克莱姆法则及证明

1、第7节克莱姆（Cramer）法则、线性方程组n元线性方程组是指形式为:%西+的后=瓦如典+如为+%/-4（1）的方程组，其中丙；"再代表H个未知量,那是方程的个数，二阳；J=12”）称为方程组的系数，亳072,1二附）称为常数项。线性方程组的一个解是指由力个数J组成的有序数组当打个未知量力卜勺，分别用乜/，代入后，式（1）中每个等式都成为恒等式。方程组（1）的解的全体称为它的解集合，如果两个线性方程组有相同的解集合，就称它们是同解方程组。为了求解一个线性方程组，必须讨论以下一些问题：（1）,这个方程组有没有解？（2）.如果这个方程组有解，有多少个解？（3）,在方程组有解时，解之间的关

2、系，并求出全部解。本节讨论方程的个数与未知量的个数相等（即加=月）的情形。二、克莱姆法则定理1（克莱姆法则）如果线性方程组7口七+12/+为把/十03a电十十叼叫的系数行列式:那么这个方程组有解，并且解是唯一的，这个解可表示成:(3)其中丛是把D中第i列换成常数项4瓦”也所得的行列式，即a2i-l9+1l7h+1卜12'二并）。给出。分析：定理一共有3个结论：【方程组有解；T,解是唯一的；E,解由公式（3）因此证明的步骤是:D¥=（i=2,津）第一，把D代入方程组，验证它确实是解。这样就证明了方程组有解，并且（3）是一个解，即证明了结论T与30。第二，证明如果45七马，内:是

3、方程组（2）的一个解，那么一定有口14Dq=-,%=_-：q=-口0Q''"Do这就证明了解的唯一性，即证明了结论2°o证明：先回忆行列式的一个性质，设为阶行列式4工趣&=沏4+电£&+戛4JL当i=J时；当时.=鼻口Ha+困jAjjj=ji时;接下来证明定理。首先，证明（3）确实是（2）n的解。将行列式/按第1列展开得:D.其中4,是行列式。中元素餐的代数余子式。现把；二,代入第t个方程的左端，得:外卷+%a+气甘二,均+%4+%旦=-M+务当1+a4)+%(44+与4+44。十十%囱&34+44)=%奴恤&+%&

4、amp;+-+%4)+%(知41+知与+%醺)+4(/4+%4+1-+44)这说明将（3）代入第雄=12濯）个方程后，得到了一个恒等式，所以（3）是（2）的一个解。其次，设1L：1人后，得到册个恒等式：1xrx是方程组（2）的一个解，那么，将胃可I代入（2），的15+鼻口与+鼻仍白=4的Fi+"%=瓦(4)用系数行列式的第而=L2,总）列的代数余子式,4）依次去乘（4）中r个恒等式，得到:知,4?当与+=44口削4g+口启月3步&十'+出密4%=%当产社4q*/a4启+4t4q=将此并个等式相加，得：14+囱4+/A>i+&A+%色+%4%+（a1H+%

5、4+%4）彳=Mu+&&+44cQ=D*e«=L"、（,>从而有：D。这就是说，如果旧，孙，C”是方程组（2）的D6=。=1,2,一个解，那么一定有D,所以方程组只有一个解。三、齐次线性方程组在线性方程组中，有一种特殊的线性方程组，即常数项全为零的方程组，称为齐次线性方程组。显然，齐次线性方程组总是有解的，因为了。卜1,2尊）就是它的解，这个解称为零解；其他的，即I不全为零的解（如果还有的话），称为非零解。所以，对于齐次线性方程组，需要讨论的问题，不是有没有解，而是有没有非零解。这个问题与齐次线性方程组解的个数是有密切关系的。如果一个齐次线性方程组只有

6、零解，那么这个方程组就只有唯一解；反之，如果某个齐次线性方程组有唯一解，那么由于零解是一个解，所以这个方程组不可能有非零解。对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克莱姆法则，有推论1如果齐次线性方程组711七-*12与+,一+1龙4媒21再+次短/+曰期/=0</十先占+''+葭=°（5）的系数行列式不等于零，那么（5）只有零解。推论2齐次线性方程组工+鼻口兀口+，,.+口以/=0白把金+3地通十一,+0脑/=041勺+4/'+/A=0有非零解的必要条件是它的系数行列式等于零。四、例子例1解线性方程组十勺-均+xt=-3W一啊+弓+2礴=42

7、金+为+2%-x4=7石+2rs+工4=6解：方程组的系数行列式:-1122-173Ko所以根据克莱姆法则，这个线性方程组有唯一解。又因41-1-11120212-113-3-114=1412=-26272-11621-3131-11-11&=212102=-13所以这个线性方程组的唯一解为：例2解线性方程组2/一吨+3/十2元4=6|3xt-3犯+3KM+2%=53金一x3-均+2/=33七一%+3/-4二4解：方程组的系数行列式：2-1323-3323-1-123-13-1所以根据克莱姆法则，这个线性方程组有唯一解。又因6-14-13232-123-1=70.3-1-16-35-1

8、3-142-1所以这个线性方和组的唯一解为:01D2141A1DDDD处的例3已知三次曲线.义)=%+印+Q/在四个点m2值分别为：川)=/(T)=/(2)=6J(-2)=-6，试求其系数/曲用两。解：将三次曲线在4点处的值代入其方程，得到关于勺的线性方程组：aa+琪i+tXj+%=6曲十的）十仃式一球十的（-球=6,+的2+句2十色23=6的十的（-2）+q式-2y+鼻式-2），=-丘它的系数行列式是范德蒙行列式:所以根据克莱姆法则，这个线性方程组有唯一解。又因666-611-1124一24-1=5768-81-2616T=-14468-6-811T124-24-6所以场=8冈=T,电=-2四=1,即所求的三次曲线方程为/=8-1-2/+/。例4如果齐次线性方程组百十万十勺十白仆=o西+2/+鸟+5=0而+逝-3餐+仆=05十+吗-姐=0有非零解，那么必须满足什么条件？解：由克莱姆法则知，齐次线性方程组有非零解的必要条件是其系数行列式等于零,此有Illa101111D=10-3又由：1°a1a71-a=(0+1了一较a-1b-a,从而乐方必须满足的条件为+1)=也注用克莱姆法则求解系数行列式不等于零的在元非齐次线性方程组