2022年(精编资料推荐)直线与方程知识点总结

1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -专业资料举荐直线与方程学问点总结一、直线基本学问1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角关于倾斜角的概念要抓住三点： . 与 x 轴相交 ;.x 轴正向 ;. 直线向上方向 .直线与 x 轴平行或重合时 , 规定它的倾斜角为00 .倾斜角的范畴 0 01800 .090 , k0 ；90180 , k0（2）直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为90 0 的直线斜率不存在；经过两点P x , y, P x , y （ xx ）的直线的斜率公式是ky2y1 （ xx ）1112221212x2x1每条直线都

2、有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率；2、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线l1 , l 2 ，其斜率分别为k1 ,k2 ，就有l1 / /l 2k1k2 ；特殊地，当直线l1 , l 2 的斜率都不存在时，l1与l 2 的关系为平行；（2）两条直线垂直假如两条直线l1 , l2 斜率存在，设为k1 , k2 ，就 l1l2k1 k21注：两条直线l1 ,l 2 垂直的充要条件是斜率之积为-1 ，这句话不正确；由两直线的斜率之积为 -1 ，可以得出两直线垂直， 反过来， 两直线垂直， 斜率之积不肯定为 -1 ；假如 l1 ,l2 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的

3、斜率为0 时， l1与l2 相互垂直；二、直线的方程1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式yy1k xx1 x1, y1 为直线上肯定点，不包括垂直于 x 轴的直线k 为斜率1精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -斜截式ykxb专业资料举荐k 为斜率， b 是直线在y轴上的截距不包括垂直于 x 轴的直线两点式yy1xx1 x1, y1 , x2, y2 是 直 线 上不包括垂直于 x 轴和 y 轴的直线y2y1x2x1两定

4、点其中 x1x2 , y1y2 截距式xy1aba 是直线在 x 轴上的非零截距， b 是直线在 y 轴上的非零截距不包括垂直于 x 轴和 y 轴或过原点的直线一般式AxByC0A ， B ， C 为系数无限制，可表示任何位置的直线其中 A, B不同时为 0）注：过两点P1 x1 , y1 , P2 x2 ,y2 的直线是否肯定可用两点式方程表示？（不肯定；（1）如 x1x2且y1y2 ，直线垂直于 x 轴，方程为 xx1 ；（2）如 x1x2且y1y2 ，直线垂直于 y 轴，方程为 yy1 ；（3）（ 3）如 x1x2且y1y2 ，直线方程可用两点式表示）2、线段的中点坐标公式xx1x2如两

5、点P1 x1 , y1 , P2 x2 ,y2 ，且线段P1 , P2 的中点 M 的坐标为x, y ，就y2y1y2 23.过定点的直线系斜率为 k 且过定点 x0 , y0 的直线系方程为yy0k xx0 ； 过 两 条 直 线l1 :A1 xB1 yC10 ,l2 :A2 xB2 yC20 的 交 点 的 直 线 系 方 程 为A1 xB1 yC1 A2 xB2 yC 2 0 （为参数），其中直线 l 2 不在直线系中 .三、直线的交点坐标与距离公式1. 两条直线的交点设两条直线的方程是l1 :A1 xB1 yC10 ,l2: A2 xB2 yC20 两条直线的交点坐标就是方程组A1 x

6、 A2 xB1 yC1B2 yC20的解，0如方程组有唯独解，就这两条直线相交，此解就是交点的坐标；如方程组无解，就两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立；2. 几种距离2精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -（1）两点间的距离专业资料举荐平面上的两点P x , y, P x , y 间的距离公式P P xx 2 yy 21112221 22121特殊地，原点O 0,0 与任一点P x, y 的距离 OPx2y 2（2）点到直线的

7、距离Ax0By0C点 P x0 , y0 到直线 l : AxByC0 的距离 dA2B2（3）两条平行线间的距离两条平行线（留意：l1 : AxByC10 ,l 2: AxByC20 间的距离 dC2C1A2B2求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；求两条平行线间的距离时，必需将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式运算；）补充：1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角（2）已知斜率 k 的范畴，求倾斜角的范畴时，如 k 为正数，就的范畴为 0,2的子集，且 k=tan为增函数； 如 k 为负数，就的范畴为 , 的子集， 且 k=tan为增2函数；如 k 的范畴有正有负，就可所

8、范畴按大于等于0 或小于 0 分为两部分，针对每一部分再依据斜率的增减性求倾斜角范畴；2 、利用斜率证明三点共线的方法：已知 Ax1, y1 , B x2 ,y2 , C x3 , y3 , 如 x1x2x3或kABkAC ，就有 A、B、C 三点共线；注：斜率变化分成两段，900 是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需争论；3. 两条直线位置关系的判定：已知l1 : AxByC10 ,l2: AxByC20 ，就：（1） l1l 2A1 A2B1B20（2） l1 / l 2A1B2 -A2 B10, A1C 2A2C10;（3） l1与l 2重合（4） l 1 与 l2 相交A1 B2 -

9、A1B2A2B1A2 B10, A1C 20A2 C10;3精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -假如 A2 B2 C20 时，就：专业资料举荐(1) l1(2) ll2/ lA1A2B1B2A1B11C1 A , B ,C不为 0）；12A2B2C2222(3) l 与 l 重合A1B1C1 A , B ,C不为0）AB12222222C(4) l 与 l 相交A1B1 A, B 不为 0）1222A2B24. 有关对称问题常见的对称问题

10、：（1）中心对称如点M x1, y1 及 N x2, y2 关于P a, b 对称，就由中点坐标公式得x 2ax1y 2by1直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用 l1 / l 2 ，由点斜式得到所求直线方程；（2）轴对称点关于直线的对称如两点P1 x1 , y1 与 P2 x2 ,y2 关于直线l : AxByC0对称，就线段P1P2 的中点在对称轴 l 上，而且连接 P1P2 的直线垂直于对称轴 l 上，由方程组A x1x2 2B y1y2 C02x2y2y1A1y2 x2x

11、1B可得到点P1 关于 l 对称的点P2 的坐标x2 ,y2 （其中 A0, x1x2 ）直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情形：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行；注：曲线、直线关于始终线yxb 对称的解法： y 换 x ，x 换 y .例：曲线f x, y0关于直线 yx2对称曲线方程是f y2, x20曲线 C :f x, y0 关于点a ,b 的对称曲线方程是f 2ax,2by05. 两条直线的交角4精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归

12、纳总结 - - - - - - - - - - - -直线l 1 到l 2 的角（方向角）；直线专业资料举荐l 1 到 l 2 的角，是指直线l 1 绕交点依逆时针方向旋转到与 l重合时所转动的角，它的范畴是0, ，当90 时 tank 2k1.1221k k两条相交直线l 1 与 l 2 的夹角：两条相交直线l 1 与 l 2 的夹角，是指由l 1 与 l 2相交所成的四个角中最小的正角，又称为l 1 和 l 2 所成的角，它的取值范畴是0,，当90 ，就2有 tank 2k 1.1k1k 26. 直线 l 上一动点 P 到两个定点 A、B 的距离“最值问题” ：1在直线 l 上求一点 P，

13、使 PAPB 取得最小值，如点A、B位于直线l 的同侧时，作点A （或点 B ）关于 l 的对称点A / 或 B / ,连接A/ B或AB/ 交l于P，就点 P即为所求点 .如点 A、B 位于直线的异侧时，连接AB 交于 l 点 P ，就 P 为所求点；可简记为“同侧对称异侧连”. 即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可.（ 2）在直线 l 上求一点 P 使 PAPB 取得最大值，方法与（ 1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”如点 A、B 位于直线 l 的同侧时，连接AB 交于 l 点 P ，就 P 为所求点；如点A、B位于直线的异侧时，作点A （或

14、点 B ）关于 l 的对称点A/ 或 B / ,连接A/ B或AB/ 交l于P，就点 P即为所求点 .23PAPB2的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”；7. 直线过定点问题：含有一个未知参数，y a1x2 a1ya x2x1（1）令 x20x2 ，将 x2代入1式，得 y3 ， 从而该直线过定点2,3含有两个未知参数3mn xm2 n yn0m3 xynx2 y105精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -173xy0x令x2

15、y1y37专业资料举荐从而该直线必过定点1 , 3 778.点到几种特殊直线的距离（1）点 Px0 , y0 到 x 轴的距离 d| y0 | ；（2）点 Px0 , y0 到 y 轴的距离 d| x0 | .（3）点 Px0 , y0 到与 x 轴平行的直线 y=a 的距离 d| y0a | ；（4）点 Px0 , y0 到与 y 轴平行的直线 x=b 的距离 d9.与已知直线平行的直线系有：| x0a | .（ 1）平行于直线 AxByC0的直线可表示为 AxByC /0C /C（2）平行于直线 ykxb的全部直线为 ykxb/ b/b10.易错辨析：（1） 争论斜率的存在性：解题过程中用到斜率，肯定要分类争论：斜率不存在时，是否满意题意；斜率存在时，斜率会有怎样关系；（