专题八与二次函数有关的动点问题（含答案）

1、2012年中考第二轮专题复习八：与二次函数有关的动点问题1.（2011甘肃省兰州市）如图所示，在平面直角坐标系X0Y中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线经过点A、B和D（4，）.（1）求抛物线的表达式.（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，沿BC以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设S=().试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存

2、在，请说明理由.（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.考点：二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质。专题：计算题。分析：（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，求出A、B、D的坐标代入即可；（2）由勾股定理即可求出，假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形，求出P、Q的坐标，再分为三种情况：A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标（3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，求出直线BD的解析式，把抛物

3、线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标解答：（1）解：设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，当x=0时，y=2，点A的坐标是（0，2），正方形的边长2，B的坐标（2，2），把A（0，2），B（2，2），D（4，23）代入得：&c=2&4a+2b+c=2且&4a+2b+c=2&16a+4b+c=23，解得a=16，b=13，c=2抛物线的解析式为：y=16x213x2，答：抛物线的解析式为：y=16x213x2（2）解：由图象知：PB=22t，BQ=t，S=PQ2=PB2+BQ2，=（22t）2+t2，即S=5t28t+4（0t1）答：S与运动时间t之间的函数关系

4、式是S=5t28t+4，t的取值范围是0t1解：假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形S=5t28t+4（0t1），当S=54时，5t28t+4=54，得20t232t+11=0，解得t=12，t=1110（不合题意，舍去），此时点P的坐标为（1，2），Q点的坐标为（2，32）若R点存在，分情况讨论：【A】假设R在BQ的右边，这时QR=PB，RQPB，则R的横坐标为3，R的纵坐标为32，即R（3，32），代入y=16x213x2，左右两边相等，这时存在R（3，32）满足题意；【B】假设R在BQ的左边，这时PR=QB，PRQB，则：R的横坐标为1，纵坐标为32，即（1，32），代

5、入y=16x213x2，左右两边不相等，R不在抛物线上；【C】假设R在PB的下方，这时PR=QB，PRQB，则：R（1，52）代入，y=16x213x2左右不相等，R不在抛物线上（1分）综上所述，存点一点R（3，32）满足题意答：存在，R点的坐标是（3，3，2）（3）解：如图，MB=MA，A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，设直线BD的解析式是y=kx+b，把B、D的坐标代入得：&2k+b=2&4k+b=23，解得：k=23，b=103，y=23x103，抛物线y=16x213x2的对称轴是x=1，把x=1代入得：y=83M的坐标为（

6、1，83）；答：M的坐标为（1，83）点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，勾股定理，平行四边形的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解此题的关键是综合运用这些知识进行计算此题综合性强，是一道难度较大的题目2.（2011广东省清远市）如图，抛物线y(x1)2k 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C (0，3)xyOCAB（1）求抛物线的对称轴及k的值；（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PAPC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限 当M点运动到何处时，AMB的面积最大？求出AMB的最大面积及此时点M的坐标； 当M点运动到何处时，四

7、边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标 【答案】（1）抛物线的对称轴为直线x1，把C (0，3)代入y(x1)2k得31k k4（2）连结AC，交对称轴于点P y(x1)24 令y0 可得(x1)240xyOCABPx11 x23A (3，0) B (1，0)设直线AC的关系式为：ym xb把A (3，0)，C (0，3)代入ym xb得，3mb0 b3 m1线AC的关系式为yx3当x1时，y132P (1，2) 当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标xyOCABM（3） 设M的坐标为（x, (x1)24） SA

8、MB×AB×ym×4×4(x1)282(x1)2当x1时，S最大，最大值为S8M的坐标为(1，4) 过M作x轴的垂线交于点E，连接OM，S四边形AMCBSAMOSCMOSCBO×AB×|ym|×CO×|xm|×OC×BO6 (x1)2×3×(x)×3×1x2 x6（x23x9）（x）2当x 时，S最大，最大值为ADPO1MNCBxy13题3.（2011河北省）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t秒（t0），抛物

9、线y=x2bxc经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，5）、D（4，0）.求c、b（用含t的代数式表示）；当4t5时，设抛物线分别与线段AB、CD交于点M、N. 在点P的运动过程中，你认为AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出AMP的值； 求MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S=；（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围.考点：二次函数综合题。分析：（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b

10、；（2）当x=1时，y=1t，求得M的坐标，则可求得AMP的度数，由S=S四边形AMNPSPAM=SDPN+S梯形NDAMSPAM，即可求得关于t的二次函数，列方程即可求得t的值；（3）根据图形，即可直接求得答案解答：解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，t0，b=t；（2）不变如图6，当x=1时，y=1t，故M（1，1t），tanAMP=1，AMP=45°；S=S四边形AMNPSPAM=SDPN+S梯形NDAMSPAM=12（t4）（4t16）+12（4t16）+（t1）×312（t1）（t1）

11、=32t2152t+6解32t2152t+6=218，得：t1=12，t2=92，4t5，t1=12舍去，t=92（3）72t113点评：此题考查了二次函数与点的关系，以及三角形面积的求解方法等知识此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合4.（2011湖北省施恩自治州）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，抛物线过点、点，且与轴的另一交点为，其中0，又点是抛物线的对称轴上一动点（1）求点的坐标，并在图1中的上找一点，使到点与点的距离之和最小；（2）若周长的最小值为，求抛物线的解析式及顶点的坐标；（3）如图2，在线段上有一动点以每秒2个单位的速度从点向点移动(不与端点

12、、重合)，过点作交轴于点,设移动的时间为秒，试把的面积表示成时间的函数，当为何值时，有最大值，并求出最大值； （4）在（3）的条件下，当时，过作轴的平行线交抛物线于、两点，问：过、三点的圆与直线能否相切于点？请证明你的结论（备用图图3）第4题图2第4题图1第4题图3考点：二次函数综合题。分析：（1）由题意A、B点关于抛物线对称，则BC所在直线与对称轴的交点即为P0；（2）由（1）所求可知该题周长最小即为 AC+BC的长，从而求出x0，而解得；（3）由在三角形OBC三角形CMN，得到高关于t的式子，因为MHBC，得到三角形MHP0三角形底边关于t的表达式，根据t的取值范围，从而求得S的最大值（4

13、）把S的取值代入（3）中表达式中求得t，从而得到点M的坐标，从而证明各点解答：解：（1）由题意直线AC与x轴的交点为A，所以当y=0，则x=6，所以点A（6，0）同理点C（0，8），由题意，A、B是抛物线y=ax2+bx+8与x轴的交点，6，x0是一元二次方程ax2+bx+8=0的两个根，6+x0=ba，6x0=8a，a=43x0，b=8x0+43A、B点关于抛物线对称，BC所在直线与对称轴的交点即为P0设直线BC的解析式为y=mx+n，则n=8，mx0+n=0，m=8x0，n=8BC的解析式为y=8x0x+8当x=b2a=6+x02时，y=24x0+4，P0的坐标为（6+x02，24x0+4

14、）；（2）由（1）可知三角形PAC最小即为AC+BC=10+241，62+82+x02+82=10+241，解得x0=10或x0=10（不符舍去），则点B（10，0），由点A，B，C三点的二次函数式为y=215x2+815x+8=215（x2）2+12815顶点N（2，12815）；（3）如图，作MNBC与N，则在三角形OBC三角形CMN，所以h3=2t10，即h=35t因为MHBC，所以82t8=MHBC，解得MH=82t8BC=82t8×241=414（82t），S=12MHh=12×414（82t）×35t=34120t2+3415t，因为每秒移动2个单位，

15、则当t=2时符合范围0t4，所以当t为2时S最大；（4）把S的取值代入（3）中表达式中求得t，从而得到点M的坐标，S=7532，即7532=34120t2+3415t则解得t=2，则由题意知CEF三点所在圆半径为4，所以直线CN与CFE所在圆相切点评：本题考查了二次函数的综合应用，知道三点求二次函数式，考查一次函数与二次函数的结合求三角形面积，知道面积求点，很好结合，是道好题5.（2011湖北省仙桃、潜江、天门、汉江油田）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CHx轴于点H.（1）直接填写：= ，b= ，顶点C的坐标为 ；（2）在轴上是否存在点D

16、，使得ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQAC于点Q，当PCQ与ACH相似时，求点P的坐标. ABHCABHC（备用图）5.解：（1），顶点C的坐标为（-1，4）3分（2）假设在y轴上存在满足条件的点D, 过点C作CEy轴于点E.EC由CDA=90°得，1+2=90°. 又2+3=90°，3=1. 又CED=DOA =90°，1CED DOA，.HBA23设D（0，c），则.变形得，解之得.综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），使ACD

17、是以AC为斜边的直角三角形. 7分（3）若点P在对称轴右侧（如图），只能是PCQCAH，得QCP=CAH.延长CP交x轴于M，AM=CM， AM2=CM2.设M（m，0），则( m+3)2=42+(m+1)2，m=2，即M（2，0）.设直线CM的解析式为y=k1x+b1，则， 解之得，.直线CM的解析式.8分联立，解之得或(舍去).9分 若点P在对称轴左侧（如图），只能是PCQACH，得PCQ=ACH.过A作CA的垂线交PC于点F，作FNx轴于点N. 由CFACAH得，由FNAAHC得. , 点F坐标为（-5,1）. 10分设直线CF的解析式为y=k2x+b2，则，解之得.直线CF的解析式.

18、11分联立 ，解之得 或 (舍去). . PABHCQM（图）PABHCQFN（图）满足条件的点P坐标为或 12分6.（2011浙江省宁波市）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-2,2），点B的坐标为（6，6）,抛物线经过A、O、B三点，连结OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E，（1）求点E的坐标（2）求抛物线的函数解析式（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连结ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求BON面积的最大值，并求出此时点N的坐标（4）连结AN，当BON面积最大时，在坐标平面内求使得BOP与OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标。6解：(1) 设 将点代入得 得 当时， 3分（2）设抛物线的函数解析式为， 将代入得 解得抛物线的解析式为 6分（3）过点作轴的垂线，垂足为，交OB于点Q，过作轴于，设，则则 7分 当时，BON 面积最大，最大值为， 8分此