1 12 椭圆的简单性质一

1、1.2椭圆的简单性质(一)学习目标1.依据椭圆的方程研究椭圆的简单性质，并正确地画出它的图形.2.依据几何条件求出椭圆方程，并利用椭圆方程研究它的性质、图形知识点一椭圆的范围、对称性和顶点思考在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？答案在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)梳理椭圆的简单性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a>b>0)1(a>b>0)图形焦点坐标(±c,0)(0，±c)对称性以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形，以原点为对称中心的中心对称图形顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0

2、，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)范围|x|a，|y|b|x|b，|y|a长轴、短轴长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b知识点二椭圆的离心率椭圆的焦距与长轴长度的比称为椭圆的离心率，即e，因为ac，故椭圆离心率e的取值范围为(0,1)，当e趋近于1时，椭圆越扁，当e趋近于0时，椭圆越圆1椭圆1(ab0)的长轴长是a.(×)2椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆(×)3若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为1.(×)4设F为椭圆1(ab0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大

3、值为ac(c为椭圆的半焦距)()类型一椭圆的简单性质例1求椭圆m2x24m2y21(m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率考点椭圆的简单性质题点椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性解由已知得1(m0)，因为0m24m2，所以，所以椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a，短半轴长b，半焦距c，所以椭圆的长轴长2a，短轴长2b，焦点坐标为，顶点坐标为，离心率e.反思与感悟从椭圆的标准方程出发，分清其焦点位置，然后再写出相应的性质跟踪训练1已知椭圆C1：1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆

4、C2的方程，并研究其性质考点椭圆的简单性质题点椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性解(1)由椭圆C1：1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(6,0)，离心率e.(2)椭圆C2：1.性质如下：范围：8x8，10y10；对称性：关于x轴、y轴、原点对称；顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)；焦点：(0,6)，(0，6)；离心率：e.类型二由简单性质求椭圆的标准方程例2(1)椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0,13)，(10，0)，则焦点坐标为()A(±13,0) B(0，±10)C(0，±13) D(0，&#

5、177;)考点椭圆的简单性质题点椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性答案D解析由题意知，椭圆的焦点在y轴上，且a13，b10，则c，故选D.(2)已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是_考点椭圆的简单性质题点椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性答案1解析由已知，得焦点在x轴上，且所求椭圆的标准方程为1.反思与感悟此类问题应由所给的简单性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置跟踪训练2根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，6)；(2)焦点在x轴上，一个

6、焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.考点由椭圆的简单性质求方程题点由椭圆的几何特征求方程解(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为1(a>b>0)依题意，有解得椭圆方程为1.同样地可求出当焦点在y轴上时，椭圆方程为1.故所求的椭圆方程为1或1.(2)依题意，有bc6，a2b2c272，所求的椭圆方程为1.类型三求椭圆的离心率例3设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率考点椭圆的离心率问题题点求a，b，c的齐次关系式得离心率解设椭圆方程为1(ab0)F1(c,0)，P(c，yp)，代入椭圆方程得1，y，

7、|PF1|F1F2|，即2c，又b2a2c2，2c，e22e10，又0e1，e1.反思与感悟求解椭圆的离心率，其实质就是构建a，b，c之间的关系式，再结合b2a2c2，从而得到a，c之间的关系式，进而确定其离心率跟踪训练3设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230°，则C的离心率为()A. B. C. D.考点椭圆的离心率问题题点求a，b，c得离心率答案D解析由题意可设|PF2|m(m0)，结合条件可知|PF1|2m，|F1F2|m，故离心率e.1椭圆9x2y236的短轴长为()A2 B4 C6 D12考点椭圆的简单性质题点椭圆的

8、顶点、焦点、长短轴、对称性答案B解析原方程可化为1，所以b24，b2，从而短轴长为2b4.2若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.考点椭圆的离心率问题题点求a，b，c得离心率答案A解析不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点依题意可知，BF1F2是正三角形在RtOBF2中，|OF2|c，|BF2|a，OF2B60°，ecos 60°，即椭圆的离心率e，故选A.3已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.y21考点由椭圆的简单性质求方程题点由椭圆的性

9、质求方程答案C解析依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c1，e，即a2，b2a2c23，因此椭圆的方程是1.4已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是_考点由椭圆的简单性质求方程题点由椭圆的性质求方程答案1解析由已知，得a4，b2，且椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的方程是1.5求椭圆25x216y2400的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标考点由椭圆方程研究简单性质题点由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率解将椭圆方程变形为1，得a5，b4，所以c3，故椭圆的长轴长和短轴长分别为2a10,2b8，离心率e，焦点坐标为(0，3)，(

10、0,3)，顶点坐标为(0，5)，(0,5)，(4,0)，(4,0)求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围一、选择题1已知椭圆的方程为2x23y2m(m>0)，则此椭圆的离心率为()A. B. C. D.考点由椭圆方程研究简单性质题点由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率答案B解析

11、由2x23y2m(m>0)，得1，c2，e2，e.2与椭圆9x24y236有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是()A.1 Bx21C.y21 D.1考点由椭圆的简单性质求方程题点由椭圆的性质求方程答案B解析由已知c，b1，a2b2c26，且焦点在y轴上，椭圆的标准方程为x21.3椭圆4x249y2196的长轴长、短轴长、离心率依次是()A7,2， B14,4，C7,2， D14,4，考点由椭圆方程研究简单性质题点由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率答案B解析先将椭圆方程化为标准形式为1，其中b2，a7，c3.4焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为()A

12、.1 B.1C.1 D.1考点由椭圆的简单性质求方程题点由椭圆的特征求方程答案A解析依题意得c2， ab10 ，又a2b2c2，所以解得a6，b4.5若焦点在x轴上的椭圆1的离心率为，则m等于()A. B. C. D.考点由椭圆方程研究简单性质题点由椭圆的特征求方程答案B解析a22，b2m，e ，m.6椭圆(m1)x2my21的长轴长是()A. B.C. D考点由椭圆方程研究简单性质题点由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率答案C解析椭圆方程可化简为1，由题意，知m>0，<，a，椭圆的长轴长2a.7设F1，F2是椭圆E：1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x上一点，

13、F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为()A. B. C. D.考点椭圆的离心率问题题点求a，b，c得离心率答案C解析设直线x与x轴交于点M，则PF2M60°，在RtPF2M中，|PF2|F1F2|2c，|F2M|c，故cos 60°，解得，故离心率e.二、填空题8A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，则此椭圆的离心率为_考点椭圆的离心率问题题点求a，b，c得离心率答案1解析如图，连接BF2.因为AF1F2为正三角形，且B为线段AF1的中点，所以F2BBF1.又因为BF2F130°

14、;，|F1F2|2c，所以|BF1|c，|BF2|c，由椭圆定义得|BF1|BF2|2a，即cc2a，所以1，所以椭圆的离心率e1.9若椭圆1的焦点在x轴上，过点作圆x2y21的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是_考点由椭圆的简单性质求方程题点由椭圆的特征求方程答案1解析x1是圆x2y21的一条切线，椭圆的右焦点为(1,0)，即c1.设P，则kOP，OPAB，kAB2，则直线AB的方程为y2(x1)，它与y轴的交点为(0,2)b2，a2b2c25，故椭圆的方程为1.10已知椭圆C的上、下顶点分别为B1，B2，左、右焦点分别为F1，F2，若四边形B1F1

15、B2F2是正方形，则此椭圆的离心率e_.考点椭圆的离心率问题题点求a，b，c得离心率答案解析因为四边形B1F1B2F2是正方形，所以bc，所以a2b2c22c2，所以e.11在ABC中，tan A，B.若椭圆E以AB为长轴，且过点C，则椭圆E的离心率是_考点椭圆的离心率问题题点求a，b，c得离心率答案解析由tan A，得sin A，cos A.又B，sin B，cos B，则sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B××.由正弦定理，得|BC|CA|AB|sin Asin Bsin C12.不妨取|BC|1，|CA|，|AB|2.以AB所在直线为x轴，

16、AB中点O为原点建立直角坐标系(C在x轴上方)，D是C在AB上的射影可求得|AD|，|OD|，|CD|，点C.设椭圆E的方程为1(ab0)，则a22，且1，解得b2，c2a2b22，e2，又0e1，e.三、解答题12已知椭圆x2(m3)y2m(m0)，其焦距与长轴长的比值是，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长及顶点坐标考点由椭圆方程研究简单性质题点由椭圆方程求顶点、焦点、长短轴、离心率解椭圆方程可化为1.因为m0，所以m0，所以m，所以a2m，b2，所以c .由，得，解得m1，所以a1，b，则椭圆的标准方程为x21，所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1，四个顶点的坐标分别为(1,0)，(1,0)，.1

17、3已知椭圆1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的交点为A，B，与y轴的交点为C，且B为线段CF1的中点，若|k|，求椭圆离心率e的取值范围考点由椭圆方程研究简单性质题点由椭圆的特征求参数解依题意得F1(c,0)，直线l：yk(xc)，则C(0，kc)因为点B为线段CF1的中点，所以B.因为点B在椭圆上，所以1，即1.所以1，所以k2.由|k|，得k2，即，所以2e417e280.解得e28.因为0<e<1，所以e2<1，即e<1，即e的取值范围是.四、探究与拓展14已知c是椭圆1(ab0)的半焦距，则的取值范围是(

18、)A(1) B(，)C(1，) D(1，考点由椭圆方程研究简单性质题点由椭圆的特征求参数答案D解析椭圆的中心、一个短轴的顶点、一个焦点构成一个直角三角形，两直角边长分别为b，c，斜边为a，由直角三角形的两直角边之和大于斜边得bca，1，又22(当且仅当bc时，取等号)，1，故选D.15设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|3|F1B|.(1)若|AB|4，ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求椭圆E的离心率考点椭圆离心率问题题点求a，b，c得离心率解(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因为ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF