2014年陕西省高考数学(理科)卷及解析

1、105 分，满分50 分）2014年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10 小题，每小题1 （ 5 分） （ 2014?陕西）设集合M=x|x 0， x R， N=x|x 2< 1， x R，则 MN=（A0， 1B0，1）C（ 0， 1D（ 0， 1 ）2 （ 5 分） （ 2014?陕西）函数f（ x） =cos（ 2x ）的最小正周期是（ABC2D43 （ 5 分） （ 2014?陕西）定积分（ 2x+ex） dx的值为（）Ae+2Be+1CeDe 14 （ 5 分） （ 2014?陕西）根据如图框图，对大于2的正数 N，输出的

2、数列的通项公式是（）27Aan=2nBan=2（ n 1）Cn an=2Dn 1 an=25（ 5 分） （ 2014?陕西）已知底面边长为1， 侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（AB4C2D6 （ 5 分） （ 2014?陕西）从正方形四个顶点及其中心这5 个点中，任取2 个点，则这2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）ABCD7 （5 分） （2014?陕西）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（Af（ x） =xB3 f（ x） =xCf（ x） =（）Dxf（ x） =38 （ 5 分） （ 2014?陕西）原命题为“若z1，

3、 z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A真，假，真B假，假，真C真，真，假D假，假，假9 （ 5 分） （ 2014?陕西）设样本数据x1， x2， ， x 10的均值和方差分别为1 和 4，若yi=xi+a（ a为非零常数，i=1 ，2， ， 10） ，则y1， y2， ， y10的均值和方差分别为（）A1+a， 4B1+a， 4+aC1， 4D1 ， 4+a10 （ 5分） （ 2014?陕西）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A 的水平距离10 千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数

4、的解析式为（）15 、 16、 17 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共y=x3+ x二、填空题（考生注意：请在4 小题，每小题 5 分，满分20 分）11 （ 5 分） （ 2014?陕西）已知4a=2， lgx=a，则x=12（ 5分） （ 2014?陕西）若圆 C 的半径为1， 其圆心与点（ 1， 0） 关于直线y=x 对称， 则圆 C的标准方程为13 （5分） （ 2014?陕西）设0< < ，向量=（sin2，cos），=（cos，1） ，若 ，则tan =14 （ 5 分） （ 2014?陕西）观察分析下表中的数据：多面体面数（F）顶点数（ V）棱数

5、（E）三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F， V， E 所满足的等式是 （不等式选做题）15 （ 5 分） （ 2014?陕西）设a， b， m， n R，且a2+b2=5， ma+nb=5，则的最小值为16 （ 2014?陕西）如图， ABC 中， BC=6，以 BC 为直径的半圆分别交AB、 AC 于点 E、 F，若AC=2AE ，则 EF=17 （ 2014?陕西）在极坐标系中，点（2， ）到直线sin（ ） =1 的距离是三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6 小题，满分75 分）18 （ 12 分） （ 2014?陕西） ABC 的内角 A

6、， B， C 所对应的边分别为a， b， c（）若a， b， c 成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin （ A+C ） ；（）若a， b， c 成等比数列，求cosB 的最小值19 （ 12 分） （ 2014?陕西）如图1，四面体ABCD 及其三视图（如图2 所示） ，过棱 AB 的中点 E 作平行于AD ， BC的平面分别交四面体的棱BD ， DC， CA 于点F， G， H（）证明：四边形EFGH 是矩形；（）求直线AB 与平面 EFGH 夹角 的正弦值20 （ 12 分） （ 2014?陕西）在直角坐标系xOy 中，已知点A（1 ，1） ，B（2，3），C（3，2），点P（x

7、，y）在 ABC三边围成的区域（含边界）上（）若+= ，求 |；1000 元，此作物的市场价格和这块地上的（）设=m +n （m，nR），用x，y 表示mn，并求mn 的最大值21 （ 12 分） （ 2014?陕西）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量（ kg）300500概率0.50.5作物市场价格（元/kg）610概率0.40.6X 表示在这块地上种植1 季此作物的利润，求X 的分布列；3 季种植此作物，求这3 季中至少有2 季的利润不少于2000 元的概率22 （13 分） （2014?陕西）如图，曲线C 由上半椭圆C1：+

8、=1（a>b>0，y0）和部分抛物线C2：y=（ y 0）连接而成，C1 与 C2的公共点为A， B，其中C1 的离心率为（） 求 a， b 的值；x2+1（）过点B 的直线 l 与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若APAQ，求直线l 的方程23 （14 分） （2014?陕西）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf（ x） ，x0，其中f（x）是 f（ x）的导函数（）令g1（ x）=g（x）， gn+1（x） =g（gn（x） ， nN+，求gn（x）的表达式；（）若f（ x） ag（ x）恒成立，求实数a 的取值范围；（）设n N+，比较g（ 1） +g

9、（ 2） +g（n）与 nf（n）的大小，并加以证明参考答案与试题解析一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10 小题，每小题5 分，满分50 分）1 （ 5 分）考交集及其运算点：专集合题：分先解出集合N ，再求两集合的交即可得出正确选项析：解解：M=x|x 0，x R， N=x|x 2<1， xR=x| 1< x< 1，xR，答： M N=0， 1） 故选B点本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键评：2 （ 5 分）考 三角函数的周期性及其求法点：专三角函数的图像与性质题：分由题意得 =2，再代入复合三角函数的周期公式求解析：解 解：根据复合

10、三角函数的周期公式得，答：函数f（ x） =cos（ 2x）的最小正周期是 ，故选 B 点 本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题评：3 （ 5 分）考 定积分点：专导数的概念及应用题：分根据微积分基本定理计算即可析：解 解：（ 2x+ex） dx=（ x2+ex）=（ 1+e）（0+e0） =e答：故选： C点 本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数评：4 （ 5 分）考程序框图点：专算法和程序框图题：分根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式析：解解：由程序框图知：ai+1=2ai， a1=2，答：数列为公比为2 的等边数

11、列，an=2n故选：C点本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键评：5 （ 5 分）考 球的体积和表面积点：专计算题；空间位置关系与距离题：分由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1 ，最后根据球的析：体积公式，可算出此球的体积解 解：正四棱柱的底面边长为1 ，侧棱长为，答：正四棱柱体对角线的长为=2又正四棱柱的顶点在同一球面上，正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V= R3= 故选：D点本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方

12、体对角线公评：式和球的体积公式等知识，属于基础题6 （ 5 分）考列举法计算基本事件数及事件发生的概率点：专应用题；概率与统计；排列组合题：分设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点，共有 10 条线段， 4条长度为析： 1 ， 4 条长度为，两条长度为，即可得出结论解 解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5 个点中任取2 个点，共有10 条线段，4 条长答： 度为 1， 4条长度为，两条长度为，所求概率为= 故选：C点 本题考查概率的计算，列举基本事件是关键评：7 （ 5 分）考抽象函数及其应用点：专函数的性质及应用题：分对选项一一加以判断，先判

13、断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案析：解答： 解：Af（x）=，f（y）=， f（x+y）=，不满足f（ x+y）=f（x）f（y），故 A 错；B f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y） =f（x）f（y），故 B 错；Cf（x） =，f（y）=，f（x+y） =，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f（x）在 R 上是单调减函数，故C 错D f（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R 上是单调增函数，故 D 正确；故选D点 本题主要考查抽象函数

14、的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题 评：8 （ 5 分）考 四种命题点：专阅读型；简易逻辑题：分根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假析：关系判断否命题与逆否命题的真假解 解：根据共轭复数的定义，命题“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”是真命题；答： 其逆命题是：“若|z1|=|z2|，则z1， z2互为共轭复数”，例|1|=|1|，而 1 与 1 不是互为共轭复数，逆命题是假命题；根据否命题与逆命题是互为逆否命题，命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题是假命题；逆否命题是真命题故选：B点本题考查了四种

15、命题的定义及真假关系，考查了共轭复数的定义，熟练掌握四种命题的真假关系是解题的评：关键9 （ 5 分）考 极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数点：专概率与统计题：分方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论析：方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论解解：方法1 ：yi =xi+a，答：E（yi）=E（xi） +E（a）=1+a，方差D（yi）=D（xi） +E（ a） =4方法 2：由题意知yi=xi+a，则 =（ x1+x2+ +x 10+10× a） = （ x1+x2+ +x10） = +a=1+a，方差s2=（ x1+a（ x10） 2=s2=4故选：

16、 A22+a） +（ x2+a（+a）+ +222点评：本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量较简单或者使用均值和方差的公式进行计算y=ax+b ，则 Ey=aEx+b ， Dy=a 2Dx，利用公式比x10+a（+a） =（ x1） +（ x2）+ +10 （ 5 分）考 导数的几何意义；函数解析式的求解及常用方法点：专函数的性质及应用；导数的概念及应用题：分分别求出四个选项中的导数，验证在x= ± 5 处的导数为0 成立与否，即可得出函数的解析式析：解 解：由题意可得出，此三次函数在x= ± 5 处的导数为0，下依次特征寻找正确选项：答： A 选项，导数为，

17、令其为0 解得x= ± 5，故 A 正确；B 选项，导数为，令其为0 解得 x= ± 5 不成立，故B 错；C 选项，导数为，令其为0 解得x= ± 5 不成立，故C 错；D 选项，导数为，令其为0 解得 x= ± 5 不成立，故D 错故 A点 本题考查导数的几何意义，导数几何意义是导数的重要应用评：二、填空题（考生注意：请在15、 16、 17 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题 5 分，满分20 分）11 （ 5 分）考 对数的运算性质点：专计算题题：分化指数式为对数式求得a，代入lgx=a 后由对数的运算性质求得x

18、 的值析：解 解：由 4a=2，得，答：再由lgx=a= ，得 x= 故答案为：点 本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题评：12 （ 5 分）考圆的标准方程点：专直线与圆题：分 利用点（a， b）关于直线y=x±k 的对称点为（ b， a） ，求出圆心，再根据半径求得圆的方程析：解 解：圆心与点（1， 0）关于直线y=x 对称，可得圆心为（0， 1） ，再根据半径等于1，答： 可得所求的圆的方程为x2+（ y 1） 2=1，故答案为：x2+（ y 1） 2=1 点 本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a， b）关于直线y=x± k 的对称点为（

19、b， a） ，属于基础题评：13 （ 5 分）考平面向量共线（平行）的坐标表示点：专平面向量及应用题：分 利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出析：解解： ，向量 =（ sin2， cos） ，=（ cos， 1） ，答：2 sin2 cos =0，2 2sin cos =cos ， 0< < ，cos 0 2tan =1， tan = 故答案为：点 本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题评：14 （ 5 分）考归纳推理点：专归纳法；推理和证明题：分通过正方体、三棱柱、三棱锥的面数F、顶点数V 和棱数 E，得到规律：F+VE=2，进

20、而发现此公式对任析：意凸多面体都成立，由此得到本题的答案解解：凸多面体的面数为F、顶点数为V 和棱数为E，答： 正方体：F=6， V=8， E=12，得F+V E=8+6 12=2； 三棱柱：F=5，V=6，E=9，得F+VE=5+69=2； 三棱锥：F=4，V=4，E=6，得F+VE=4+46=2根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F、顶点数V 和棱数 E 满足如下关系：F+V E=2再通过举四棱锥、六棱柱、 等等，发现上述公式都成立因此归纳出一般结论：F+V E=2故答案为：F+V E=2点本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了评：归

21、纳推理和凸多面体的性质等知识，属于基础题（不等式选做题）15 （ 5 分）考基本不等式点：专不等式的解法及应用题：分 根据柯西不等式（a2+b2） （ c2+d2） （ ac+bd） 2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决析：解 解：由柯西不等式得，答： （ ma+nb） 2 （ m2+n2） （ a2+b2） a2+b2=5， ma+nb=5，（m2+n2） 5的最小值为故答案为：点 本题主要考查了柯西不等式，属于中档题评：（几何证明选做题）16 （ 2014?陕西）考 与圆有关的比例线段点：专选作题；几何证明题：分证明 AEF ACB ，可得，即可得出结论析：解 解：由题意，以BC 为直

22、径的半圆分别交AB 、 AC 于点E、 F，答： AEF= C，EAF= CAB ，AEFACB， BC=6 ， AC=2AE ， EF=3故答案为：3点 本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题评：（坐标系与参数方程选做题）17 （ 2014?陕西）考 点的极坐标和直角坐标的互化点：专 坐标系和参数方程题： 分 析： 解 答：把极坐标化为直角坐标的方法，利用点到直线的距离公式求得结果解：根据极坐标和直角坐标的互化公式x=cos， y=sin，可得点（2，）即（， 1 ） ；直线 sin（ ） =1 即xy=1 ，即xy 2=0，故点（， 1 ）到直线xy 2=0 的距离

23、为=1评：故答案为：1 本题主要考查把极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题6 小题，满分75 分）18 （ 12 分）考 余弦定理；正弦定理点：专三角函数的求值题：分（）由a，b， c 成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变析：形即可得证；（）由a，bc 成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cosB 的最小值解解：（）a，b，c成等差数列，答：2b=a+c，利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC ， sinB=sin （ A+C ）

24、=sin （ A+C ） ， sinA+sinC=2sinB=2sin （ A+C ） ；（）a， b， c 成等比数列， b2=ac， cosB= ，当且仅当a=c 时等号成立， cosB 的最小值为点此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的评：关键19 （ 12 分）考 直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系点：专空间角题：分（）由三视图得到四面体ABCD 的具体形状，然后利用线面平行的性质得到四边形EFGH 的两组对边平析： 行，即可得四边形为平行四边形，再由线面垂直的判断和性质得到AD BC，结合异面直线所成角的概念得到E

25、F EH ，从而证得结论；（）分别以DB， DC， DA 所在直线为x， y， z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，求出及解答：平面 EFGH 的一个法向量，用 与 所成角的余弦值的绝对值得直线AB 与平面 EFGH 夹角 的正弦值（）证明：由三视图可知，四面体ABCD 的底面 BDC 是以 BDC 为直角的等腰直角三角形，且侧棱 AD 底面BDC 如图， AD 平面EFGH，平面ADB 平面EFGH=EF ， AD ? 平面ABD ， AD EF AD 平面EFGH，平面ADC 平面EFGH=GH ， AD?平面ADC， AD GH由平行公理可得EF GH BC平面EFGH ，平面DB

26、C 平面EFGH=FG ， BC? 平面BDC， BC FG BC平面EFGH ，平面ABC 平面EFGH=EH ， BC?平面ABC ， BC EH由平行公理可得FG EH四边形EFGH 为平行四边形又 AD 平面BDC ， BC? 平面 BDC， AD BC，则EF EH四边形EFGH 是矩形；（）解：分别以DB， DC， DA 所在直线为x， y， z轴建立空间直角坐标系，由三视图可知DB=DC=2 ， DA=1 又 E 为 AB 中点， F， G 分别为 DB ， DC 中点 A（0，0，1） ， B（2，0，0） ，F（1，0，0），E（1，0，） ，G（0，1，0）则设平面 EFG

27、H 的一个法向量为由，得，取 y=1 ，得 x=1 =则sin =|cos<> |=点评：本题考查了空间中的直线与直线的位置关系，考查了直线和平面所成的角，训练了利用空间直角坐标系求线面角，解答磁体的关键在于建立正确的空间右手系，是中档题20 （ 12 分）考点：平面向量的基本定理及其意义；平面向量的坐标运算平面向量及应用题： 分 析：+= ，以及各点的坐标，求出点p的坐标，再根据向量模的公式，问题得以解决；， ，再根据=m +n ，表示出m n=y x，最后结合图形，求出m n 的最小值解答：解： （）A（ 1， 1） ， B（ 2， 3） ， C（ 3， 2） ，+= ，x 1

28、 ， y 1） +（ x 2， y 3） +（ x 3，3x 6=0， 3y 6=0x=2， y=2，y 2） =0即 =（ 2， 2）A（1 ，1）， B（2，3），C（3，2），=m +n ，（x， y） =（ m+2n ， 2m+n） x=m+2n ， y=2m+n m n=y x，令 y x=t，由图知，当直线y=x+t 过点B（ 2，3）时，t 取得最大值1，故 m n 的最大值为1点 本题考查了向量的坐标运算，关键在于审清题意，属于中档题，评：21 （ 12 分）考 离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式点：专概率与统计题：分（）分别求出对应的概率，即可求X 的分布列

29、；析： （）分别求出3 季中有 2 季的利润不少于2000 元的概率和3 季中利润不少于2000 元的概率，利用概率相加即可得到结论解解：（）设A表示事件“作物产量为300kg”， B 表示事件“作物市场价格为6 元 /kg”，答：则P（A） =0.5， P（ B） =0.4，利润=产量×市场价格成本， X 的所有值为：500× 10 1000=4000， 500×6 1000=2000，300× 10 1000=2000， 300×6 1000=800，则P（X=4000）=P（）P（）=（10.5）×（ 10.4）=0.3，P（

30、X=2000） =P（）P（B）+P（A）P（）=（10.5）× 4+0.5（10.4）=0.5，P（ X=800） =P（ A） P（ B） =0.5× 0.4=0.2，则 X 的分布列为：X40002000800P0.30.50.2Ci 表示事件“第 i 季利润不少于2000 元 ”（ i=1 ， 2， 3） ，则 C1， C2， C3相互独立，由（）知，P（Ci）=P（X=4000）+P（X=2000） =0.3+0.5=0.8（ i=1 ，2，3），3 季的利润均不少于2000 的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512，23

31、季的利润有2 季不少于2000 的概率为P（C2C3） +P（ C1C3） +P（ C1C2） =3× 0.8 × 0.2=0.384，综上：这3 季中至少有2 季的利润不少于2000 元的概率为：0.512+0.384=0.896 点 本题主要考查随机变量的分布列及其概率的计算，考查学生的计算能力评：（）由（）知上半椭圆C1 的方程为+x2=1（y0），设其方程为y=k（x1） （k0），代入C1的方程，整理得 （k2+4）x22k2x+k24=0（ *） 设点P（xp，yp）， 依题意，可求得点P的坐标为（，） ；同理可得点Q的坐标为（k 1，k2 2k） ，利用? =0，可求得k 的值，从而可得答案解 解： （）在C1、C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（1，0）， B（1，0）是上半椭圆C1 的左右顶点答： 设 C1：的半焦距为c，由= 及 a2 c2=b2=1 得 a=2 a=2， b=1 （）由（）知上半椭圆C1 的方程为+x2=1 （ y 0） 易知，直线l 与 x 轴不重合也不垂直，设其方程为y=k （ x 1 ） （ k 0） ，代入C1 的方程，整理得（ k2+4） x2 2k2x+k2 4=0 （ *）设点P（ xp， y