202X届高考数学一轮复习第六章数列6.2等差数列课件理

1、6.2 等差数列高考理数高考理数 (课标专用)1.(2019课标,9,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn=2n2-8nD.Sn=n2-2n12五年高考A组 统一命题课标卷题组答案答案A本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学运算.设an的公差为d,依题意得,4a1+d=0,a1+4d=5,联立,解得a1=-3,d=2.所以an=2n-5,Sn=n2-4n.故选A.解后反思解后反思解数列选择题,可以用逐项检验法、排除法或赋值法等“快速”解法.本题若用逐项检验法去验证S4和

2、a5,就会发现无法排除错误选项.因此,还是要从通用方法入手.4 322.(2018课标,4,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.10D.12答案答案 B本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式.设等差数列an的公差为d,则3(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即d=-a1,又a1=2,d=-3,a5=a1+4d=-10,故选B.323.(2017课标,4,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则an的公差为()A.1B.2C.4D.8答案答案 C本题考查等差数列的通项公式、前n项和

3、公式以及等差数列的性质,考查学生对数列基础知识的掌握程度和应用能力.解法一:等差数列an中,S6=48,则a1+a6=16=a2+a5,又a4+a5=24,所以a4-a2=2d=24-16=8,得d=4,故选C.解法二:由已知条件和等差数列的通项公式与前n项和公式可列方程组,得即解得故选C.方法总结方法总结求解此类题时,常用Sn=先求出a1+an的值,再结合等差数列an中“若m,n,p,qN*,m+n=p+q,则am+an=ap+aq”的性质求解数列中的基本量.16() 62aa112724,6 5648,2adad112724,2516,adad12,4,ad 1()2naa n4.(201

4、7课标,9,5分)等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.8答案答案A本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式.设等差数列an的公差为d,依题意得=a2a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2或d=0(舍去),又a1=1,S6=61+(-2)=-24.故选A.23a6 525.(2016课标,3,5分)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.97答案答案 C设an的公差为d,由等差数列前n项和公式及通项公式,得解得an=a1+(n-1)d=n-

5、2,a100=100-2=98.故选C.思路分析思路分析用a1,d表示S9,a10,列方程组求出a1,d,从而可求得a100.911019 8927,298,Sadaad11,1,ad 6.(2019课标,14,5分)记Sn为等差数列an的前n项和,若a10,a2=3a1,则=.105SS答案答案4解析解析本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式;考查学生对数列基础知识的掌握程度和运算求解能力;考查了数学运算的核心素养.设等差数列an的公差为d,a2=3a1,a2=a1+d=3a1,d=2a1,S10=10a1+d=100a1,S5=5a1+d=25a1,又a10,=4.10 92542105

6、SS7.(2018课标,17,12分)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解析解析(1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以an的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.B B组组 自主命题自主命题省省( (区、市区、市) )卷题组卷题组考点一等差数列的概念及运算考点一等差数列的概念及运算1.(2015重庆,2,5分)在等差数列an中,若a2=4,a4=2,则a6=()A.-1B.0C.1

7、D.6答案答案B设数列an的公差为d,由a4=a2+2d,a2=4,a4=2,得2=4+2d,d=-1,a6=a4+2d=0.故选B.2.(2019江苏,8,5分)已知数列an(nN*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.答案答案16解析解析本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式,考查学生的运算求解能力,同时考查数列基础知识的应用能力.设数列an的公差为d,则解得a1=-5,d=2,所以S8=8(-5)+2=16.一题多解一题多解数列an是等差数列,S9=9a5=27,a5=3,由3a2+a8=0,得3(a5-3d)+a5+3d=0,即12-6d=0

8、,d=2,S8=4(a4+a5)=4(a5-d+a5)=16.1111()(4 )70,9 8927,2ad adadad8 72199()2aa188()2aa3.(2019北京,10,5分)设等差数列an的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5=,Sn的最小值为.答案答案0;-10解析解析本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式;考查函数的思想方法;通过求最值考查学生的运算求解能力.考查的核心素养是数学运算.设等差数列an的公差为d,a2=-3,S5=-10,即得a5=a1+4d=0,Sn=na1+d=-4n+=(n2-9n)=-,nN*,n=4或5时,Sn取最小值,最小值为-

9、10.一题多解一题多解设等差数列an的公差为d,易得S5=5a3,S5=-10,a3=-2,又a2=-3,d=1,a5=a3+2d=0,(Sn)min=S4=S5=-10.113,5 4510,2adad 113,22,adad 14,1,ad (1)2n n22nn1212292n818155()2aa4.(2018北京,9,5分)设an是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则an的通项公式为.4.(2018北京,9,5分)设an是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则an的通项公式为.答案答案an=6n-3解析解析本题主要考查等差数列的通项公式.设等差数列an的公差为d,则a2+a

10、5=a1+d+a1+4d=2a1+5d=6+5d=36,d=6,an=a1+(n-1)d=3+6(n-1)=6n-3.5.(2016天津,18,13分)已知an是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的nN*,bn是an和an+1的等比中项.(1)设cn=-,nN*,求证:数列cn是等差数列;(2)设a1=d,Tn=(-1)k,nN*,求证:.21nb2nb21nk2kb1nk1kT212d证明证明(1)由题意得=anan+1,有cn=-=an+1an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,所以cn是等差数列.(2)Tn=(-+)+(-+)+

11、(-+)=2d(a2+a4+a2n)=2d=2d2n(n+1).所以=0,则a2+a30B.若a1+a30,则a1+a20C.若0a1D.若a1013a a考点二等差数列的性质考点二等差数列的性质答案答案 C因为an为等差数列,所以2a2=a1+a3.当a2a10时,得公差d0,a30,a1+a32,2a22,即a2,故选C.13a a13a a13a a2.(2015广东,10,5分)在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=.答案答案10解析解析利用等差数列的性质可得a3+a7=a4+a6=2a5,从而a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,故a5=5,所以

12、a2+a8=2a5=10.C C组组 教师专用题组教师专用题组考点一等差数列的概念及运算考点一等差数列的概念及运算1.(2016浙江,6,5分)如图,点列An,Bn分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,AnAn+2,nN*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,BnBn+2,nN*.(PQ表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为AnBnBn+1的面积,则()A.Sn是等差数列B.是等差数列C.dn是等差数列D.是等差数列2nS2nd答案答案A不妨设该锐角的顶点为C,A1CB1=,|A1C|=a,依题意,知A1、A2、An顺次排列,设|AnAn+1|=b,|B

13、nBn+1|=c,则|CAn|=a+(n-1)b,作AnDnCBn于Dn,则|AnDn|=a+(n-1)bsin,于是Sn=|BnBn+1|AnDn|=ca+(n-1)bsin=bcsinn+(a-b)csin,易知Sn是关于n的一次函数,所以Sn是等差数列.故选A.121212122.(2015浙江,3,5分)已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn.若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d0,dS40B.a1d0,dS40,dS40D.a1d0答案答案 B由=a3a8,得(a1+2d)(a1+7d)=(a1+3d)2,整理得d(5d+3a1)=0,又d0,a1=-d,则a1d

14、=-d20,又S4=4a1+6d=-d,dS4=-d20,故选B.24a535323233.(2013课标,7,5分)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.6答案答案 CSm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,公差d=am+1-am=1,由Sn=na1+d=na1+,得由得a1=,代入可得m=5.思路分析思路分析由am=Sm-Sm-1,am+1=Sm+1-Sm及d=am+1-am求得d,利用等差数列前n项和公式列方程组求解.一题多解一题多解数列an为等差数列,且前n项和为

15、Sn,数列也为等差数列.+=,即+=0,解得m=5.经检验为原方程的解.故选C.(1)2n n(1)2n n11(1)0,2(1)(2)(1)2.2m mmammma 12mnSn11mSm11mSm2mSm21m31m4.(2016江苏,8,5分)已知an是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+=-3,S5=10,则a9的值是.22a答案答案20解析解析设等差数列an的公差为d,则由题设可得解得从而a9=a1+8d=20.2111()3,5 4510,2aadad 13,4,da 5.(2014课标,17,12分)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常

16、数,(1)证明:an+2-an=;(2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.5.(2014课标,17,12分)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数,(1)证明:an+2-an=;(2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.解析解析(1)证明:由题设anan+1=Sn-1,知an+1an+2=Sn+1-1.两式相减得,an+1(an+2-an)=an+1.由于an+10,所以an+2-an=.(2)存在.由a1=1,a1a2=a1-1,可得a2=-1,由(1)知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4,由此可得,a

17、2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=1+(n-1)4=4n-3;a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=3+(n-1)4=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在=4,使得an为等差数列.思路分析思路分析(1)已知anan+1=Sn-1,用n+1代替n得an+1an+2=Sn+1-1,两式相减得结论.(2)利用a1=1,a2=-1,a3=+1及2a2=a1+a3,得=4.进而得an+2-an=4.故数列an的奇数项和偶数项分别组成公差为4的等差数列,分别求通项公式,进而求出an的通项公式,从而证出等差数列.方法总结对于含an、Sn的等式的处理,往往可转换

18、为关于an的递推式或关于Sn的递推式;对于存在性问题,可先探求参数的值再证明.1.(2015陕西,13,5分)中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为.考点二等差数列的性质考点二等差数列的性质答案答案5解析解析设该等差数列为an,若项数为2n-1,nN*,则有a2n-1=2015,an=1010,由a1+a2n-1=2an,得a1=5.若项数为2n,nN*,则有a2n=2015,=1010,由a1+a2n=an+an+1,得a1=5.综上,a1=5.12nnaa2.(2013课标,16,5分)等差数列an的前n项和为Sn.已知S10=0,S15=25,则nSn的

19、最小值为.答案答案-49解析解析由Sn=na1+d得解得a1=-3,d=,则Sn=-3n+=(n2-10n),所以nSn=(n3-10n2),令f(x)=(x3-10 x2),则f(x)=x2-x=x,当x时,f(x)递减,当x时,f(x)递增,又67,f(6)=-48,f(7)=-49,所以nSn的最小值为-49.思路分析思路分析用a1,d表示S10,S15,求出a1,d,进而得Sn,从而得nSn=(n3-10n2),构造函数f(x)=(x3-10 x2),利用导数研究函数单调性,从而求出nSn的最小值.(1)2n n10115110450,1510525,SadSad23(1)2n n23

20、131313203203x201,320,32031313考点一等差数列的概念及运算考点一等差数列的概念及运算1.(201953原创冲刺卷一,4)已知等差数列an的前n项和为Sn,S2=3,S3=6,则S2n+1=()A.(2n+1)(n+1)B.(2n+1)(n-1)C.(2n-1)(n+1)D.(2n+1)(n+2)三年模拟A组 20172019年高考模拟考点基础题组答案答案A设等差数列an的公差为d,则2a1+d=3,3a1+3d=6,所以a1=d=1,则an=1+(n-1)1=n.因此S2n+1=(2n+1)(n+1).(21)(121)2nn2.(2018河南濮阳二模,7)已知等差数

21、列an一共有9项,前4项和为3,最后3项和为4,则中间一项的值为()A.B.C.1D.172059606766答案答案 D设等差数列an的公差为d,由题意得解得中间一项为a5=a1+4d=+4=.故选D.11463,3214,adad113,227.66ad132276667663.(2018河南信阳二模,9)九章算术是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种质量单位),在这个问题中

22、,甲得钱()A.B.C.D.53324354答案答案C甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a1,a2,a3,a4,a5,设公差为d,由题意知a1+a2=a3+a4+a5=,即解得故甲得钱,故选C.521152,2539,2adad14,31,6ad 434.(2019福建龙岩一模,17)已知等差数列an的前n项和为Sn,且a2=3,S6=36.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=2nan,nN*,求数列bn的前n项和Tn.解析解析(1)设等差数列an的公差为d,由a2=3,S6=36可得a1+d=3,6a1+15d=36,解得a1=1,d=2,则an=2n-1.

23、(2)bn=2n(2n-1),可得Tn=12+322+523+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,2Tn=122+323+524+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1,-Tn=2+222+223+224+22n-(2n-1)2n+1=2+2-(2n-1)2n+1=-6+2n+2-(2n-1)2n+1=-6+2n+1(3-2n),Tn=6+(2n-3)2n+1.14(12)12n1.(2018山西太原一模,5)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a2+a3+a10=9,则S9=()A.3B.9C.18D.27考点二等差数列的性质考点二等差数列的性质答案答案 D设等差数列an的公差为d,a2

24、+a3+a10=9,3a1+12d=9,即a1+4d=3,a5=3,S9=9a5=27,故选D.199()2aa2.(2018广东汕头模拟,8)已知等差数列an的前n项和为Sn,a1=9,-=-4,则Sn取最大值时的n为()A.4B.5C.6D.4或599S55S答案答案B由an为等差数列,得-=a5-a3=2d=-4,即d=-2,由于a1=9,所以an=-2n+11,令an=-2n+11,所以Sn取最大值时的n为5,故选B.99S55S1123.(2019河南安阳3月联考,4)在等差数列an中,若a2+a8=8,则(a3+a7)2-a5=()A.60B.56C.12D.43.(2019河南安

25、阳3月联考,4)在等差数列an中,若a2+a8=8,则(a3+a7)2-a5=()A.60B.56C.12D.4答案答案A在等差数列an中,a2+a8=8,a2+a8=2a5=8,解得a5=4,(a3+a7)2-a5=(2a5)2-a5=64-4=60.故选A.4.(2019湖北宜昌一模,8)等差数列an的前n项和为Sn,若公差d0,(S8-S5)(S9-S5)|a8|D.|a7|0,S9S8,又(S8-S5)(S9-S5)0,S8S5S9,a6+a7+a80,a70,|a7|0,d0时,设求n即可,当a10时,设求n即可;第二种,用前n项和公式求得Sn=f(n),借助函数图象的对称轴求解.(

26、1)2n nd(1)2n nd2d10,0,nnaa10,0,nnaa4.(2018安徽淮北一模,9)Sn是等差数列an的前n项和,S2018S2016,S2017S2018,则Sn0时n的最大值是()A.2017B.2018C.4033D.4034答案答案 DS2018S2016,S2017S2018,a2018+a20170.S4034=2017(a2018+a2017)0,可知Sn0时n的最大值是4034.故选D.解题关键解题关键由S2018S2016,S2017S2018得出a2018+a20170是解题的关键.易错警示易错警示本题中所求的是前n项和Sn0时n的最大值,注意不要与Sn最

27、大时的n值混淆.求Sn0且2Sn=+an(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)若an0(nN*),令bn=,求数列bn的前n项和Tn.2na1(2)nna a 二、解答题二、解答题(共共25分分)解析解析(1)当n=1时,2S1=+a1=2a1,又a10,则a1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1=-,即(an+an-1)(an-an-1-1)=0an=-an-1或an=an-1+1,an=(-1)n-1或an=n.(2)an0,an=n,bn=,Tn=1+-=-.21a22nnaa2112nnaa1(2)n n12112nn121111113242nn121211n12n34232(1)(2)nnn6.(2019河南部分重点中学4月联考,17)已知等差数列an的公差d0,其