数学分析 CALCULUS - 深圳大学

1、第十七章多元函数微分学授课教师：胡鹏彦授课对象：05本科第十七章多元函数微分学第十八章 隐函数定理及其应用1 隐函数2 隐函数组3 几何应用4 条件极值第十七章多元函数微分学1 可 微 性一 可微性与全微分二 偏导数三 可微性条件四 可微性几何意义及应用第十七章多元函数微分学2 复 合 函 数 微 分 法一 复合函数的求导法则二 复合函数的全微分第十七章多元函数微分学4 条 件 极 值条件极值, 拉格朗日乘数法掌握拉格朗日乘数解条件极值问题,理解拉格朗日函数的引入拉格朗日乘数法的应用,基本内容:基本要求:重点难点:拉格朗日函数的引入第十七章多元函数微分学4 条 件 极 值做一个容量为V的长方体

2、开口水箱, 问水箱 的长、宽、高各等于多少时, 其表面积最小?第十七章多元函数微分学4 条 件 极 值12,0, 1, 2,()knx xxkm mn(2)对自变量有约束条件的极值问题称为的限制下求目标函数. 12,nyf x xx(3)的极值.条件极值问题的一般形式为: 在条件组第十七章多元函数微分学且在P0取得极值, 则有若函数 f 在点P0(x0, y0)存在偏导数, 0000,0.xyfx yfx y第十七章多元函数微分学U (P0)内具有二阶连续偏导数, 且P0是 f的稳定点. 设二元函数 f 在点P0(x0, y0)的某邻域则当 (P0)是正定矩阵时, f 在P0取得极小值; 当

3、(P0)是负定矩阵时, f 在P0取得极大值;当 (P0)是当 (P0)是不定矩阵时, f 在P0不取极值.第十七章多元函数微分学为 f 在点P0的黑赛(Hesse)矩阵. 000000 xxxyxxxyfyxyyyxyyPfffPfPHPfffPfP称矩阵第十七章多元函数微分学二阶连续偏导数, 且P0是 f 的稳定点, 则有设二元函数 f 在点P0(x0, y0)的某邻域U (P0)内具有(i) 当时, f 在点P0取得 2000, 0 xxxxyyxyfPf ffP极小值;(ii) 当时, f 在点P0取得 2000, 0 xxxxyyxyfPf ffP极大值;(iii) 当时, f 在点

4、P0不能取得极值; 200 xxyyxyf ffP(iv) 当时, 不能肯定 f 在点P0是否 200 xxyyxyf ffP取得极值.第十七章多元函数微分学4 条 件 极 值( , )yf x y在约束条件求函数( , )0 x y下的条件极值.第十七章多元函数微分学( , )0 x y确定的隐函数y g(x)的导数为4 条 件 极 值方程( )( ).( )xyxg xx 第十七章多元函数微分学( , )0F x y 上点P0(x0, y0)处切线的方向数为4 条 件 极 值平面曲线00,.xyFPFP第十七章多元函数微分学定理定理18.6(0)(0)(0)012,nP xxx其中 f 与

5、k(k 1, 2, , m)在D内有连续的一阶偏雅可比矩阵01111Pnmmnxxxx(13)4 条 件 极 值设在条件(2)的限制下, 求函数(3)的极值,导数. 若D的内点是极值点, 且第十七章多元函数微分学的解.11111111100,0,0nmmkxkkmkxkknnnmnfLxxfLxxLxxLxx4 条 件 极 值的秩为m, 则存在常数为下述nm个方程使得(0)(0)(0)12,m(0)(0)(0)(0)11,nmxx第十七章多元函数微分学例例122xyz截成一个椭圆. 求这个椭圆到原点的最长与最短距离.1xyz4 条 件 极 值用拉格朗日乘数法求水箱设计问题的解.被平面例例2 抛

6、物面第十七章多元函数微分学1111 (0,0,0,0)xyzrxyzr其中a, b, c为任意正实数.131113,abcabc4 条 件 极 值下的极小值, 并证明不等式例例3 求f (x, y, z) xyz在条件第十七章多元函数微分学上的点到xy平面的最小距离和最大距离.222222,xyazxyxya4 条 件 极 值1. 设a0, 求曲线作业作业 P.169. 习题 1. (1), (3). 3.补充作业补充作业证明不等式2. 设11,0,1, 2, .nixxxin12121111.nnnxxxnxxxn第十七章多元函数微分学第十八章 复 习一、隐函数: 由方程所确定的函数.1 隐

7、函数.xyFyF 二、隐函数定理: 条件: (i) F, Fx和Fy连续;(ii) F(x0, y0)0; (iii) Fy(x0, y0)0,结论: F(x, y)0确定一个连续可微的函数 y f (x)其导数为第十七章多元函数微分学第十八章 复 习三、利用隐函数定理解题的一般步骤:1 隐函数(i) 确定F, 求F对各变量的偏导数;(ii) 验证F(P0)0及F和F对各变量偏导数的连续性;(iii) 验证在P0处F对某变量偏导数不等于0;(iv) 利用隐函数定理求导数.注意: 当已知所给方程能够确定连续可微的隐函数时, 该隐函数的(偏)导数可通过方程两端求(偏)导数, 然后解方程而得到.第十

8、七章多元函数微分学第十八章 复 习一、隐函数组: 由方程组所确定的函数组.2 隐函数组二、隐函数组定理: 条件: (i) F和G具有连续偏导数;(ii) F(P0)G(P0) 0; (iii) Fy(x0, y0)0,结论: 方程组F(x, y, u, v)0, G(x, y, u, v)0可确定一组可微函数组u = u(x, y), v = v(x, y), 且(iii)00( ,)0,( , )PPF GJu v1( ,)( , )uF GxJx v 1( ,)( , )uF GyJy v 第十七章多元函数微分学第十八章 复 习三、利用隐函数组定理解题的步骤类似隐函数定理1 隐函数注意:

9、方程组确定的隐函数组的(偏)导数可通过方程两端求(偏)导数, 然后解方程组给出.第十七章多元函数微分学第十八章 复 习一、平面曲线的切线与法线3 几何应用求出曲线在指定点切线的斜率, 即函数的导数.曲线由方程F(x, y) 0确定切线方程:000000,0,xyFx yxxFx yyy法线方程:000000,0.yxFx yxxFx yyy第十七章多元函数微分学第十八章 复 习二、空间曲线的切线与法平面3 几何应用求出曲线在指定点切线的方向向量.曲线由参数方程给出切线方程: 000000,xxyyzzx ty tz t法平面方程:( ), ( ), ( ).xx tyy tzz t 00000

10、00.x txxy tyyz tzz切线的方向向量: 000, , x ty tz t第十七章多元函数微分学第十八章 复 习3 几何应用曲线由方程组给出切线方程:000000,( ,)( ,)( ,)( , )( , )( , )PPPxxyyzzF GF GF Gy zz xx y( , , )0( , , )0F x y zG x y z切线的方向数:0( ,),( , )PF Gy z0( ,),( , )PF Gz x0( ,)( , )PF Gx y第十七章多元函数微分学第十八章 复 习3 几何应用法平面方程:000000( , )( , )( , )0( , )( , )( , )PPPF GF GF Gx xyyz zy zz xx y第十七章多元函数微分学第十八章 复 习三、曲面的切平面与法线3 几何应用求出曲面在指定点的法向量.切平面方程:000000 xyzxxyyzzFPFPF P法线方程:( , , )0F x y z 0000000.xyzFPxxFPyyF Pzz