专题01数和式的运算之绝对值与乘法公式(解析版)

1、专题01数和式的运算之绝对值与乘法公式知识点精讲(一)绝对值在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值.a(a0)正数的绝对值是他本身,负数的绝对值是他的相反数,0的绝对值是0,即a=0(a=0)-a(a<0)两个负数比拟大小,绝对值大的反而小两个绝对值不等式：|x|<a(a>0)ua<x<a；|x|>a(a>0)x<a或x>a(5)绝对值的几何意义：一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离.(6)两个数的差的绝对值的几何意义：|a-b|表示在数轴上,数a和数b之间的距离.二、典例精析【典例1】化简以下各式|3x-2|;【

2、答案】见解析3x2,(x.2)【解析】3x-2=322-3x,(x：二2)3(3)x2-4x4；【答案】见解析(2)|x+1|+|x-3|;【答案】见解析耳2x2,(x：:-1)【解析】x1x-3=4,(-1_x_3)2x-2,(x3)(4),t44t24【答案】见解析.,x-2,(x>2)0,0【解析】&24x+4=x-2=$【解析】,4+4t2+4=t+2=t+2口一x,(x<2)2,(2)x-1=1【典例2】解以下方程(1) x1=1【解析】(1)xT=1=x-1=1或x-1=1=x=城x=0(2) x2-1=1ux2-1=1或x2-1=-1ux2=2或x2=0Ux=

3、±V2bcx=0【典例3】解以下不等式2x3<2【答案】见解析1 5【解析】2x-3<2=-2<2x-3<2：-1<2x<5：-_x<-2 2(2) x-1+|x-3>4.【答案】见解析【解法一】由x1=0,得x=1;由x3=0,得x=3;假设x<1,不等式可变为-(x-1)-(x-3)>4,即-2x+4>4,解得x<0,又xv1,xv0；假设1Ex<2,不等式可变为(x1)(x3)>4,即1>4,不存在满足条件的x；假设x'3,不等式可变为(x1)+(x3)>4,即2x4>

4、4,解得x>4.又x>3,.x>4.综上所述,原不等式的解为x<0,或x>4.【解法二】如图1.11,x1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|,即|PA|=|x1|；|x3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|,即|PB|=|x3|,广3APCABDIIIII1rx0134工YKf图L1-1所以,不等式x-1+x-3>4的几何意义即为|PA|+|PB|>4.由|AB|=2,可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.xv0,或x>4.【典例4】画出以下函数的图像(1) y=x(2)y=x-2

5、x2【答案】见解析iiii3J56723y443-IIliIli.1I-5-4-3-24d12- 1- 2- 3-iiii3456r【解析】二乘法公式平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)完全平方公式222(a土b)2=a2±2ab+b2.(3)立方和公式3322ab=(ab)(aabb);立方差公式a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；(5)三数和平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)；(6)两数和立方公式3(ab)3_2_23=a+3ab+3ab+b;两数差立方公式(a-b)3=a3-3a2b3ab2-b3【典例5】分解以下因式(1)

6、x3-1【答案】见解析【解析】X3-1=(x-1)(x2,X,1)(2) x3+1【答案】见解析【解析】x31=(x1)(x2x1)【典例6】计算：(x+1)(x-1)(x2-x+1)(x2+x+1)【答案】见解析【解析】(x1)(x一1)(x2-x1)(x2x1)=(x3-1)(x31)=x61【典例7】：x+y=1,求x3+y3+3xy的值.【答案】见解析【解析】x3y33xy=(xy)(x2-xyy2)3xy=x22xyy2=(xy)2=1【典例8】：x3-3x+1=0,求*3的值.x【答案】见解析131121112【解析】x_3x1=0=x-=3=x3=(x)(x-12)=(x)(x)

7、-3=18xxxxxx【典例9】设xnyn2!,求x3+y3的值.2-323【答案】见解析.2、32、32、32、33322x：r,y=,xy=14,xy=1,.xy=(xy)(x-xyy)【解析】2-.32,32-32,3二(xy)(xy)2-3xy=14(142-3)=2702三、对点精练1.以下表达正确的选项是A.假设|a|=|b|那么a=bB.假设|a|>|b|那么a>bC.假设a<b,那么|a|<|b|D.假设|a|=|b|那么a=ib【答案】D【解析】方法一：根据绝对值的意义可得.方法二：取特殊数验证可选出答案.2 .如果|a|+|b|=5,且a=-1,贝U

8、b=;假设|1-=2,贝Uc=【答案】±4,3或-1,ab=5,a=1,b=4,.b=：4.【解析】,一千千t1-c=2=*1-C=2或1-c=-2=.c=-1或c=33 .假设|x|=5,贝Ux=;假设冈=卜4|,贝Ux=【答案】5,4【解析】根据绝对值的意义可得4 .解不等式|x2-1|<2.【答案】见解析【解析】x2-1<2-2<x2-1<2-1<x2<3-/3<x<v35 .解方程3x+11=5【答案】见解析【解析】3x1-1=5=3x1=6=x1=2=x1=2或x1=2=x=1或-36 .化简：|x+1-x2【答案】见解析-3

9、,(x<-1)【解析】x+1-x-2=2x-1,(-1：:x：二2)3,(x_2)7.画出以下函数的图像(1)y=-x1【答案】见解析(2)y=xx_1y11nli-2To12-1-3iiii3d567,2一2一22、2(2)(x2xyy)(x-xyy),.、,12.2.、(4)(a-4b)(-a4bab)428.计算：(1)(4+m)(164m+m)223(3)(ab)(a-abb)-(ab)【答案】见解析【解析】(1)(4m)(16-4mm2)=64-m32c2、,22、2,、2,22、2,33、26c336(2)(x2xyy)(x-xyy)=(xy)(x-xyy)=(xy)=x2x

10、yy(3)(ab)(a2-abb2)-(ab)3=a3b3-(ab)3=3a2b3ab21221322232133(4)(a-4b)(a4bab)=a4abab-ab-16b-4ab=-a-16b444,231,9.x-5x+1=0,求x+的值x【答案】见解析213113211131【解析】x-5x1=0x+=5x=(x+-)-3x-3x=(x+-)-3(x+)=125-15=11010.xxxxxxx一,111111a+b+c=0,求a(+-)+b(+-)+c(-+)的值bcacba【答案】见解析11,11、11、aabbcc-b-c-a_斛析a()-b()c()=一一.-.一-一二一一-一二_3bcacbabcacbabca3x_3x11.a>0,a2x=3,求亘-二的值.aa【答案】见解析AyAyyy2yyaa(aa)-3(aa)x2c2xo-2xooo17【解析】=-：z=(a+a)-3=a+2+a-3=3+2+-3=-aaaa33212.a2-4a+1=0,求4a2-的值.a5a1【答案】见解析【解析】19,a-4a1=0,.a一=4,.aa2彳a1.r1=162=14,a45a21a13.-2-22的值.1a+b+c=0,求-222+bc-a见解析【解析】722工,-2-bc-aab1111一一()2bcabac22,-2222Z2