2019届高三数学专题1外接球

1、2021届高三数学专题1外接球1.正棱柱,长方体的外接球球心是其中央例1:各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为那么这个球的外表积是B.20兀C.24兀D.32兀2.补形法补成长方体图3图1图2图4例2:假设三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为<3,那么其外接球的外表积是3.依据垂直关系找球心例3:三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一个球面上,底面ABC满足BA=BC=J6,/ABC=-,假设该2三棱锥体积的最大值为3,那么其外接球的体积为16C.一冗3D.32冗3一、单项选择题1 .棱长分别为2、石、石的长方体的外接球的外表积为A.4TtB.12TtC.24TtD.48兀2 .设三棱柱的

2、侧棱垂直于底面,所有棱的长都为2窝,顶点都在一个球面上,那么该球的外表积为A.12%B.28兀C.44兀D.60兀3 .把边长为3的正方形ABCD沿对角线AC对折,使得平面ABC_L平面ADC,那么三棱锥D-ABC的外接球的外表积为B.27兀C.18兀D.9兀4.某几何体是由两个同底面的三棱锥组成,其三视图如下列图所示,那么该几何体外接球的面积为正梗用懦视用2A.a兀2B.2a兀2C.3a兀2D.4a兀5.三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的外表上,AB1平面BCDBC=BD=2,AB=2CD=43,那么球O的外表积为B.32兀C.60兀6.如图ABCDABiGDi是边长为1的正方体,SABC

3、D是高为1的正四棱锥,假设点S,A,Bi,Ci,Di在同一个球面上,那么该球的外表积为CiAi9A.1兀1625B.兀16C.49兀1681D.兀167,球.的半径为R,A,BC三点在球.的球面上,球心O到平面ABC的距离为AB=AC=2/BAC=1201那么球O的外表积为16B.兀3C.64兀964D.兀38.正四棱锥P-ABCD底面四边形ABCD是正方形,顶点p在底面的射影是底面的中央的各顶点都在同一球面上,底面正方形的边长为历,假设该正四棱锥的体积为真那么此球的体积为A.18兀C.36%D.323兀9.如图,在ABC中,AB=BC=J6,/ABC=90点D为AC的中点,将4ABD沿BD折

4、起到PBD的位置,使PC=PD,连接PC,得到三棱锥P-BCD.假设该三棱锥的所有顶点都在同一球面上,那么该球的外表积是A.7兀B.5兀10.四面体A-BCD中,/ABC=/ABD=/CBD=60",AB=3CB=DB=2,那么此四面体外接球的外表积为19A.兀219屈兀24C.17兀D.17万兀611.将边长为2的正4ABC沿着高AD折起,使ZBDC=120°,假设折起后A、B、C、D四点都在球O的外表上,那么球O的外表积为B.7兀C.13兀2D.13兀312.在三棱锥A-BCD中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,那么该三棱锥的外接球的外表积为43石兀24B.

5、43437t6C.43兀D.43兀二、填空题13 .棱长均为6的直三棱柱的外接球的外表积是.14 .棱长都相等正四棱锥的侧面积为16出,那么该正四棱锥内切球的外表积为.15 .三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,假设该棱柱的体积为我,AB=2,AC=1,/BAC=60°,那么此球的外表积等于.16 .在三棱锥ABCD中,AB=AC,DB=DC,AB+DB=4,AB_LBD,那么三棱锥ABCD外接球的体积的最小值为.1 .正棱柱,长方体的外接球球心是其中央例1：各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,那么这个球的外表积是A.16兀B20Ttc2

6、4Ttd32%【答案】C.2222.2解析V=ah=16,a=2,4R=a+a+h=4十4+16=24,S=24兀,应选c.2 .补形法补成长方体图1图2图3图4例2:假设三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为J3,那么其外接球的外表积是【答案】9兀22【解析】4R=3+3+3=9,S=4tR=9兀.3.依据垂直关系找球心例3:三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一个球面上,底面ABC满足BA=BC=76,/ABC=-,假设该2三棱锥体积的最大值为3,那么其外接球的体积为B.16%16C.二7冗332D.工冗3【解析】由于ABC是等腰直角三角形,所以外接球的半径是r=-<412=.3,设外接

7、球的半径是R,球心O到211_1该底面白距离d如图那么Saabc=-父6=3,BD=.3由题设V=-Saabch=-父6h=3,2362.22最大体积对应的高为SD=h=3,故R=d+3,即R2=3_R+3,解之得R=2,432所以外接球的体积是4代3=32,故答案为D.33一、单项选择题1.棱长分别为2、石、石的长方体的外接球的外表积为A.4兀B,12兀C,24%D.48兀【答案】B【解析】设长方体的外接球半径为R,由题意可知：2Rf=22+732+娓2,那么：R2=3,该长方体的外接球的2外表积为S=4tR=4兀父3=12兀.此题选择B选项.2.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为27

8、3,顶点都在一个球面上,那么该球的外表积为A.12%B.28兀C.44兀D.60兀【答案】B23一【解析】设底面三角形的外接圆半径为r,由正弦定理可得：2r=,那么r=2,sin60设外接球半径为R,结合三棱柱的特征可知外接球半径R2=mf+22=7,2外接球的外表积S=4卡=28兀.此题选择B选项.3.把边长为3的正方形ABCD沿对角线AC对折,使得平面ABC_L平面ADC,那么三棱锥D-ABC的外接球的外表积为Histudy快乐学习IVIPT住比帮助珠子帼建持续进步的学引力A. 32兀B. 27%C. 18兀D. 9兀把边长为3的正方形ABCD沿对角线AC对折,使得平面ABC_L平面ADC

9、,那么三棱锥D-ABC的外接球直径为AC=3隹,外接球的外表积为4成2=18兀,应选C.4.某几何体是由两个同底面的三棱锥组成,其三视图如下列图所示,那么该几何体外接球的面积为2A. a兀2B. 2a兀正槌甩懦视窗2C. 3a兀2D. 4a兀【答案】C【解析】由题可知,该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成,其中底面是棱长为&a的正三角形,一个是三条侧棱两两垂直,且侧棱长为a的正三棱锥,另一个是棱长为&a的正四面体,如下图:该几何体的外接球与棱长为2R=.a2a2a2=3a=的正方体的外接球相同,因此外接球的直径即为正方体的体对角线,所以3R=a,所以该几何体外接球面积25.

10、三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的外表上,AB_L平面BCD,BC=BD=2,AB=2CD=4.3,那么球O的外表积为B. 32兀C. 60兀【解析】由于BC=BD=2,CD=2百,所以cosCBD=22222-2311CD因此三角形BCD外接圆半径为C=2,2sin.CBDAB设外接球半径为R,那么R2=22+2=4+12=16,S=4tR=64%,应选D.6.如图ABCDABiGDi是边长为1的正方体,SABCD是高为1的正四棱锥,假设点S,A,B,G,Di在同一个球面上,那么该球的外表积为B.25兀1649C.兀16D.81兀16【解析】如下图,连结AG,B1D1,交点为M,连结SM,

11、222.9x=9,那么该球的外表积8易知球心O在直线SM上,设球的半径R=OS=x,在R1AOMB1中,由勾股定理有：OM+巳吊=BO,即:S=4kR2=4兀父2=兀.此题选择D选项.8167,球O的半径为R,A,B,1_C三点在球.的球面上,球心O到平面ABC的距离为-R,AB=AC=2,/BAC=120,那么球O的外表积为16兀916B.兀364C.兀9D.64兀3【解析】由余弦定理得：BC=“+4-2父2M2cos120n=2石,B设三角ABC外接圆半径为r,由正弦定理可得：茗_=2r,那么r=2,sin120212216264又R=R+4,解得：R=一,那么球的外表积S=4tR=兀.此

12、题选择D选项.4338 .正四棱锥P-ABCD底面四边形ABCD是正方形,顶点在底面的射影是底面的中央的各顶点都在同一球面上,底面正方形的边长为闻,假设该正四棱锥的体积为竺,那么此球的体积为3A.18兀B.8而C.36兀D.32再兀【答案】C【解析】如图,设正方形ABCD的中点为E,正四棱锥P-ABCD的外接球心为O,底面正方形的边长为y10,EA=、,5,501250,正四梭锥的体积为一,Vp-abcd=一父50MPE=,333那么PE=5,OE=5-R,2243在4AOE中由勾股定理可得：5RJ+5=R2,解得R=3,V球=：卡3=36兀,应选C.9 .如图,在ABC中,AB=BC=而,/

13、ABC=90',点D为AC的中点,将4ABD沿BD折起到PBD的位置,使PC=PD,连接PC,得到三棱锥P-BCD.那么该球的外表积是AA.7兀B.5兀C【答案】A【解析】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为假设该三棱锥的所有顶点都在同一球面上,3兀D.兀的正三角形,且BD_L平面PCD,设三棱锥P-BDC外接球的球心为O,PCD外接圆的圆心为Oi,那么OOi,面PCD,四边形OOiDB为直角梯形,由BD=3,O1D=1,及OB=OD,得OB=4,外接球半径为R=27一.该球的外表积S=4tR=4兀父一=7兀.应选A.410.四面体A-BCD中,/ABC=/ABD=NCBD=60*,AB

14、=3,CB=DBa19A.兀219.38兀B.24C.17%D.=2,那么此四面体外接球的外表积为1717兀6【解析】由题意,BCD中,CB=DB=2,DE-c/CBD=60)可知BCD是等边三角形,BF=J3,BCD的外接圆半径r=空=BE,FE=,33.AF_LBCD,=/ABD=60°,可得AD=AC=77,可得AF,四面体A-BCD高为AF=而.设外接球222R,O为球心,OE=m,可得：r+m=RD,-2cc(泥-Q十EF2=R219一2由解得：R=.四面体外接球的外表积：S=4卡2819一兀.应选211.将边长为2的正ABC沿着高AD折起,使/BDC=120、假设折起后A

15、、B、C、D四点都在球O的外表上,那么球O的外表积为13C.一兀2D.13一兀3【解析】BCD中,BD=1,CD=1,/BDC=120°,底面三角形的底面外接圆圆心为M,半径为r,由余弦定理得到BC=曲,再由正弦定理得到3-=2r=r=1,sin120见图示：A43743%24B.4343兀C.43兀D.43兀AD是球的弦,DA=J3,将底面的圆心M平行于AD竖直向上提起,提起到AD的高度的一半,即为球心的位置O,OM,在直角三角形OMD中,应用勾股定理得到OD,OD即为球的半径.372球的半径OD="1+7=、-.该球的外表积为4tiXOD=7兀；应选B.12.在三棱锥A

16、-BCD中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,那么该三棱锥的外接球的外表积为【答案】D【解析】分别取AB,CD的中点E,F,连接相应的线段CE,ED,EF,由条件,AB=CD=4,BC=AC=AD=BD=5,可知,ABC与ADB,都是等腰三角形,AB,平面ECD,.一AB1EF,同理CD_LEF,.一EF是AB与CD的公垂线,球心G在EF上,推导出AGBACGD,可以证实G为EF中点,DE=.25-9=4,DF=3,EF=16-97一.71.43GF,球半径DG=4+9=,2.外接球的外表积为S=4ttMDG=43兀.应选D.二、填空题13 .棱长均为6的直三棱柱的外接球的外表积是.

17、【答案】84兀1616_=【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为r=x=父=2J3,2sin60232那么外接球的半径R=?32+(2732=J9+12=J2T,2那么外接球的外表积为S=4tR=4兀父21=84兀.14 .棱长都相等正四棱锥的侧面积为16点,那么该正四棱锥内切球的外表积为【答案】(32-16石=16J3,解得a=4.PMN的内切圆,【解析】设正四棱锥的棱长为a,于是该正四棱锥内切球的大圆是如图其中MN=4,PM=PN=2芯.：.PE=2乏.,一_FOPOr22-r设内切圆的半径为r,由PFO-APEN,得=,即-=,ENPN223解得r=2=退一：2,31_2L内切球的外表积为S=4tT2=4446J2)=(3216®)兀.15 .三棱柱ABC-A1B1c1的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,假设该棱柱的体积为花,AB=2,AC=1,/BAC=60°,那么此球的外表积等于.【答案】8兀【解析】二三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面,棱柱的体积为我,AB=2,AC=1,BAC=60、.121sin60AA=：13,AA1=2,2:BC2=AB2+AC2-2ABACcos60©=4+12,BC=73,R