一篇文章解决圆锥曲线所有重难点

1、1.轨迹方程【知识点的熟悉】1 .曲线的方程和方程的曲线在平面内建立.直角坐标系以后,坐标平面内的动点都可以用有序实数对(x,y)表示,这就是动点的坐标.当点按某种规律运动形成曲线时,动点坐标,y)中的变量hy存在着某种制约关系,这种制约关系反映到代数中,就是含有变量x、y的方程.一般地,在宜用坐标系中,如果某曲线C(看做适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y):0的实数解建立了如F的关系；(口曲线上点的坐标都是这个方程的解,(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程就叫做曲线的方程,这条曲线就叫做方程的曲线.2 .求曲线方程的一般步骤(直接法)(1)建系

2、设点；建立适当的直角坐标系,川(x,y)表示曲线上任一点M的坐标；(2)列式：写出适合条件p的点M的集合Mp(M)；代人:用坐标表示出条件p(M),列出方程f(x,y)=0：(4)化简：化方程f(x,y)=0为最简形式；(5)证实；证实以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点【常用解法】(1)直按法：根据题目条件,直译为关于动点的几何关系,再利用解析几何有关公式(如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等)进行整理、化筒.这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧.2定义法,假设动点轨迹的条件符合某一根本轨迹的定义如椭圆、双曲线、抛物线、阅等,可用定义直接探求.关键是条件的转化,即转化为

3、某根本轨迹的定义条件.3相关点法；用所求动点P的坐标x,y表示动点M的坐标X义,即得到XFfx,y,y.Fg?x,y,再将设,%代入M满足的条件F比,yQ=0中,即得所求.一般地,定比分点问题、对称问题可用相关点法求解,相关点法的一般步骤是：设点一转换一代人一化简.4待定系数法5参数法6交轨法.2,圆与圆的位置关系及其判定【知识点的熟悉】1.圆勺圆的位置关系3 .圆与圆的位置关系的判定设两圆胧心分别为0,02,半径分别为n,n,I0Q2I二d1几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断外离4条公切线；d>rt+r2外切3条公切线：d二相交2条公切线!n-rjVd<n十口内切1条公

4、切线；d=k-n|内含.无公切线；0Vd<m-r/2代数法：联立两圆方程,转化为元：次方程,但要注意个x值可能对应两个yEL3.椭圆的简单性质【知识点的熟悉】1.椭圆的范困3.椭圆的顶点由图可知.-a<x<ab<y<b椭麟在直线小之济口土b所囹成辘形内.由图可知：椭留关干喊由,1朝吸原点对称.坐标轴为懈国对标他,坐标原点是耳对林中央,对称中央也叫楠图的中央.顶点：楠但I与对称轴的交点叫做椭圆的顶点.顶点坐标(如上图)：A,(-a,0),儿<a,0).B(0,-b).B,CO.b)其中,线段AMBB分别为拖圆的长轴和短轴,它们的长分别等于抑和2b,a和b分别叫

5、做新网的长半轴长和短半轴长.4 .椭圆的离心率离心率：椭圆的焦即与长轴长的比£叫做椭圆的离心率,用e衣示,即:e=£,且OVeVhaa寓心率的意义；刻两椭圆的扁平程度,如下面两个椭圆的扁平程度不一样；u越大越接近1,椭圆越扁平,相反,e越小越接近0,椭圆越圆.当且仅当a=b时,声0,椭圆变为圆,方程为x-'+yJ/5 .椭圆中的关系：a'b分4 .椭圆的应用【知识点的知识】椭圆定义的应用：1、利用定义求椭圆的标准方程：2、利用椭圆上点P与两焦点的距离等于2a解决焦点三角形问题.5 .抛物线的简单性质【知识点的知识】抛物线的简单性质：稼胜才程y1=2Px>

6、;3=-2px/w2即X3=-2及.点F得OF峭)Fe,-§)惟甥2一22一2萍想xgywRxwR,汴.凡>40对蝌x知y粕顶点(0,0)需心率e-1然华秘附=*仍尸卜乙附1=2L附=网【知识点的知识】抛物线的简单性质;标唯方程y=2"y2=-2px一=2万/=-2py焦点%/哆0,MF吟四.,喙准线-22T范国x40RX6凡0对赤轴用y«或点(0,0)离心串e-1集半径网吗+制|四|二|十同网地小17.双曲线的定义【定义】双曲线(Hyperbola)是指勺平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹,也可以定义为到定点与定九线的距离之比是一个大于1的

7、常数的点之凯迹.双曲线是网锥曲线的一种,即圆钺而与平面的交截线,双曲线在一定的仿射变换下,也可以看成反比例函数.两个定点F1,个叫做双曲线的焦点(focus),定宜线是双曲线的准线.常数e是双曲线的离心率.【标准方程】<a,b>0),表示焦点在x轴上的双曲线：当告=1b>0),表示焦点在y轴上的双曲线.【性质】这里的性质以4-彳=1(卜>0)为例讲解：ab、2焦点为(土c,0),其中1=热卜；准线方程为：X二士j离心率一£>1：渐近线：.a尸土现焦半径公式：左焦半径：I二|sHa|,右焦半径*p=|ex-a|.a【实例解析】例1:双曲密-41的渐近线方程

8、为4162222解：由,-9二0可得±2x,即双曲线七七二I的渐近线方程是尸土2x.416416故答案为；y=±2x.这个小题主要考察了对渐近线的理解,如果是在记不住,可以把那个等号后面的1看成是.,然后因式分解得到的两个式子就是它的渐近线.例2：双曲线的一条渐近线方程是x-2y二0,且过点P(4,3),求双曲线的标准方程解；根据题意,双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0,设双曲线方程为(XO),4.双曲线过点P(4,3),J/-3JA,即人=5.4所求双曲线方程为广-5,4即；Z-jd=i.520一般来书,这是解做题的第一问,常常是根据一些性质求出函数的表达式来,关键是找

9、到a、b、c三者中的两者,最后还要判断它的焦点在x轴还是y轴,知道这些参数后用待定系数法就可以直接写出函数的表达式了.【考点点评】这里面的两个例题是最根本的,必须要掌握,由于双曲线一般是在倒数第：个解做题出现,难度股也是相当大的,在这里可以有所取舍,对于根底一般的同学来说,尽量的把这些根底的分享到才是最重要的,对于还剩下的局部,尽量多写.8 .双曲线的简单性质【知识点的知识】双曲线的标准方程及几何性质焦距|FFzl=2c范围|x|a,yWRlyl'a,xWR对称关于x轴,y轴和原点对称顶点轴性质离心率准线渐近线(-a.0)t(a,0)实轴长2a,虚轴长2he=-(e>l)&

10、;2X二土区c二0ab(0,-a)<0,a)2y二士.ba9 .双曲线的应用【知识点的知识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程£一4=1(&>0.40)彳-.l(a>0,b>0>aba*b图形焦点焦距范围对称顶点轴性离心率准线质渐近线M(c,0),E,(c,0)IFE|二2c|x|2a】yQR关于x轴,y轴和原点对称(-a,0).(a,0)实轴长2a,盛轴长2be=£(e>l)a2X二土三cabE(0,-c),1(0.c)扑b-cCO-a)(0,a)y二土步c3=1ba10 .圆锥曲线的共同特征【知识点的知识】圆锥曲线的共同特征：

11、圜锥去想上的点到个定点的距离与它到定直线的距离之比为定值e.当0V6V1时,圆锥曲线是椭圆；当©>1时,圆锥曲线是双曲线；当e=l时,圆锥去想是抛物线,其中定点是圆锥曲线的一个焦点,定点线是相应这个交点的准线.11 .直线与圆锥曲线的关系【直线与WI锥曲线的关系】一线与圆锥曲线的关系主要是相不相交,交点个数为多少,由此而引出的副锥曲线到战线的距离,圆锥曲线与直线相切,直线截圆锥曲线的线段长度等问题,是高考的个前点,也是高考的个难点.下面简单的说一个例题供大家参悟.【例题讲解】例；AABC的两个顶点A,B的坐标分别是(0,-1),(0,己,且AC,例所在出线的斜率之积等rm5关0

12、).(1)求顶点C的轨迹E的方程,并判断轨迹E为何种圆锥曲线；(2)''inP-lEhi,过点F(l,0)的直线交曲线£1'M,'两点,设点区关于x轴的对称点为Q(M,Q不遁合)试问；直线MQ与x轴的交点是否为定点？假设是,求出定点,假设不是,请说明理由.解：(1设点C(X,y),li.lAC.BC所在直线的斜率之枳等于m5H0),得；N二1尸嚷,化简得：-mx4=1(x¥0).XI当川-1时,轨迹E表示焦点在y轴上的椭圆,且除去?0,1,CO.-1)两点；当m-1时,轨迹E表示以(O0)为圆心,半径是1的圆,且除去(0,1),(0.7)两点

13、；当-IVmVO时,轨迹E表示焦点在x釉上的椭圜,且除去(01),(0,-1)两点；、A0时,轨迹E表示焦点在y轴上的双曲缥且除去(0,I),(0.-1)两点,(2)当n=料,曲线E的方程为号+六1(科.).由题意可知代线1的斜率存在切不等于0,那么可设I：y=kx-1),再设M(小,yt).N(x%yQ,Q(x-山).y=k(x-1)联立3、,得(l+2k>)x34k'x+2k2二0.iv+y=1.4k22k2-2,x?=5>x<x2=12i+2k2】zl+2k2.MaQ不重合,那么XiXx*y>#-y?.Q所在直线方程为厂y产港x-七,l+2k?,直线MQ过

14、定点0.这个个符合高考的一职命题思路,先求曲线表达式,第二问讨论的是直线与点的关系,严格的来说线段也“以说是点的关系.解题思路就是应用韦达定理,把直线的自变量和因变量都用%,总和参数k表示,然后看自变量和因变量的关系,应该说思路不难,难点在于计算,这也告诉大家,要解决好这类题,计算水平必须增强,另外.考的时候尽量合理利用时间.【考点点评】本考点是非常重要的一个考点,根本上都是作为压轴题的形式在测试中出现,解决这类题除了掌握常用的一些方法外,还需要增强计算的水平,在测试当中尽量的多拿分.12.直线与圆锥曲线的综合问题【概述】直线与圆锥曲线的综合问题是附考的必考点,比方说求封闭面积,求距离,求他们

15、的关系等笫,常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系,通过这两个关系的变形去求解.【实例解析】例；圆锥曲线C上任意一点到两定点E11,0).Ft(1,0)的距离之和为常数,曲线C的离心率舄.(1)求圆锥曲线C的方程:(2)设经过点E的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B.试证实在x轴上存在个定点P.使瓦质的值是常数.解：依题意,设曲线C的方程为£十匕口(a>b>0).力2h？''C=1>b=3-cW5,所求方程为*1.当直线AB不与x轴垂直时,设其方程为y=kG-l>.由专串,y=k(x-1)得(3+4k")x*-8k2x+4(k2-3)=0,u而8k2.4(k2-3)从n,j以4XR=y必Y0=?,A03+4k23+4k.设P(I,0)那么PAPB=(t)(t)+yAyBx(kM)XaXb-(tn2)上坦q要df从A3+4k2当3/-12-5-8t+4t233解得t乌8此时对VkWR,近而罢；64当ABlx轴时,直线AB的方程为x二1,*的1,yK(yB>=±|»对B'标="a