111正弦定理(二)

1、一、复习一、复习abcsin AsinBsinC1.正弦定理正弦定理:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即即:BCAabc2.可以用正弦定理解决的三角问题：可以用正弦定理解决的三角问题： 题型一：题型一：知两角及一边，求其它的边和角知两角及一边，求其它的边和角题型二：题型二：知两边及其中一边对角，求其他边和角知两边及其中一边对角，求其他边和角证明：如图，证明：如图， O为为ABC的外接圆，的外接圆，正弦定理的推论：正弦定理的推论： ABCD .ObacsinsinsinabcABC=2R(R为为ABC外接圆半径）外接圆半径）2sinsi

2、nsin90aaBDRAD22,;sinsinbcRRBC同同理理，sinsinsinabcABC=2R(R为为ABC外接圆半径）外接圆半径）二、新课讲解二、新课讲解则则A=D连接连接BO并延长并延长BO交圆于点交圆于点D连接连接CD，等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形正弦定理的推论：正弦定理的推论： sinsinsinabcABC=(R为为ABC外接圆半径）外接圆半径）222sin,sin,sinaRA bRB cRC222sin,sin,sinabcABCRRRsin:sin:sin:ABCa b c二、新课讲解二、新课讲解45或或135三、例题讲解三、例题讲解例例1 在在ABC

3、中，中，A=32.0，B=81.5，a=42.9，解此三，解此三角形（精确到角形（精确到0.1cm）解解: :根据三角形的内角和定理：根据三角形的内角和定理： C=180C=180-(A+B)=66.2-(A+B)=66.2由正弦定理可得由正弦定理可得42 981 880 132 0ooa sinB. sin.b. (cm )sin Asin.由正弦定理可得由正弦定理可得42 966 274 132 0ooa sinC. sin.c. (cm )sin Asin.应用正弦定理解三角形应用正弦定理解三角形题型一题型一:已知两角和任意一边，求出其他两边和一角已知两角和任意一边，求出其他两边和一角三

4、、例题讲解三、例题讲解解解: :由正弦定理可得由正弦定理可得28400 899920obsin AsinsinB.a0180ooB64,oB 当当时时C=180C=180-(A+B)76-(A+B)76(1)(1)20763040ooa sinCsinc(cm )sin AsinC=180C=180-(A+B)24-(A+B)2420241340ooa sinCsinc(cm )sin Asin(2)(2)当当B116B116时，时，题型二题型二:已知两边和其中一边的对角，求出三角形的另已知两边和其中一边的对角，求出三角形的另一边和另外两个角一边和另外两个角.例例2.在在ABC中，中，a=20

5、cm，b=28cm, A=40，解此三角形，解此三角形64oB116oB 或例例3.在在ABC中，中，A=45， ，解此三角形，解此三角形64a,b三、例题讲解三、例题讲解解解: :由正弦定理可得由正弦定理可得0180 28152ooooBB,B或4450 47146obsin AsinsinB.a28oB由由ba，A=45o,可知可知BAC=180-(A+B)10761078 145ooa sinCsinc.sin Asin题型二题型二:已知两边和其中一边的对角，求出三角形的另已知两边和其中一边的对角，求出三角形的另一边和另外两个角一边和另外两个角.例例2.在在ABC中，中，a=20cm，b

6、=28cm, A=40，解此三角形，解此三角形若已知若已知a、b、A的值，则解该三角形的步骤如下：的值，则解该三角形的步骤如下：（1）先利用）先利用 求出求出sinB，从而求出角，从而求出角B；（2）利用）利用A、B求出角求出角C=180o-(A+B)；（3）再利用）再利用 求出边求出边c.sinsinabABsinsinacAC三、例题讲解三、例题讲解题型二题型二:已知两边和其中一边的对角，求出三角形的另已知两边和其中一边的对角，求出三角形的另一边和另外两个角一边和另外两个角.注意：求角注意：求角B时应注意时应注意检验！检验！例例3 在在ABC中中,A=45， ,这样的三角形有这样的三角形有

7、_个个64a,b三、例题讲解三、例题讲解1.画画PAQ=452. 在在AP上取上取AC=b=43.3.以以C C为圆心为圆心, ,a=6为半径画弧为半径画弧, ,弧与弧与AQ的交点为的交点为B B45APQ C bBa变式变式:(1)在在ABC中中,A=45， ,这样的三角形有这样的三角形有_34a,b(2)在在ABC中中,A=45， ,这样的三角形有这样的三角形有_2 24a,b(3)在在ABC中中,A=45， ,这样的三角形有这样的三角形有_24a,b(4)在在ABC中中,A=135， ,这样的三角形有这样的三角形有_64a,b(5)在在ABC中中,A=135， ,这样的三角形有这样的三角

8、形有_34a,b2个个1个个0个个1个个0个个1已知两边和其中一边的对角时，解斜三角形的各种情况已知两边和其中一边的对角时，解斜三角形的各种情况ab一解一解bsinAa a无解无解( (一一) )当当A A为锐角为锐角( (二二) )当当A A为钝角为钝角a b一解一解ab无解无解三、例题讲解三、例题讲解( (三三) )当当A A为直角为直角ACbaa b一解一解ACbaab无解无解若已知若已知三角形的三角形的两条边及其中一边的对角（两条边及其中一边的对角（若已知若已知a、b、A的值的值），则可用正弦定理求解，且解的情，则可用正弦定理求解，且解的情况如下况如下2.在在ABC中中,由已知条件解三

9、角形由已知条件解三角形,下列有两解的是下列有两解的是( ) Ab=20, A=45, C=80 Ba=30, c=28, B=60 Ca=14, b=16, A=45 Da=12, c=15, A=120四、练习四、练习判断已知两边及其中一边对角的三角形解的个数判断已知两边及其中一边对角的三角形解的个数的基本步骤的基本步骤(适合填空或选择题适合填空或选择题)：（1）判断已知角）判断已知角A的类型；（钝、直、锐）的类型；（钝、直、锐）（2）判断已知两边）判断已知两边a、b的大小关系；的大小关系；（3）判断）判断a与与bsinA的大小关系的大小关系.C1.在在ABC中，中，A,B,C所对的边分别是

10、所对的边分别是a,b,c，则下列关系一定成立的是则下列关系一定成立的是 ( )AabsinA Ba=bsinA CabsinA DabsinAD五、小结五、小结1.正弦定理正弦定理:2.应用正弦定理解三角形应用正弦定理解三角形题型一题型一:已知两角和任意一边，求出其他两边和一角已知两角和任意一边，求出其他两边和一角注：若已知边不是对边，先用三角形内角和定注：若已知边不是对边，先用三角形内角和定理求第三角，再用正弦定理求另两边理求第三角，再用正弦定理求另两边题型二题型二: 已知两边和其中一边的对角，求出三角已知两边和其中一边的对角，求出三角形的另一边和另外两个角形的另一边和另外两个角.注意有两解、一解、无解三种情况（注意有两解、一解、无解三种情况（求角求角B时应时应检验！检验！）2sinsinsinabcRABC其中，其中，R是是ABC的外接圆的半径的外接圆的半径3.利用图形判断：已知两边和其中一边的对角时解斜三利用图形判断：已知两边和其中一边的对角时解斜三角形的各种情况角形的各种情况（注意已知角的分类）（注意已知角的分类）六、作业六、作业1.在在A