导数与其应用全章复习与巩固提高

1、导数及其应用全章复习与巩固【学习目标】1. 会利用导数解决曲线的切线的问题.2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题.3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题.4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题【知识网络】【要点梳理】要点一：有关切线问题直线与曲线相切，我们要抓住三点：切点在切线上；切点在曲线上；切线斜率等于曲线在切点处的导数值.要点诠释：通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.要点二：有关函数单调性的问题设函数在区间（a，b）内可导，（1）如果恒有，则函数在（a，b）内为增函

2、数；（2）如果恒有，则函数在（a，b）内为减函数；（3）如果恒有，则函数在（a，b）内为常数函数.要点诠释：（1）若函数在区间（a，b）内单调递增，则，若函数在（a，b）内单调递减，则.（2）或恒成立，求参数值的范围的方法： 分离参数法：或. 若不能隔离参数，就是求含参函数 的最小值 ，使.（或是求含参函数 的最大值 ，使）要点三：函数极值、最值的问题函数极值的问题（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；（4）检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点诠释：先求出定义域一般都要列

3、表：然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点； 若由负变正，则该点为极小值点.注意：无定义的点不用在表中列出根据表格给出结论：注意一定指出在哪取得极值.函数最值的问题若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数；（2）求方程在内的根；（3）求在内所有使的的点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.要点诠释：求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.若在开区间内可导，

4、且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.要点四：优化问题在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决.我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：(1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式；(2) 求函数的导数，解方程；(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值要点诠释：解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，

5、建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具利用导数解决优化问题的基本思路：建立数学模型解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案得出变量之间的关系后，必须由实际意义确定自变量的取值范围；在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f (x)0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值

6、应舍去要点五：定积分的概念如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上取点，作和式：当时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记作：，即要点诠释：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时），记为，而不是(2) 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即（称为积分形式的不变性），另外定积分与积分区间，息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如与的值就不同要点六：定积分的几何意义从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形

7、(如图a中的阴影部分)的面积.要点诠释：（1）当时，由、=、=与轴所围成的曲边梯形位于轴的下方，积分在几何上表示上述曲边梯形面积的相反数（负数）所以，即，如图（b）（2）当在区间，上有正有负时，积分在几何上表示几个小曲边梯形面积的代数和（轴上方面积取正号，轴下方面积取负号）在如图（c）所示的图象中，定积分要点七：定积分的运算性质性质1：；性质2：；性质3：定积分关于积分区间具有可加性。如右图：（其中）性质4 设在，上连续：当是奇函数，；当是偶函数，要点八：求定积分的基本方法定义法（极限观点）一般步骤：分割，近似代替，求和，取极限公式法（微积分基本定理）微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）：如果

8、，且在，上可积，则利用定积分的几何意义，转化为规则图形（如三角形、四边形、圆等）的面积利用奇（偶）函数在对称区间上的性质（要点三运算性质4）。要点诠释： 对于这几种计算定积分的方法，要合理的利用：一般先看积分区间，如果是对称区间，就利用对称区间上积分的性质来化简（方法），接着分析被积函数的特点，如果是有理函数，就利用微积分基本定理计算（方法），如果是无理函数，则利用定积分的几何意义计算（方法）而利用定积分的定义求积分的值时，除了几个特殊的情况需要求积分比较困难，一般很少用要点九：定积分的应用平面图形的面积求平面图形的面积，主要是利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而

9、把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题不分割型图形的面积由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可求由曲线围成图形面积的一般步骤：(1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限（联立与，解方程组得）；(3)确定被积函数（上曲线-下曲线：）；(4)将面积用定积分表示（）；(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果分割型图形面积的求解由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？要将所求的曲面面积分割成几个不分割图形面积的形式求分割型图形面积的一般步骤：（1）根据题意画出图

10、形；（2）先求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化；（3）确定相应区间的被积函数（上曲线-下曲线）；（4）将各细分区间的不分割平面图形的面积分别用定积分表示，则所求图形面积表示为若干定积分和的形式；（5）利用微积分基本定理计算定积分得出结果简单旋转体的体积旋转体可以看作是由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的几何体，如圆锥体、圆柱体、圆台、球体等利用定积分也可以求出一些简单的旋转体的体积，体积公式为【典型例题】类型一： 利用导数解决有关切线问题例1若直线与曲线相切，试求的值【思路点拨】当切点未知时，应先设出切点.【解析】设与相切于则，又，由得：（），即，.【总结升华】当切

11、点未知时，要先设切点，然后根据直线与曲线相切的三个关系列方程组，从而求得参数值.举一反三：【变式】 已知曲线在处的切线恰好与抛物线相切，求抛物线方程和抛物线上的切点坐标【答案】曲线上的切点为A(1,2).,切线方程为，即.设抛物线上的切点为,显然抛物线上的切点在抛物线的上半支，抛物线上半支的方程为,则, ,得 (1)又点在切线上， （2）由(1)(2)求得，. 故抛物线方程为,切点为(2,8).类型二： 利用导数解决有关函数单调性的问题【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题3】例2.已知函数()= (0).()当=2时，求曲线=()在点(1，(1)处的切线方程；()求()的单调区间.【

12、思路点拨】()求出导数后，主要根据的正负进行分类讨论.【解析】（I）当时， 由于， 所以曲线在点处的切线方程为 即 （II），. 当时，. 所以，在区间上，；在区间上，. 故得单调递增区间是，单调递减区间是. 当时，由，得， 所以，在区间和上，；在区间上， 故得单调递增区间是和，单调递减区间是. 当时， 故得单调递增区间是.当时，得，.所以在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是【总结升华】（1）解决此类题目，关键是解不等式或，若中含有参数，须分类讨论.（2）特别应注意，在求解过程中应先写出函数的定义域.举一反三：【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题1】【变式1】

13、函数的图象大致是（ ） A B C D【答案】C首先易判断函数为奇函数，排除A，求导后解导数大于零可得周期性区间，从而排除B、D,故选C.【变式2】(2014江西)已知函数f(x)(x2bxb) (bR)(1)当b4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间(0，)上单调递增，求b的取值范围【答案】 (1)当b4时，f(x)(x24x+4)，则由f(x)0，得x2或x0当x2时，f(x)0，f(x)在(，2)上为减函数当2x0时，f(x)0，f(x)在(2，0)上为增函数当0x时，f(x)0，f(x)在(0，)上为减函数当x2时，f(x)取极小值为0当x0时，f(x)取极大值为4；(2)由f

14、(x)(x2bx+b)，得：由f(x)在区间(0，)上单调递增，得f(x)0对任意x(0，)恒成立即5x23bx+2x0对任意x(0，)恒成立对任意x(0，)恒成立b的取值范围是类型三：利用导数解决函数极值、最值的问题例3. 设为自然对数的底，a为常数且），取极小值时，求x的值.【思路点拨】求导后可采用求根法求出极值点，再结合函数图象讨论增减性以确定极值.【解析】令（1），由表x（，2）2f(x)+00+f（x）极大值极小值取极小值.（2）无极值.（3）时，由表x（，）2f(x)+00+f（x）极大值极小值，.【总结升华】1. 导数式含参数时，如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难

15、点，一般采用求根法和图像法.2. 列表能比较清楚的看清极值点.3. 写结论时极值点和极大（小）值都要交代清楚.举一反三：【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题2】【变式1】设函数则（ ）A在区间内均有零点. B在区间内均无零点.C在区间内有零点，在区间内无零点.D在区间内无零点，在区间内有零点.【答案】D由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择D.【变式2】(2015 安徽文)已知函数(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若，求f(x)在(0，+)内的极值。【答案】()由题意可知x+r0即x-r，即可求出f(x)的定

16、义域； f(x)的定义域为(-，-r)(-r，+)又又a0，r0令 令()由()可知 f(x)在(0，+)内的极大值为F(x)在(0，+)内无极小值；所以f(x)在(0，+)内极大值为100，无极小值.【变式3】设函数，其中证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值【答案】因为，所以的定义域为当时，如果在上单调递增；如果在上单调递减所以当，函数没有极值点当时，令，得将（舍去），当时，随的变化情况如下表：0极小值从上表可看出，函数有且只有一个极小值点，极小值为当时，随的变化情况如下表：0极大值从上表可看出，函数有且只有一个极大值点，极大值为综上所述，当时，函数没有极值点

17、；当时，若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为例4. 求函数在上的最大值（其中）.【思路点拨】为了简化运算，可考虑换元：令.【解析】令，则求在（0，1上的最大值当时，显然在（0，1上为增函数，所以当时，令得：，易知时，为增函数时，为减函数.于是若（此时），则在（0，1上为增函数，此时.若（此时），则在上为增函数，在上为减函数.所以由以上讨论知当时，； 当时， .【总结升华】求含参函数在某区间上的最值问题，首先要通过对参数分类讨论，确定出函数的单调区间，其次要善于对极值和端点值进行比较，此时往往需要继续分类讨论.举一反三：【高清课堂：导数的应用综合 37

18、0878 例题4】【变式】设a0，f (x)=x1ln2 x2a ln x（x>0）.（）令F（x）xf（x），讨论F（x）在（0.）内的单调性并求极值；（）求证：当x>1时，恒有x>ln2x2a ln x1.【答案】（）根据求导法则有，故，于是，列表如下：20极小值故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值（）由知，的极小值于是由上表知，对一切，恒有从而当时，恒有，故在内单调增加所以当时，即故当时，恒有类型四： 利用导数解决优化问题例5. 如图所示，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB20 km，BC10 km为了处理三家工厂

19、的污水，现要在该矩形区域上(含边界)，且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO记排污管道的总长度为y km，设BAO(tad)，将y表示为的函数为如何确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短?【解析】 因为，所以由得因为，故当时，；当时，所以函数在时取得极小值，这个极小值就是函数在上的最小值当时，AOBO(km)因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到A、B两点的距离均为km时，铺设的排污管道的总长度最短 【总结升华】本题的关键是在令得后一定要验证为极小值点举一反三： 【变式】某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司

20、交a元（3a5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9x11）时，一年的销售量为(12x)2万件 （1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x（元）的函数关系式； （2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）【答案】（1）分公司一年的利润L（万元）与售价x（元）的函数关系式为： L=(x3a)(12x)2，x9，11（2）L=(12x)22(x30)(12x)=(12x)·(18+2a3x) 令L=0得或x=12（不合题意，舍去）3a5， 在两侧L的值由正变负当，即时， Lmax=(930)(129)2=9(6a)当，即时，综上，若，则

21、当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9(6a)（万元）；若a5，则当每件售价为（）元时，分分司一年的利润L最大，最大值Q（a）=4（万元）类型五：定积分的计算例6. 计算下列各定积分：（1）；（2）；（3）；（4）.【思路点拨】（1）中被积区间是对称区间，被积函数是奇函数，故利用性质4进行计算较简便；（2）、（3）用微积分基本定理计算；（4）被积函数是无理函数，利用定积分的几何意义计算。【解析】（1）方法一：利用性质直接计算：函数是奇函数，.方法二：直接计算.方法三：利用定积分的几何意义：函数的图象如图所示：设函数y轴左侧部分图象与轴围成的图形面积为，轴右侧部分图象与轴

22、围城的图形面积为. 由正弦曲线的对称性可知，=.（2），即，.（3）（4）函数表示以（0，0）为圆心，以1为半径的半圆上的一段弧，则表示这段弧所对应的圆心角为的扇形的面积.如图中阴影部分所示：.【总结升华】计算定积分的方法有很多，各个方法有不同的特点，平时学习中注意总结规律，以期选择最适合、最容易计算的方法.除了我们介绍的四种方法之外，还有还原法、分部积分法等等计算定积分的方法，可用于被积函数较复杂的情况。因为超出了考纲范围，因此在教材与教学中不作介绍，有兴趣的同学可以通过课外学习.举一反三：【变式1】计算下来定积分：（1）；（2）；（3）；（4）；【答案】9/2（1）是奇函数，.（2）.（3

23、）.（4），函数是偶函数，所以，利用导数的几何性质可知，表示圆在第一象限的扇形的面积，为，如图所示。所以.是奇函数，所以。所以.【变式2】计算的值。【答案】，.【变式2】计算，其中【答案】.类型六：利用定积分求平面图形的面积例7. 计算由曲线及直线所围成的平面图形的面积。【思路点拨】画出图象，确定被积函数与积分上、下限，将面积转化为定积分的形式，利用微积分基本定理正确的计算出结果.【解析】第一步：根据题意画出图形：第二步：找出范围，确定积分上、下限：联立 解得 或所以曲线及直线的交点坐标是（0，0）和（1，1）.则取为积分变量，积分区间为0，1.第三步：确定被积函数：被积函数为：.第四步：将面

24、积用定积分表示，并计算：设所求平面图形的面积S，则.【总结升华】利用定积分求不分割平面图形的面积，要根据图形，确定积分上、下限，确定被积函数，将面积正确的用定积分表示，然后计算即可.举一反三：【变式1】求由抛物线与直线所围成图形的面积【答案】如图，联立 解得或抛物线与直线的交点坐标是(3，5)和(2，0)取为积分变量，积分区间为：0，1，被积函数为：.设所求图形的面积为S，则【变式2】求椭圆所围图形的面积。【答案】椭圆的大致图形如图所示：由于椭圆是中心对称图形，所以椭圆所围图形的面积（设为S）是椭圆在第一象限内面积（设为）的4倍.在第一象限，椭圆方程可变形为：，所以.根据定积分的几何意义求的值。表示圆的面积，如图：，.所以，椭圆所围图形的面积是.【变式3】求抛物线在（0，1）内的一条切线，使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小. 【答案】设切点坐标为.则该点处的切线方程为，则该切线与轴、y轴的交点坐标分别为，.所以，面积，下面用导数来求其最小值。，令，得，当时，；当时，所以，是在（0，1）上的唯一极小值点，也是最小值点，此时，切线方程为.例8.求由曲线，及直线，所围成图形的面积【思路点拨