情形。未知时用S代替)拒绝域的代数表示Z"02双边检验左边检Z-Za验右边检z-Z«验比例特殊的均值的Z检验P-