2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准【直接打印】精品

1、2018 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明： 评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7 分和 0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：(本题满分42 分，每小题7 分)1 已知 a 2 1 ， b 32， c 6 2，那么 a,b,c的大小关系是()A. a b c B. a c b C. b a c D. b c a【答】 C.1 111因为2 1 ，32 ，所以 0 ，故 b a . 又 c a ( 6 2) (

2、 2 1)6abab( 2 1)，而( 6)2 ( 2 1)2 3 2 2 0，所以 62 1 ，故 c a.因此 b a c.222 方程x2 2xy 3y2 34的整数解(x, y)的组数为()A 3.B 4.C 5.D 6.【答】 B.方 程 即 (x y)2 2y2 34 ， 显 然 x y 必 须 是 偶 数 ， 所 以 可 设 x y 2 t， 则 原 方 程 变 为22t 2,2t2 y2 17，它的整数解为从而可求得原方程的整数解为(x,y) ( 7,3) ， (1,3)， (7, 3)，y 3,( 1, 3) ，共 4 组 .CE 1 ，连接AE，与CD交于点F，连接()3

3、已知正方形ABCD的边长为1， E为 BC边的延长线上一点，BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为A63B5326 C325 D32018 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 5 页（共 5 页）DG GP PEDE33【答】 D.过点C作CP/BG，交DE于点P. 因为BCCE1， 所以CP是 BEG的中位线，所以P 为 EG的中点.又因为AD CE 1 ， AD/CE，所以ADFECF，所以CFDF， 又 CP/FG， 所以 FG是DCP的中位线，所以G为 DP的中点.连接 BD ，易知BDCEDC 45°，所以BDE 90 °又 BD2 ，所以BGBD

4、 2 DG 22 2 2 5934 已知实数a, b满足a2 b2 1 ，则a4 ab b4的最小值为A1 .B 0.C 1.D 9 .88【答】 B.442222222129a4ab b4(a2b2)22a2b2ab 1 2a2b2ab 2(ab )2.482211311129因为 2 | ab | a2 b2 1 ，所以ab ，从而ab ，故 0 (ab)2，因此2244 441612994490 2(ab )，即 0 a ab b .4888因此 a4 ab b4的最小值为0，当a 2 ,b 2 或 a 2 ,b 2 时取得 .22225 若方程 x2 2px 3p 2 0的两个不相等的

5、实数根2323C1.5 D4x1,x2满足x1x14 (x2 x2) ， 则实数 pA 0.B3 .4【答】 B.x1x22 p ，x1 x23p 2，所以2222x1 x2 (x1 x2 ) 2x1 x2 4 p 6p 4 ，x13x32 (x1 x2)( x1 x2)2 3x1 x22 p(4 p2 9p 6) .23232233又由x1x14(x2x2)得x1x24(x1x2 )，所以4p 6 p 4 4 2p(4 p 9 p 6) ，3所以 p（4p 3）（p 1） 0，所以p1 0, p23, p31.43代入检验可知：p1 0, p23 均满足题意，p31 不满足题意.433因此，

6、实数p 的所有可能的值之和为p1 p2 0 （）.446 由 1 ， 2， 3， 4 这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d .这样的四位数共有A 36个 .B 40个 .【答】 C.根据使用的不同数字的个数分类考虑：（ 1 ）只用1 个数字，组成的四位数可以是（ 2）使用2 个不同的数字，使用的数字有C 44 个 .D 48 个 .1111， 2222， 3333， 4444，共有4 个 .6 种可能（1 、 2， 1、 3， 1 、 4， 2、 3， 2、 4， 3、 4） .如果使用的数字是1、 2，组成的四位数可以是1122， 1221， 2112，

7、2211，共有 4 个；同样地，如果使用的数字是另外 5 种情况，组成的四位数也各有4 个 .因此，这样的四位数共有6× 4 24 个 .（3）使用3 个不同的数字，只能是1 、2、2、3 或2、3、3、4，组成的四位数可以是1232，2123，2321 ， 3212， 2343， 3234， 3432， 4323，共有8 个 .（4）使用4 个不同的数字1， 2，3，4，组成的四位数可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421 ，4213， 4312，共有8个 .4 24 8 8 44 个 .二、填空题：（本题满分1 已知互不相等的实数28 分，每小题7 分）1

8、.1t得 b bta1b t得ctat ，整理得 ct2 (ac 1)t (a c) 0111a,b,c满足 a b c t，则 t1222又由c t 可得 ac 1 at，代入式得ct at (a c) 0 ，即 (c a)(t 1) 0 ，又 c a ，a所以 t2 1 0，所以t 1.验证可知：b ,c a 时 t 1； b,c1a1aa 1 时 t 1. 因此， t 1 . a2 使得 5 2 m 1 是完全平方数的整数m 的个数为1设 5 2m 1n2（其中n 为正整数）， 则 5 2mn2 1 （n 1）（n 1）， 显然 n为奇数， 设 n 2k 1k是正整数)，则 5 2m 4

9、k(k 1)，即5 2m 2 k(k 1) .k52m2, k5,显然 k 1 ， 此时 k 和 k 1 互质， 所以, 或2k11, k1 2m2因此，满足要求的整数m 只有 1 个 .k 2m 2或, 解得 k 5, m 4 .k 1 5,3 在 ABC 中，已知AB AC ，A 40°，P为 AB上一点，ACP 20°，则BCAP3.设 D 为 BC的中点，在ABC 外作 CAE 20°，则BAE 60° .作CEAE，PFAE，则易证ACEACD，所以CECD1 BC.2又 PF PAsin BAE PAsin60°3AP， PF CE

10、，所以3221APBC，2BC 3APc4 已知实数a,b,c满足 abc 1 ， a b c 4 ，a 3a 1 b 3b 1 c 3c 14 ，则 9222 abc33a23a 1 a2 3a abc a(bc a 3) a(bc b c 1) a(b 1)(c 1)，所以2.a2 3a 1 (b 1)(c 1)b1c12b1，2c1b2 3b 1 (a 1)(c 1) c2 3c 1 (a 1)(b 1)结合abc222a2 3a 1 b2 3b 1 c2 3c 14 可得11149 (b 1)(c 1) (a 1)(c 1) (a 1)(b 1) 9所以4(a 1)(b 1)(c 1)

11、 (a 1) (b 1) (c 1). 91结合 abc 1 ， a b c 4 ，可得 ab bc ac4222233因此， a b c (a b c) 2(ab bc ac)211实际上，满足条件的a, b, c 可以分别为, ,4 .22第二试 （ A）一、 （本题满分20 分） 已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积解 设直角三角形的三边长分别为a, b,c（ a b c） ，则 a b c 30 .显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值 .由abc及a bc 30得30ab c3c，所以c10 .由abc及a bc 30得30ab c2c，所

12、以c15.又因为 c 为整数，所以11 c 14.5 分根据勾股定理可得a2 b2 c2，把c 30 a b代入，化简得ab 30（a b） 450 0，所以（30 a）（30 b） 450 2 32 52，10分30a52a5因为a,b均为整数且a b，所以只可能是a , 解得 a , 15 分30b232,b12.所以，直角三角形的斜边长c 13，三角形的外接圆的面积为169 .20分4（ 本题满分25分） 如图， PA为 O的切线， PBC为 O的割线，AD OP于点D.证明：AD 2 BD CD .2018 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 1 页（共 4 页）证明： 连

13、接OA， OB， OC. OA AP， AD OP，由射影定理可得PA2 PD PO， AD2 PD OD . 5分又由切割线定理可得PA2 PB PC ， PB PC PD PO，D、 B、 C、 O 四点共圆，2018 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 4 页（共 7 页）10 分PDB PCOOBC ODC，PBDCOD，PBDCOD， 20 分PD BD2， AD 2 PD OD BD CD .25 分CD OD12三 （本题满分25 分） 已知抛物线y x bx c的顶点为P，与x轴的正半轴交于A （x1,0） 、613B （x2,0） （ x1 x2）两点，与y轴交于

14、点C， PA是 ABC 的外接圆的切线.设 M （0,），若 AM/BC ，求抛物线的解析式.32解 易求得点P (3b, b2 c)，点 C(0,c) .设 ABC 的外接圆的圆心为D， 则点 P和点 D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点 D 的坐标为（3b,m）.显 然 ，x1 ,x2 是 一 元 二 次 方 程 1 x2 bx c 0 的 两 根 ， 所 以x1 3b9b2 6c ，61x2 3b 9b2 6c，又 AB 的中点 E 的坐标为(3b,0) ，所以 AE9b2 6c .5分PA 为 D 的切线，所以PA AD，又AE PD，所以由射影定理可得AE2 PE DE ，即( 9b2 6c)2 (3 b2 c) |m，又易知| m 0，所以可得m 6.10分又由DADC 得 DA 2DC2，即(9b26c)2 m2 (3b0)2(mc)2，把m 6代入后可解20 分25 分得 c 6 (另一解c 0 舍去) .15 分OA OM3b9b2 6c又因为 AM/BC ，所以，即OB OC3b9b2 6c55把 c 6 代入解得b （另一解b 舍去） .2215因此，抛物线的解析式为y 1 x25x 6 .622018 年全国初