线性代数知识点总结汇总

1、word线性代数知识点总结1 行列式一行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：用于化简行列式1行列互换转置，行列式的值不变2两行列互换，行列式变号3提公因式：行列式的某一行列的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式4拆列分配：行列式中如果某一行列的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。5一行列乘k加到另一行列，行列式的值不变。6两行成比例，行列式的值为0。二重要行列式4、上下三角主对角线行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：A是m阶矩阵，B是

2、n阶矩阵，那么7、n阶n2范德蒙德行列式数学归纳法证明8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：三按行列展开9、按行展开定理：1任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值2行列式中某一行列各个元素与另一行列对应元素的代数余子式乘积之和等于0四行列式公式10、行列式七大公式：1|kA|=kn|A|2|AB|=|A|·|B|3|AT|=|A|4|A-1|=|A|-15|A*|=|A|n-16假设A的特征值1、2、n，那么 7假设A与B相似，那么|A|=|B|五克莱姆法那么 11、克莱姆法那么：1非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解2如果非齐次线性方程

3、组无解或有两个不同解，那么它的系数行列式必为03假设齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。2 矩阵一矩阵的运算1、矩阵乘法考前须知：1矩阵乘法要求前列后行一致；2矩阵乘法不满足交换律；因式分解的公式对矩阵不适用，但假设B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律3AB=O不能推出A=O或B=O。2、转置的性质5条1A+BT=AT+BT2kAT=kAT3ABT=BTAT4|A|T=|A|5ATT=A二矩阵的逆3、逆的定义：AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1注：A可逆的充要条件是|A|04、逆的性质：5

4、条1kA-1=1/k·A-1 (k0)2AB-1=B-1·A-13|A-1|=|A|-14AT-1=A-1T5A-1-1=A5、逆的求法：1A为抽象矩阵：由定义或性质求解2A为数字矩阵：A|E初等行变换E|A-1三矩阵的初等变换6、初等行列变换定义：1两行列互换；2一行列乘非零常数c3一行列乘k加到另一行列7、初等矩阵：单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。8、初等变换与初等矩阵的性质：1初等行列变换相当于左右乘相应的初等矩阵2初等矩阵均为可逆矩阵，且Eij-1=Eiji，j两行互换；Ei-1c=Ei1/c第i行列乘cEij-1k=Eij-k第i行乘k加到j四矩阵的秩9、秩

5、的定义：非零子式的最高阶数注：1rA=0意味着所有元素为0，即A=O2rAn×n=n满秩 |A|0 A可逆；rAn|A|=0A不可逆；3rA=rr=1、2、n-1r阶子式非零且所有r+1子式均为0。10、秩的性质：7条1A为m×n阶矩阵，那么rAminm,n2rA±BrA±B3rABminrA，rB4rkA=rAk05rA=rACC是一个可逆矩阵6rA=rAT=rATA=rAAT7设A是m×n阶矩阵，B是n×s矩阵，AB=O，那么rA+rBn11、秩的求法：1A为抽象矩阵：由定义或性质求解；2A为数字矩阵：A初等行变换阶梯型每行第一个

6、非零元素下面的元素均为0，那么rA=非零行的行数五伴随矩阵12、伴随矩阵的性质：8条1AA*=A*A=|A|E A*=|A|A-12kA*=kn-1A*3AB*=B*A*4|A*|=|A|n-15AT*=A*T6A-1*=A*-1=A|A|-17A*=|A| n-2·A8rA*=n rA=n； rA*=1 rA=n-1； rA*=0 rAn-1六分块矩阵13、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法相同。14、分块矩阵求逆：3 向量一向量的概念及运算1、向量的内积：，=T=T2、长度定义： |= 3、正交定义：，=T=T=a1b1+a2b2+anbn=04、正交矩阵的定义：A为n阶矩阵，AA

7、T=E A-1=AT ATA=E |A|=±1二线性组合和线性表示5、线性表示的充要条件：非零列向量可由1，2，s线性表示(1)非齐次线性方程组1，2，sx1，x2，xsT=有解。(2)r1，2，s=r1，2，s，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验6、线性表示的充分条件：了解即可假设1，2，s线性无关，1，2，s，线性相关，那么可由1，2，s线性表示。7、线性表示的求法：大题第二步设1，2，s线性无关，可由其线性表示。1，2，s|初等行变换行最简形|系数行最简形：每行第一个非0的数为1，其余元素均为0三线性相关和线性无关8、线性相关考前须知：1线性相关=021，2线性

8、相关1，2成比例9、线性相关的充要条件：向量组1，2，s线性相关1有个向量可由其余向量线性表示；2齐次方程1，2，sx1，x2，xsT=0有非零解；3r1，2，ss 即秩小于个数 特别地，n个n维列向量1，2，n线性相关1 r1，2，nn2|1，2，n |=031，2，n不可逆10、线性相关的充分条件：1向量组含有零向量或成比例的向量必相关2局部相关，那么整体相关3高维相关，那么低维相关4以少表多，多必相关推论：n+1个n维向量一定线性相关11、线性无关的充要条件向量组1，2，s 线性无关1任意向量均不能由其余向量线性表示；2齐次方程1，2，sx1，x2，xsT=0只有零解3r1，2，s=s特

9、别地，n个n维向量1，2，n 线性无关r1，2，n=n |1，2，n |0 矩阵可逆12、线性无关的充分条件：1整体无关，局部无关2低维无关，高维无关3正交的非零向量组线性无关4不同特征值的特征向量无关13、线性相关、线性无关判定1定义法2秩：假设小于阶数，线性相关；假设等于阶数，线性无关【专业知识补充】1在矩阵左边乘列满秩矩阵秩=列数，矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵的秩不变。2假设n维列向量1，2，3 线性无关，1，2，3 可以由其线性表示，即1，2，3=1，2，3C，那么r1，2，3=rC，从而线性无关。r1，2，3=3 rC=3 |C|0四极大线性无关组与向量组的秩14、极大

10、线性无关组不唯一15、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩比照：矩阵的秩:非零子式的最高阶数注:向量组1，2，s 的秩与矩阵A=1，2，s的秩相等16、极大线性无关组的求法11，2，s 为抽象的：定义法21，2，s 为数字的：1，2，s初等行变换阶梯型矩阵那么每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组五向量空间17、基就是极大线性无关组变换公式：假设1，2，n 与1，2，n 是n维向量空间V的两组基，那么基变换公式为1，2，n=1，2，nCn×n其中，C是从基1，2，n 到1，2，n 的过渡矩阵。C=1，2，n-11，2，n18、坐标变换公式：向量在基1，2，n与基1，

11、2，n 的坐标分别为x=x1，x2，xnT，y=y1，y2，ynT，即=x11 + x22 + +xnn =y11 + y22 + +ynn，那么坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。其中，C是从基1，2，n 到1，2，n 的过渡矩阵。C=1，2，n-11，2，n六Schmidt正交化19、Schmidt正交化设1，2，3 线性无关1正交化令1=12单位化4 线性方程组一方程组的表达形与解向量1、解的形式： (1)一般形式(2)矩阵形式：Ax=b；(3)向量形式：A=1，2，n2、解的定义：假设=c1，c2，cnT满足方程组Ax=b，即A=b，称是Ax=b的一个解向量二解的判定与性质3、齐次方

12、程组：1只有零解rA=nn为A的列数或是未知数x的个数2有非零解rAn4、非齐次方程组：1无解rArA|brA=rA-12唯一解rA=rA|b=n3无穷多解rA=rA|bn5、解的性质：1假设1，2是Ax=0的解，那么k11+k22是Ax=0的解2假设是Ax=0的解，是Ax=b的解，那么+是Ax=b的解3假设1，2是Ax=b的解，那么1-2是Ax=0的解【推广】1设1，2，s是Ax=b的解，那么k11+k22+kss为 Ax=b的解 当ki=1 Ax=0的解 当ki=02设1，2，s是Ax=b的s个线性无关的解，那么2-1，3-1，s-1为Ax=0的s-1个线性无关的解。变式：1-2，3-2，

13、s-22-1，3-2，s-s-1三根底解系6、根底解系定义：11，2，s 是Ax=0的解21，2，s 线性相关3Ax=0的所有解均可由其线性表示根底解系即所有解的极大无关组注：根底解系不唯一。任意n-rA个线性无关的解均可作为根底解系。7、重要结论：证明也很重要设A施m×n阶矩阵，B是n×s阶矩阵，AB=O1B的列向量均为方程Ax=0的解2rA+rBn第2章，秩8、总结：根底解系的求法1A为抽象的：由定义或性质凑n-rA个线性无关的解2A为数字的：A初等行变换阶梯型自由未知量分别取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到根底解系四解的结构通解9、齐次线性

14、方程组的通解所有解设rA=r，1，2，n-r 为Ax=0的根底解系，那么Ax=0的通解为k11+k22+kn-rn-r 其中k1，k2，kn-r为任意常数10、非齐次线性方程组的通解设rA=r，1，2，n-r 为Ax=0的根底解系，为Ax=b的特解，那么Ax=b的通解为+ k11+k22+kn-rn-r 其中k1，k2，kn-r为任意常数五公共解与同解11、公共解定义：如果既是方程组Ax=0的解，又是方程组Bx=0的解，那么称为其公共解12、非零公共解的充要条件：方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解 有非零解 13、重要结论需要掌握证明1设A是m×n阶矩阵，那么齐次方程ATAx=0与

15、Ax=0同解，rATA=rA2设A是m×n阶矩阵，rA=n，B是n×s阶矩阵，那么齐次方程ABx=0与Bx=0同解，rAB=rB5 特征值与特征向量一矩阵的特征值与特征向量1、特征值、特征向量的定义： 设A为n阶矩阵，如果存在数及非零列向量，使得A=，称是矩阵A属于特征值的特征向量。2、特征多项式、特征方程的定义：|E-A|称为矩阵A的特征多项式的n次多项式。|E-A |=0称为矩阵A的特征方程的n次方程。注:特征方程可以写为|A-E|=03、重要结论：1假设为齐次方程Ax=0的非零解，那么A=0·，即为矩阵A特征值=0的特征向量2A的各行元素和为k，那么(1，1

16、，1)T为特征值为k的特征向量。3上下三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。4、总结：特征值与特征向量的求法1A为抽象的：由定义或性质凑2A为数字的：由特征方程法求解5、特征方程法：1解特征方程|E-A|=0，得矩阵A的n个特征值1，2，n注：n次方程必须有n个根(可有多重根，写作1=2=s=实数，不能省略)2解齐次方程iE-A=0，得属于特征值i的线性无关的特征向量，即其根底解系共n-riE-A个解6、性质：1不同特征值的特征向量线性无关2k重特征值最多k个线性无关的特征向量 1n-riE-Aki3设A的特征值为1，2，n，那么|A|=i，i=aii4当rA=1，即A=T，其中，均为n

17、维非零列向量，那么A的特征值为1=aii=T=T，2=n=05设是矩阵A属于特征值的特征向量，那么AfAATA-1A*P-1AP相似f-1|A|-1/P-1二相似矩阵7、相似矩阵的定义：设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，称A与B相似，记作AB8、相似矩阵的性质1假设A与B相似，那么fA与fB相似2假设A与B相似，B与C相似，那么A与C相似3相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹即主对角线元素之和【推广】4假设A与B相似，那么AB与BA相似，AT与BT相似，A-1与B-1相似，A*与B*也相似三矩阵的相似对角化9、相似对角化定义：如果A与对角矩阵相

18、似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP= ，称A可相似对角化。注：Ai=iii0，由于P可逆，故P的每一列均为矩阵A的特征值i的特征向量10、相似对角化的充要条件1A有n个线性无关的特征向量2A的k重特征值有k个线性无关的特征向量11、相似对角化的充分条件：1A有n个不同的特征值不同特征值的特征向量线性无关2A为实对称矩阵12、重要结论：1假设A可相似对角化，那么rA为非零特征值的个数，n-rA为零特征值的个数2假设A不可相似对角化，rA不一定为非零特征值的个数四实对称矩阵13、性质1特征值全为实数2不同特征值的特征向量正交3A可相似对角化，即存在可逆矩阵P使得P-1AP=4A可正交相似对角化，

19、即存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=QTAQ=6 二次型一二次型及其标准形1、二次型： 1一般形式2矩阵形式常用2、标准形：如果二次型只含平方项，即fx1，x2，xn=d1x12+d2x22+dnxn2 这样的二次型称为标准形对角线3、二次型化为标准形的方法：1配方法：通过可逆线性变换x=CyC可逆，将二次型化为标准形。其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。2正交变换法：通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形1y12+2y22+nyn2 其中，1，2，n 是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵注:正交矩阵Q不唯一，i与i 对应即可。二惯性定理及标准形4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯