Leslie人口模型及例题详解

1、(1)(2)Leslie人口模型现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型,借用差分方程模型,仅考虑女性人口的开展变化.如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组,那么人口的年龄结构无法刻划,因此必须建立一个更精确的模型.20世纪40年代提出的Leslie人口模型,就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型.模型假设(1)将时间离散化,假设男女人口的性别比为1:1,因此本模型仅考虑女性人口的开展变化.假设女性最大年龄为S岁,将其等间隔划分成m个年龄段,不妨假设S为m的整数倍,每隔S/m年观察一次,不考虑同一时间间隔内人口数量的变化；(2)记小为第i个年龄组t次观察的女性总人数,记n(t)=ni(

2、t),n)2(t),nm(t)第i年龄组女性生育率为bi(注：所谓女性生育率指生女率),女性死亡率为可,记S=1di,假设bi,di不随时间变化(3) 不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响(4)生育率仅与年龄段有关,存活率也仅与年龄段有关.建立模型与求解根据以上假设,可得到方程mn1(tD二,bini(t)i1q书(t+1)=sn(t)i=1,2.,m-1写成矩阵形式为n(t1)-Ln(t)'blb2bm4bm,A000其中,L=0s200a+.,m1<00sm=0记n(0)=必(0),1(0),nm(0)假设n(0)和矢I阵L已经由统计资料给出,

3、那么n(t)=L%(0),t=0,1,2,|为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势,我们先给出如下两个条件：(i) Si>0,i=1,2,ml;(ii) b>0,i=1,2,m且bi不全为零.易见,对于人口模型,这两个条件是很容易满足的.在条件(i)、(ii)下,下面的结果是成立的：定理1L矩阵有唯一的单重的正的特征根工=及,且对应的一个特征向量为n*=1,S1/0J),S1s2/入0,S1S2Sm1/,jm/(3)定理2假设'是矩阵L的任意一个特征根,那么必有|尢|船.定理3假设L第一行中至少有两个顺次的bi,bT>0,那么(i)假设L是矩阵L的任意一个特征根,那么

4、必有|九1<加.(ii)limn(t)/尤=cn*,(4)t-.：其中c是与n(0)有关的常数.定理1至定理3的证实这里省去.由定理3的结论知道,当t充分大时,有n(t)-Con*(5)定理4记电=Rs1s21HS,q(K)=Pi/九+P2/7+Pm/,那么人是L的非零特征根的充分必要条件为q(九)二1(6)所以当时间充分大时,女性人口的年龄结构向量趋于稳定状态,即年龄结构趋于稳定形态,而各个年龄组的人口数近似地按九1的比例增长.由(5)式可得到如下结论：(i) 当>>1时,人口数最终是递增的；(ii) 当入<1时,人口数最终是递减的；(iii) 当=1时,人口数是稳定

5、的.根据(6)式,如果九二1,那么有bl+b2S1+b3S1S2+bnS1S2-Sm-1=1记R=bl+b2Sl+b3SlS2+bmSlS2Sm-1R称为净增长率,它的实际含义是每个妇女一生中所生女孩的平均数.当R>1时,人口递增；当代1时,人口递减.LeSlie模型有着广泛应用,这里我们给出一个应用的例子,供大家参考.公园大象治理南非的一家大型自然公园放养了大约11000头大象,治理部门希望为大象创造一个健康的生存环境,将大象的总数限制在11000头左右.每年,公园的治理人员都要统计当年大象的总数.过去20年里,公园每年都要处理一些大象,以便保持大象总数维持在11000头左右,通常都是

6、采用捕杀或者迁移的方法来实现.统计说明,每年约处理600-800头大象.近年来,公众强烈反对捕杀大象行为,而且即使是迁移少量的大象也是不允许的.但是一种新的给大象打避孕针的方法也被研制成功.一只成年母象打了避孕针后,两年内不再怀孕.公园有一些关于大象的资料,供建模参考：1几乎不再迁入或迁出大象；2目前性别比接近1:1,采取限制后,也希望维持这个比例；3初生象的性别比也是大约1:1,生双胎的比例为1.35%4母象初次怀孕大约在10-12岁,一直到60岁大约每3.5年怀胎一次,60岁后不再受孕,怀孕期为22个月；5避孕针可能引起大象每个月都发情,但不受孕,由于大象通常每3.5年生育1次,所以按月循

7、坏的方案是缺乏取的；6避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年内不再受孕；7初生象存活到1岁的比例为70%-80%此后,直至60岁前,存活率都比拟均匀,大约在95%以上,大象一般只活到70岁；8公园里不存在捕杀行为,偷猎可以不考虑；公园治理部门有一份过去两年移出公园大象的粗略统计,不幸的是没有捕杀或公园大象的具体数据；你的任务是,构造一个模型,利用模型研究如何采用避孕举措限制公园大象的总数.同时需要完成以下任务：1建立并利用*II型推算2-60岁大象可能的存活率,以及目前的大象年龄结构；2估计每年需要避孕多少大象,才能保证大象总数限制在11000头左右,说明数据不确定性对你的结论的影响,评

8、价一下年龄结构的变化以及对旅游的影响,你可能被要求观察30-60年；3假设每年可以移出50-300头大象,避孕大象数可以减少多少,评价如何根据经济效益平衡两种方案；4有一些反对观点认为,假设出现疾病或者失控的偷猎,使大象总数忽然大幅度下降,即使停止避孕,也会对大象群的恢复存在不良影响,研究并答复这个问题；5公园公治理部门正在构造模型,特别希望批驳那些以缺乏完整数据为由而嘲笑利用模型指导决策的观点.希望你的模型包括一份技术报告能给公园治理部门提一些建议,提升公园管理部门的信心,除此之外,你的报告,还应该包括一个详细的技术流程最多3页答复公共关心的问题.6假设非洲其它公园对你的模型感兴趣,有意利用

9、你的模型,请为公园大象数在300-25000头规模的公园提供一份避孕方案,顺便考虑一下存活率稍有不同或者可以有迁移的情况附过去两年的迁出数据年龄0123456789总量1103777170686158515251母象150364129313028242229总量298746961605452595857母象257343329342827312525年龄10111213141516171819总量151505148474948474342母象127272627262528271925总量260636460635952554950母象226363830333424302130年龄202122232

10、42526272829总量142373941424345484947母象118161924172521262927总量253576553565053494340母象229274023292421262416年龄303132333536373839总量46424444464947484641母象24222022242423252124总量38353733203330292926母象17161818151812171613年龄40414243444546474849总量141424338343433303526母象124192620201516132011总量2102425222122112121

11、19母象261114101012811129年龄50515253545556575859总量1211814597母象11098444总量215510976母象2645442年龄606162686970总量1432213母象1211103总量2230202母象22100016044303254703240636465666702102001020100001000假设与分析大象性别比接近1:1,初生象的性别比也是大约1:1,采取限制后,也希望维持这个比例；2过去两年迁出的大象是随机抽样,其结构反映了象群总体的年龄结构；3避孕是随机的,母象是否避孕是不可识别的,假设各个年龄的母象是等比例避孕的,比

12、例系数为k,仅通过调节k来限制公园大象数量；4母象初次怀孕大约在10-12岁,简化假设大象初孕时间为11岁,当前状态下,成年象的成活率为s,生育母象率为r,老年象的成活率是线性逐渐递减的,因此其成活率可表示为si=s(70-i)/10,(60Mi£70)设初生象活到1岁的存活率为s0O5避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年内不再受孕；且无论打避孕针前母象是否怀孕,一旦打了避孕针,母象就被避孕或中止怀孕,平均每年有尸比例的母象处于避孕状态；每年母象的避孕率为n,每年的避孕方案时瞬时完成的.6假设大象的年龄结构是稳定的.数据处理与分析(1)2-60岁大象的存活率与年龄结构母象生育

13、率为r=1/3.5+(1+0.0135)/2=0.1448头/年12岁的母象生育母象的生育率为r/6.由题设知道存活率sw(0.95,0.99).以下是第一年迁移出0至70岁大象数据x1=103,77,71,70,68,61,58,51,52,51,51,50,51,48,47,49,48,47,43,42,42,37,39,41,42,43,45,48,49,47,46,42,44,44,46,49,47,48,46,41,41,42,43,38,34,34,33,30,35,26,21,18,14,5,9,7,6,0,4,4,4,3,2,2,1,3,0,2,1,0,2;以下是第二年迁移的0

14、-70岁大象数据x2=98,7469616054525958576063646063595255495053576553565053494340383537332033302929261024252221221121211915510976547023020201000;x=x1+x2;x0=x/norm(x,1);以下是第一年迁移的0-59岁母象数据y1=503641293130282422292727262726252827192518161924172521262927242220222424232521242419262020151613201110984443032;以下是第二年迁移

15、的0-59岁母象数据y2=57343329342827312525263638303334243021302927402329242126241617161818151812171613611141010128111296454423240;考虑到有些数据较小及抽样的随机性,我们取两次抽样的平均值作为分析的根本数据.t1=x1(2:11);t2=x2(2:11);tt=t1+t2;tt1=tt(1:9);tt2=tt(2:10);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9672t1=x1(12:21);t2=x2(12:21);tt=t1+t2;tt1=tt(1:9);tt2=tt

16、(2:10);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9820t1=x1(12:31);t2=x2(12:31);tt=t1+t2;tt1=tt(1:19);tt2=tt(2:20);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9859t1=x1(12:41);t2=x2(12:41);tt=t1+t2;tt1=tt(1:29);tt2=tt(2:30);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9765t1=x1(12:51);t2=x2(12:51);tt=t1+t2;tt1=tt(1:39);tt2=tt(2:40);tn=tt2./tt1;mean(tn)

17、ans=0.9771t1=x1(12:60);t2=x2(12:60);tt=t1+t2;tt1=tt(1:48);tt2=tt(2:49);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9719n1=zeros(1,71);n1(1)=1;n1(2)=0.75;fori=3:61n1(i)=n1(i-1)*0.98;endn1;fori=62:71n1(i)=n1(61)*(1-(i-61)/10);endn1;N1=n1(12:50);xx=x(12:50);xx=100*xx/norm(xx,1);N1=100*N1/norm(N1,1);图1')t=1:39;plot(t

18、,N1,t,xx);axis(10,40,0,5);title('43.532.521.510.5010152025303540通过以上分析大致可以得到,1-60岁大象的存活率约为0.98.0-70岁年龄结构向量见图2.y0=100*x0/norm(x0,1);a=0:70;bar(a,y0,'stacked');title('图2')下面我们取s0=0.75,&=s2=0.98.m1=zeros(1,71);m1(1)=1;m1(2)=0.75/1.029;fori=3:61m1(i)=m1(i-1)*0.977/1.029;endm1;for

19、i=62:71m1(i)=m1(61)*(1-(i-61)/10);endm1;m1=100*m1/norm(m1,1);bar(a,m1,'stacked');title('图3稳定的年龄结构)plot(a,m1,'r-',a,y0,'b-.');title('图4年龄结构当前状态与稳定状态比拟)图4年龄结构当前状态与稳定状态比较7polyfit(y0,m1,1)ans=0.1981-0.0694从所给的数据来看,象群的年龄结构还没有到达相对稳定的状态.根据以上数据,大体可以得到l=zeros(71,71);l(1,13)=0.

20、1448/6;l(2,1)=0.75;fori=14:61l(1,i)=0.1448;endl;forj=3:61l(j,j-1)=0.98;end;l;fork=62:71l(k,k-1)=0.98-0.98*(k-61)/10;endl;eig(l);矩阵的唯一正特征值为1.0322.对于不同的存活率,得到的唯一正特征值为：s0=0.75,s=0.97,p=1.023;s0=0.75,s=0.98,p=1.0322;s0=0.75,s=0.99,p=1.042.下面我们估计每年处于避孕状态母象的比率不.此时,女性生育率为0.1448(1-).记s0=0.75,3=s=0.98-13-0.1

21、448(1-)s0s11/6,-i-0.1448(1-)s0s1111|s2J2(14<i<61)由(6)式得q(1)=-13-14-IH-61=1解得11-二48二0.376,1=0.6240.1448s0sl1/6.(1-s)/(1-s2)1-1/(0.1448*0.75*0.98A11*(1/6+(0.98-0.98A49)/0.02)ans=0.6240即每年应该有62.4%的母象处于避孕状态.为了保证有62.4%的母象处于避孕状态,下面分析每年应该打避孕针母象的比例n.在假设3和假设5的前提下,如果每年打避孕针母象比例为no母象可以分成3类：即当年被打避孕针而上一年没有被

22、打避孕针或上一年被打避孕针而本年没有被打避孕针,比例为2n(1_4)；连续两年被打避孕针M；连续两年没有被打避孕针.只有最后一类母象具有生育水平.因此,只需要“满足方程=2(1-)21-sqrt(0.376)ans=0.3868ans=0.38680.3868*5500ans=2.1274e+003解得ti=0.387,即每年大约需要给2127头母象打避孕针.在方案实施过程中,实际上根本不需要打这么多针,由于许多小象还是可以识别的.可以采取随机抽样的打针方式,对于抽到的小象只计数不打针,直至计满2127头母象,就算完成当年任务.采取打避孕针的方案对象群的年龄结构是由一些影响的,下面给出了打与不

23、打避孕针情况下稳定的象群年龄结构与各你阿爸年龄段象群数的比拟.m1=zeros(1,71);m1(1)=1;m1(2)=0.75/1.0322;fori=3:61m1(i)=m1(i-1)*0.98/1.0322;end;m1;fori=62:71m1(i)=m1(61)*(1-(i-61)/10);end;m1;n1=zeros(1,71);n1(1)=1;n1(2)=0.75;fori=3:61n1(i)=n1(i-1)*0.98;end;n1;fori=62:71n1(i)=n1(61)*(1-(i-61)/10);end;n1;subplot(1,2,1)a=0:70;plot(a,m

24、1,'r-',a,n1,'b-');title('图5年龄结构比拟');axis(0,70,0,1);M1=5500*m1/norm(m1,1);N1=5500*n1/norm(n1,1);a=0:70;subplot(1,2,2)plot(a,M1,'r-',a,N1,'b-')title('图5各年龄段大象数比拟图')250200150图5年龄结构比拟1axis(-0,70,0,300)0.90.80.70.60.50.40.30.20.102040600通过以上两个图的比拟,可以发现采取避孕举

25、措,将使幼象、小象数减少,中老年象数增加.由于采取避孕举措,使得初生小象数减少,因此会不可防止地引起象群年龄结构的改变,下面分析,15年、30年、60年后的象群年龄结构.L=zeros(71,71);L(1,13)=0.1448*0.376/6;L(2,1)=0.75;fori=14:61L(1,i)=0.1448*0.376;end;L;forj=3:61L(j,j-1)=0.98;end;L;fork=62:71L(k,k-1)=0.98-0.98*(k-61)/10;end;L;eig(L);n15=LA15*x0'n30=LA15*n15;n60=LA30*n30;n15=10

26、0*n15/norm(n15,1);n30=100*n30/norm(n30,1);n60=100*n60/norm(n60,1);M15=5500*n15/norm(n15,1);M30=5500*n30/norm(n30,1);M60=5500*n60/norm(n60,1);bar(a,55*y0)title(,图6a避孕前种群量分布');axis(0,70,0,250)bar(a,M15)title('图6b避孕15年后种群量分布');axis(0,70,0,250)bar(a,M30)title('图6c避孕30年后种群量分布');axis(0

27、,70,0,250)M60=5500*n60/norm(n60,1);bar(a,M60)title('图6d避孕前种群量分布');axis(0,70,0,250)图6d避孕前种群量分布n70=LA70*x0'n70=100*n70/norm(n70,1);k1=100*m1/norm(m1,1);图7给出了避孕前后年龄结构稳定状态的比拟plot(a,k1,'r-',a,n70,'b-.");title(,图7避孕前后稳定的年龄结构');axis(0,70,0,5)图7避孕前后稳定的年龄结构5数据不确定性对结果的影响=0.421

28、,二0.579分别取s0=0.7,0.8,、=电=0.95,0.990.1448sos11/6S2(1-s48)/(1-s2)1-1/(0.1448*0.7*0.95A11*(1/6+(0.95-0.95人49)/0.05)ans=0.01151-sqrt(1-0.0115)ans=0.00581-1/(0.1448*0.8*0.99A11*(1/6+(0.99-0.99A49)/0.01)ans=0.74661-sqrt(1-0.7466)ans=0.49660.012,0.757每年需避孕的母象比例为0.6%49.7%.对于每年可以迁移50-300头大象及s0=0.75,5=s2=0.98

29、,下面分析避孕方案的变化及最经济的方案.设增长率为p,对于=0.75,G=s2=0.98-3=0.1448(1-)s0s11/6,-i-0.1448(1-)s0s111Hs2,2(14EiE61)q(p)='/p12-14/p13HI-61/p60=1令务'u、/p,s'1=s,/ps2'=$/pP'13=0.1448(1-')s0'ss；1/6,P14'=0.1448(1-')s0'(s')11(s')2-42(14<i<61)q(p)''''13

30、9;-'14IH-61=11-=111480.1448s'0s'11/6+s2(1-s2)/(1-s'2)当p=1.01,每年的避孕率为28.2%,每年迁出110头；当p=1.02,每年的避孕率为16.8%,每年迁出220头；当p=1.025,每年的避孕率为11.3%,迁出275头.1-1/(0.1448*0.75*0.98A11*(1/6+(0.98-0.98人49)/0.02)ans=0.62401-sqrt(0.376)ans=0.3868p=1.01;1-pA12./(0.1448*0.75*0.98A11*(1/6+(0.98./p-(0.98./p).A49)/(1-0.98./p)ans=0.48481-sqrt(0.5152)ans=0.2822p=1.02;1-p.A12./(0.1448*0.75*0.98A11*(1/6+(0.98./p-(0.98./p)A49)/(1-0.98/p)ans=0.30801-sqrt(0.692)ans=0.1681p=1.025;1-p.A12./(0.1448*0.75*0.98A11*(1/6+(0.98./p-(0.98./p)A49)/(1-0.98/p)ans=0.20361-sqrt(0.7864)ans=0.1132进一步分析可以知道,