122函数的表示（2）

1、第2课时 分段函数导入新课思路1.当x>1时,f(x)=x+1;当x1时,f(x)=-x,请写出函数f(x)的解析式.这个函数的解析式有什么特点？教师指出本节课题.思路2.化简函数y=|x|的解析式,说说此函数解析式的特点,教师指出本节课题.推进新课新知探究提出问题函数h(x)=与f(x)=x-1,g(x)=x2在解析式上有什么区别?请举出几个分段函数的例子.活动：学生讨论交流函数解析式的区别.所谓“分段函数”,习惯上指在定义域的不同部分,有不同对应法则的函数.并让学生结合体会来实际举例.讨论结果：函数h(x)是分段函数,在定义域的不同部分,其解析式不同.说明:分段函数是一个函数,不要把

2、它误认为是几个函数;分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集;生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.例如:y=等.应用示例思路11.画出函数y=|x|的图象.活动：学生思考函数图象的画法:化简函数的解析式为基本初等函数;利用变换法画出图象,根据绝对值的概念来化简解析式.解法一：由绝对值的概念,我们有y=所以,函数y=|x|的图象如图1-2-2-10所示.图1-2-2-10解法二：画函数y=x的图象,将其位于x轴下方的部分对称到x轴上方,与函数y=x的图象位于x轴上方的部分合起来得函数y=|x|的图象如图1-2-2-10所示.变式训练1.

3、已知函数y=(1)求fff(5)的值;(2)画出函数的图象.分析:本题主要考查分段函数及其图象.f(x)是分段函数,要求fff(5),需要确定ff(5)的取值范围,为此又需确定f(5)的取值范围,然后根据所在定义域代入相应的解析式,逐步求解.画出函数在各段上的图象,再合起来就是分段函数的图象. 解：(1)5>4,f(5)=-5+2=-3.-3<0,ff(5)=f(-3)=-3+4=1.0<1<4,fff(5)=f(1)=12-2×1=-1,即fff(5)=-1.(2)图象如图1-2-2-11所示:图1-2-2-112.课本P23练习3.3.画函数y=(x+1)

4、2,-x,x0,x>0的图象.步骤:画整个二次函数y=x2的图象,再取其在区间(-,0上的图象,其他部分删去不要;画一次函数y=-x的图象,再取其在区间(0,+)上的图象,其他部分删去不要;这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象.如图1-2-2-12所示.图1-2-2-12函数y=f(x)的图象位于x轴上方的部分和y=|f(x)|的图象相同,函数y=f(x)的图象位于x轴下方的部分对称到上方就是函数y=|f(x)|的图象的一部分.利用函数y=f(x)的图象和函数y=|f(x)|的图象的这种关系,由函数y=f(x)的图象画出函数y=|f(x)|的图象.2.某市“招手即停”公共汽车的票价按

5、下列规则制定:(1)乘坐汽车5千米以内(含5千米),票价2元;(2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米按5千米计算),如果某条线路的总里程为20千米,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.活动：学生讨论交流题目的条件,弄清题意.本例是一个实际问题,有具体的实际意义,根据实际情况公共汽车到站才能停车,所以行车里程只能取整数值.由于里程在不同的范围内,票价有不同的计算方法,故此函数是分段函数.解：设里程为x千米时,票价为y元,根据题意得x(0,20.由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:图1-2-2-13y=根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图

6、1-2-2-13所示.点评：本题主要考查分段函数的实际应用,以及应用函数解决问题的能力.生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.在列出其解析式时,要充分考虑实际问题的规定,根据规定来求得解析式.注意：本例具有实际背景,所以解题时应考虑其实际意义;分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.变式训练2007上海中学高三测试,理7某客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过100千米,票价是每千米0.5元,如果超过100千米,超过部分按每千米0.4元定价,则客运票价y(元

7、)与行程千米数x(千米)之间的函数关系式是_.分析:根据行程是否大于100千米来求出解析式.答案：y=思路21.已知函数f(x)=(1)求f(-1),ff(-1),fff(-1)的值;(2)画出函数的图象.活动：此函数是分段函数,应注意在不同的自变量取值范围内有不同的对应关系.解：(1)f(-1)=0;ff(-1)=f(0)=1;fff(-1)=f(1)=-12+2×1=1.(2)函数图象如图1-2-2-14所示:图1-2-2-14变式训练2007福建厦门调研,文10若定义运算ab=则函数f(x)=x(2-x)的值域是_.分析:由题意得f(x)=画函数f(x)的图象得值域是(-,1.

8、答案：(-,1点评：本题主要考查分段函数的解析式和图象.求分段函数的函数值时,要注意自变量在其定义域的哪一段上,依次代入分段函数的解析式.画分段函数y=(D1,D2,两两交集是空集)的图象步骤是(1)画整个函数y=f1(x)的图象,再取其在区间D1上的图象,其他部分删去不要;(2)画整个函数y=f2(x)的图象,再取其在区间D2上的图象,其他部分删去不要;(3)依次画下去;(4)将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象.2.如图1-2-2-15所示,在梯形ABCD中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,动点P从B点开始沿着折线BC、CD、DA前进至A,若P点运动的路程为x,PAB的面积为y

9、.图1-2-2-15(1)写出y=f(x)的解析式,指出函数的定义域;(2)画出函数的图象并求出函数的值域.活动：学生之间相互讨论交流,教师帮助学生审题读懂题意.首先通过画草图可以发现,P点运动到不同的位置,y的求法是不同的(如图1-2-2-16的阴影部分所示).图1-2-2-16可以看出上述三个阴影三角形的底是相同的,它们的面积由其高来定,所以只要由运动里程x来求出各段的高即可.三角形的面积公式为底乘高除以2,则PAB的面积的计算方式由点P所在的位置来确定.解：(1)分类讨论:当P在BC上运动时,易知B=60°,则知y=×10×(xsin60°)=x,

10、0x4.当P点在CD上运动时,y=×10×2=10,4<x10.当P在DA上运动时,y=×10×(14-x)sin60°=x+35,10<x14.综上所得,函数的解析式为y=(2)f(x)的图象如图1-2-2-17所示:图1-2-2-17由图象,可知y的取值范围是0y10,即函数f(x)的值域为0,10.知能训练1.函数f(x)=|x-1|的图象是( )图1-2-2-18分析:方法一:函数的解析式化为y=画出此分段函数的图象,故选B.方法二:将函数f(x)=x-1位于x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方,与f(x)=x-1位于x轴上方部

11、分合起来,即可得到函数f(x)=|x-1|的图象,故选B.方法三:由f(-1)=2,知图象过点(-1,2),排除A、C、D,故选B.答案：B2.已知函数f(x)=(1)画出函数的图象;(2)求f(1),f(-1),ff(-1)的值.解析:分别作出f(x)在x>0,x=0,x<0段上的图象,合在一起得函数的图象.(1)如图1-2-2-19所示,画法略.图1-2-2-19(2)f(1)=12=1,f(-1)=1,ff(-1)=f(1)=1.3.某人驱车以52千米/时的速度从A地驶往260千米远处的B地,到达B地并停留1.5小时后,再以65千米/时的速度返回A地.试将此人驱车走过的路程s

12、(千米)表示为时间t的函数.分析:本题中的函数是分段函数,要由时间t属于哪个时间段,得到相应的解析式.解：从A地到B地,路上的时间为=5(小时);从B地回到A地,路上的时间为=4(小时).所以走过的路程s(千米)与时间t的函数关系式为s=拓展提升问题:已知函数y=1,f(n+1)=f(n)+2,n=1,nN*.(1)求:f(2),f(3),f(4),f(5);(2)猜想f(n),nN*.探究:(1)由题意得f(1)=1,则有f(2)=f(1)+2=1+2=3,f(3)=f(2)+2=3+2=5,f(4)=f(3)+2=5+2=7,f(5)=f(4)+2=7+2=9.(2)由(1)得f(1)=1

13、=2×1-1,f(2)=3=2×2-1,f(3)=5=2×3-1,f(4)=7=2×4-1,f(5)=9=2×5-1.因此猜想f(n)=2n-1,nN*.课堂小结本节课学习了:画分段函数的图象;求分段函数的解析式以及分段函数的实际应用.作业课本P25习题1.2 B组 3、4.设计感想本节教学设计容量较大,特别是例题条件有图,建议使用信息技术来完成.本节重点设计了分段函数,这是课标明确要求也是高考的重点,通过分段函数问题能够区分学生的思维层次,因此教学中应予以重视.备课资料知识点总结函数概念及性质1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个

14、确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数,记作：y=f(x)，xA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：分式的分母不等于零； 偶次方根的被开方数不小于零；对数式的真数必须大于零

15、；如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.求出不等式组的解集即为函数的定义域.2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域.构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致(两点必须同时具备).函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数

16、的值域都应先考虑其定义域；应熟悉掌握一次函数、二次函数，它是求解复杂函数值域的基础；求函数值域的常用方法有：直接法、换元法、配方法、判别式法、单调性法等.3.函数图象知识归纳定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) (xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x)(x A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上,即记为C= P(x,y) | y= f(x), xA.图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于y轴的直线最多只

17、有一个交点的若干条曲线或离散点组成.画法：描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连结起来.图象变换法：常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换.作用：直观地看出函数的性质；利用数形结合的方法分析解题的思路；提高解题的速度；发现解题中的错误.4.区间的概念区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；无穷区间；区间的数轴表示.5.映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB

18、为从集合A到集合B的一个映射，记作“f：AB”.给定一个集合A到B的映射，如果aA,bB,且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合A、B及对应法则f是确定的；对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；对于映射f：AB来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.6.函数的表示法函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线

19、、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；解析法：必须注明函数的定义域；图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.解析法便于算出函数值；列表法便于查出函数值；图象法便于量出函数值.分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数，在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式.分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义

20、域的并集，值域是各段值域的并集.复合函数：如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则y=fg(x)=F(x)(xA)称为f、g的复合函数.7.函数的单调性增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间

21、上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1、x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) .图象的特点：如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. 函数单调区间与单调性的判定方法：定义法，任取x1、x2D，且x1<x2；作差f(x1)-f(x2)；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差f(x1)-f(x2)的正负）；下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）.图象法(从图象上看升降)；复合函数的单调性，

22、复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：函数单调性u=g(x)增增减减y=f(u)增减增减y=fg(x)增减减增注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集.8.函数的奇偶性偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数.由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必