上海市2020届高三数学二模试题(含解析)

1、高三数学二模试题含解析一.填空题本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分1 .设全集廿=$假设丹=刈|式一3|1,那么.川=【答案】【解析】【分析】先化简集合A,再利用补集定义直接求解.【详解】全集U=R,集合A=x|x-3|1=x|x4或xv2,？uA=x|2x0时,函数y=x|x-a|=!一j=与y=4的图象如图：ax-xx0必须口,/一,解得a4；4|242当a0),据此可得f(2021)=f(3+336X6)=f(3),即可得答案.【详解】根据题意,函数当x0时,f(x)=f(x1)-f(x2),f(x+1)=f(x)-f(x1),+得f(x+1)=-f(x-2),1

2、-f(x+4)=-f(x+1)=f(x2),即f(x+6)=f(x),r0,又f(2021)=f(3+336X6)=f(3)而f(1)=f(0)-f(-1)=1-2=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1-1=-2,f(3)=f(2)-f(1)=-2-(-1)=-1,.f(2021)=f(3+336X6)=f(3)=-1;故答案为：-1.【点睛】此题考查分段函数值的计算,考查了周期性的推导与应用,属于中档题.12.过点产(；一2作圆产+(y-rn+l)s=1(me/i)的切线,切点分别为阿、H,贝必力加JLikJ的最小值为【答案】,【解析】【分析】根据圆心到点P的距离以及平面向量的数量积定义

3、,求出PC的最小值,计算再计算p%,p2的【详解】圆C：(x-gnj)2+(y-n+1)2=1的圆心坐标为最小值.Pmm-1,半径为1,PPB=M二Lcos/APC丝,.-.cosZAPB=2空2-1=1-PCPCpc222IIT心?而一PC1X1J=3+PC+-3+2PC-=-3+22,*八*u-PC2PC2JPC211当且仅当PL诅时取等1p4.pe的最小值为2g33.故答案为：23.【点睛】此题考查了平面向量的数量积的定义及根本不等式求最值问题,考查了直线与圆的位置关系应用问题,是中档题.二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.用胃是两个不同平面,布为口内的一条直线,那么“是

4、“口/罐的()A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由面面平行的定义及性质可判断必要【分析】m3不一定得到直线与平面平行,由此可判断不充分,性.【详解】“、3表示两个不同的平面,直线m?,m/3,不一定得到直线与平面平行,还有一种情况可能是直线和平面相交,.不满足充分性；当两个平面平行时,由面面平行的定义及性质可知：其中一个平面上的直线一定平行于另一个平面,一定存在m/3,满足必要性,.“m/3是“3的必要不充分条件应选：B.【点睛】此题考查充分必要条件的判断和线面、面面平行的定义及性质的应用,解题的关键是熟练掌握平面与平面平行的判定与性质定

5、理,是一个根底题.14 .钝角三角形川孔的面积是=8C=鼐,那么村等于A.1B.2C.卜西D.5【答案】C由三角形的面积公式求得角B,再由余弦定理求得AC的值.【详解】由题意,钝角ABC勺面积是八1.r1,M.r1S=:.?AE?BC?sinB=5x1x笛？xsinB=sinB=-,2222由余弦定理得：AC=AB+Cg2AB?CB?cosB=1+2-2Xl|x(-)=5,解得AC的值为G应选：C.【点睛】此题考查了三角形的面积公式和余弦定理的应用问题,是根底题.iX-2y+10表示的平面区域,且与圆.：/+/=1$相交于才、出y-2,n为奇数时,&=(+三？!,根据单调性可得：(&W2；n为

6、偶数时,33门43r,S.=-?(-,根据单调性可得：.可得S的最大值与最小值分别为：2,5.考虑到函数y=3t-f在(0,+00)上单调递增,即可得出.,可知:n为奇数时,&单调递减,且3SnSi=2；n为偶数时,可知：$单调递增,且331u?一22T3-,一=&3.-23:.S的最大值与最小值分别为:2,43考虑到函数y=3t-在(0,+8)上单调递增,0,ul).(1)假设函数六幻的反函数是其本身,求.的值；,1,一,一,一(2)当=时,求函数|y=,(幻+/(-用的取小值.【答案】(1)口=3；(2)-3【解析】【分析】(1)由互为反函数的函数定义域和值域互换得反函数解析式.(2)得到

7、解析式后根据根本不等式求最小值.【详解】(1)由题意知函数f(x)的反函数是其本身,所以f(x)的反函数ay=9-3x,x=fo先-V),反函数为丫=1他3(1)-)=代工)=1.9-3),所以a=3.当口=1时,f(x)明(9一f(x)4449那么y=f(x)+f(x)=-4(B2-(卜33X)-3,3X故最小值为-3.【点睛】此题考查了反函数和根本不等式的应用,属于简单题.18.如图,在多面体中,p%、tZ；均垂直于平面口勺=4,.1=3,=/1/?=/IC=2,=(1)求/I/与平面再出1C所成角的大小；(2)求二面角力-4比-.1的大小.、.屏、加【答案】(1)口广匚方in一;(2)a

8、rccos【解析】【分析】由题意建立空间直角坐标系.(1)由分别求出八片的坐标与平面ABC的一个法向量,那么线面角可求；(2)求出平面AAB的一个法向量,结合(1),由两法向量所成角的余弦值可得二面角A-AB-C的大小.AA=4,CG=3,BB=AB=AC=2,ZBAG=120,.A(0,0,0),A(0,0,4),B(祸-1,2),C(0,2,3).I),L2),=-I,-2),/G=(0,2t设平面ABC的一个法向量为,从分,TT,取y=l,得m-1=、万工-y-2z=0t-tni,=2yj胃=0AB与ABC所成角的最小值sin0=|cosI_15to-AB与ABC所成角的大小为(2)设平

9、面AAB的一个法向量为yvn=V&i-Vi-2zl=0,取xi=1,得=区亚0)costtmn=|m|.n一._,一面角A-AB-C的大小为urccdi5【点睛】此题考查利用空间向量法求解空间角,考查计算水平,是中档题.19.如图,一块长方形区域ABCD,AB1,仙二2,在边4D的中点.处有一个可转动的探照灯,其照射角始终为3,设“.探照灯照射在长方形内部区域的面积为s.(1)求:关于白的函数关系式;斤,一,一(2)当口与.彳时,求S的最大值.【答案】11-+工白打(g-a)tOcr1.11m)2tanaJttCd/l-4Z)1jt13n1-ian(tr)-；lancr),22247Tn4TT

10、a-4-2【解析】【分析】1根据条件讨论a的范围,结合三角形的面积公式进行求解即可.2利用两角和差的三角公式进行化简,结合根本不等式的性质进行转化求解即可.【详解】1ae0t%那么OA=1,即AE=tana,nHHOF1.L朽HF=tan(-那么4AOEHOF导面积分别为x1乂tanatana1-5,5乂1xtanIT(4tfln(a)T那么阴影局部的面积S=1近tr)tana4E在BH上,F在线段CH上,如图,EH二tanaI3tttan(-x)EF那么S(tuna,irM同理当口门牙一m叶一a,5=1-tan(a-)-a)；2tana17rl3n1tanaJ-tan(cr).上224OSJ

11、T42开3jfqM-(2)当时,S=14-ntan(-ff)tana42一工(1+tan21+tana.10tana0,其中11#之儿E-1)(HEN,n2),求集合8中所有元素的和.【答案】(1).“=月,九=7;(2)m=4;(3)见解析.【解析】【分析】(1)a=1,a：=Sh+Sn-i(nCN,n2),%j1=Sn+i+Sn,相减可得：讨宿:1一口：=an+i+an,化简利用条件及其等差数列的通项公式可得an.一一S3*一,.E1)一一一.数列bn满足1k.tT(nCN).n2时,bb2?bn_1._j-,相除可得bn.如小厂吃二2|1111111(2) cn=：anan=靛才仃二百T

12、/,利用求和公式与裂项求和方法可得：rTn=-：+1.作差Tn+1-Tn,利用其单调性即可得出.2片十I(3) x=kb+k2b2+knbn,且x0,其中k,k2,knC1,1(nCNi,n2),要使x0,那么必须kn=1.其它k1,k2,kn1-1,1(nCN,n2),可任取1,-1.通过放缩及其求和公式即可证实.另外kn=1.此时：x-2-22-2n1+2n0.*其它k1,k2,kn1-1,1(neN,n2),可任取1,-1.此时集合内的兀素x共有2n一1个互不相同的正数,利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n一1个.利用反证法证实这2n一1个式子所表示的x互不相等,再分析求解所有元素的和

13、.【详解】(1)a=1,an2=Sn+Sn1(nN,n2),%3=S+1+S,相减可得：IJi-0：=an+1+an,化为：(an+1+an)(an+1an1)=0,an+1+an0,an+i-3n=1,又吊=Sz+S,可得u,a22=0,a20,解得：a2=2,a2ai=1,数列an设等差数列,an=1+nT=n.数列bn满足._*.(nCN).n2时,bb?bnn(n-)=22i2斤+15+1)5十2)nW3时)工+iTn.n4时,T+iWTn.,*.一?当F4时,使得对任意的nCN,均有TmTn.,一、.*_rr.-,_-*一、(3)x=kibi+k2b2+knbn,且x0,其中ki,k

14、2,knC1,1(nCN,n2),要使x0,那么必须kn=1.其它ki,k2,kni-1,1(nCN,n2),可任取1,-1.证实：假设kn=-1,贝ux=ki?2+k2?22+-+kni?2n1-kn?2n2+22+2n1-2=-_-2n2-1=-2-2-22-2n+2n=-lJ2+2n=20,2-1故ki,k2,kni-1,1(nCN*,n2),可任取1,1.其它ki,k2,kni-1,1(nCN*,n2),可任取1,1.此时集合内的元素x共有2n一1个互不相同的正数.证实：ki,k2,kniC1,1(nCN,n2),利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n一1个.下面证实这2n1个式子所表示的x互不相等,具体如下:证实：假设这2n一1个式子所表示的x存在相等的数,X1=2n+kni?2n1+k2?22+ki?2=X2=2n+fr/1?2n1+A；?22卜口？2.ki,C-1,1frJi里|一、(iCN,n-1i2),即满足ki事4C-1,1iCN*,n-122的第一组系数的下标数为m那么口-塌？2=?2m1+%一厂院7?2.2+kA】？2,而|一%,？21+%_心：工？22+*A?2|2?2mi1+2?2