定积分的几何应用面积和弧长

1、目录 上页 下页 返回 结束 利用元素法解决利用元素法解决: 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分的应用目录 上页 下页 返回 结束 定积分的元素法元素法 一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ? 目录 上页 下页 返回 结束 表示为表示为niiixfU10)(lim一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量所求量 U 是与区间是与区间a , b上的某分布上的某分布 f (x) 有关的有关的2) U 对区间对区间 a , b 具有具有

2、可加性可加性 , 即可通过即可通过“分割分割, 近似代替近似代替, 求和求和, 取极限取极限”baxxfd)(niiixf10)(lim定积分定义定积分定义一个整体量一个整体量 ;目录 上页 下页 返回 结束 二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ?第一步第一步 利用利用“分割分割 , 近似代替近似代替” 求出局部量的求出局部量的微分表达式微分表达式xxfUd)(d第二步第二步 利用利用“ 求和求和 , 取极限取极限 ” 求出整体量的求出整体量的积分表达式积分表达式Uxxfbad)(这种分析方法称为这种分析方法称为元素法元素法 (或或微元分析法微元分析法 )元素元素的几何形状

3、常取为的几何形状常取为: 条条, 带带, 段段, 环环, 扇扇, 片片, 壳壳 等等近似值近似值精确值精确值第二节第二节 ( ) d(0(0)Uf xxdxdx目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 平面图形的面积平面图形的面积二、二、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用目录 上页 下页 返回 结束 ybxa)(2xfy )(1xfy O一、平面图形的面积一、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线设曲线)0()(xfy与直线与直线)(,babxax及及 x 轴所围曲轴所围曲则则xxfAd)(dxxfAbad)(边梯形面积为边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为右

4、下图所示图形面积为 xxfxfAbad)()(21Oxbay)(xfy xxdxxxxdOO目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算两条抛物线计算两条抛物线22,xyxy在第一象限所围在第一象限所围图形的面积图形的面积 . 解解: 由由xy 22xy 得交点得交点) 1, 1 ( , )0,0(2332x01331x31120()dAxxxxyOxy 22xy xxxd) 1 , 1 (1O目录 上页 下页 返回 结束 Oxy224 xyxy例例2. 计算抛物线计算抛物线xy22与直线与直线的面积的面积 . 解解: 由由xy224 xy得交点得交点)4,8( , )2,2()4,8(184

5、 xy所围图形所围图形)2,2(221yy442361y为简便计算为简便计算, 选取选取 y 作积分变量作积分变量,则有则有42122(4)dAyyyyyydO目录 上页 下页 返回 结束 ab例例3. 求椭圆求椭圆12222byax解解: 利用对称性利用对称性 , xyAdd所围图形的面积所围图形的面积 . 有有axyA0d4利用椭圆的参数方程利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得应用定积分换元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当当 a = b 时得圆面积公式时得圆面积公式xxxdxyO目录 上页 下页 返回 结束

6、 yxabOabOyx一般地一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程当曲边梯形的曲边由参数方程 )()(tytx给出时给出时, 按按顺时针方向顺时针方向规定起点和终点的参数值规定起点和终点的参数值21,tt则曲边梯形面积则曲边梯形面积21d)()(tttttA)(1axt对应)(1bxt对应O目录 上页 下页 返回 结束 xya2O例例4. 求由摆线求由摆线)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱与的一拱与 x 轴所围平面图形的面积轴所围平面图形的面积 .解解:ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20

7、(1 cos )(1 cos )dAatattttad)cos1 (2022200(sin )2(sin )fx dxfx dxO目录 上页 下页 返回 结束 2. 极坐标情形极坐标情形,0)(, ,)(C设求由曲线求由曲线)(r及及,射线围成的曲边扇形的面积围成的曲边扇形的面积 .)(r d在区间在区间,上任取小区间上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为所求曲边扇形的面积为d)(212A xOO目录 上页 下页 返回 结束 对应对应 从从 0 变变例例5. 计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线解解:)0(

8、aardd)(212a20A22a331022334a到到 2 所围图形面积所围图形面积 . a2xOO目录 上页 下页 返回 结束 心形线心形线 xa2Ottadcos82042例例6. 计算心形线计算心形线所围图形的所围图形的面积面积 . 解解:)0()cos1 (aardd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用对称性利用对称性)2t令28a43212223aO心形线心形线(外摆线的一种外摆线的一种)xyaO2222yxaxayx即即)cos1 ( ar点击图中任意点点击图中任意点动画开始或暂停动画开始或暂停 尖点尖点:)0,0( 面积面积:223 a 弧长弧长:a8参数

9、的几何意义参数的几何意义目录 上页 下页 返回 结束 2coscos21)2cos1 (21aa2 xyO例例7. 计算心形线计算心形线与圆与圆所围图形的面积所围图形的面积 . 解解: 利用对称性利用对称性 ,)0()cos1 (aar所求面积所求面积ar d)cos1 (2122a2221aA 22221aad)2cos21cos223(2432122aa22245aa 2目录 上页 下页 返回 结束 a2sin2a例例8. 求双纽线求双纽线所围图形面积所围图形面积 . 解解: 利用对称性利用对称性 ,2cos22ard2cos212a404A402a)2(d2cos0则所求面积为则所求面积

10、为42a思考思考: 用定积分表示该双纽线与圆用定积分表示该双纽线与圆sin2ar 所围公共部分的面积所围公共部分的面积 .2Adsin2026ad2cos21462a4答案答案:4yxOO目录 上页 下页 返回 结束 二、平面曲线的弧长二、平面曲线的弧长定义定义: 若在弧若在弧 AB 上任意作内接折线上任意作内接折线 ,0M1iMiMnM当折线段的最大当折线段的最大边长边长 0 时时, 折线的长度之和趋向于一个确定的极限折线的长度之和趋向于一个确定的极限 ,则称此极限为曲线弧则称此极限为曲线弧 AB 的弧的弧长长 ,即即并称此曲线弧为可求长的并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理: 任意光

11、滑曲线弧都是可求长的任意光滑曲线弧都是可求长的.( (证明略证明略) )ni 10limsOAByx目录 上页 下页 返回 结束 sdabyxO(1) 曲线弧由直角坐标方程给出曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素弧长元素(弧微分弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧长因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs目录 上页 下页 返回 结束 (2) 曲线弧由参数方程给出:)()()(ttytx弧长元素(弧微分) :因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs目录 上页 下页 返回 结束 (3) 曲线弧由

12、极坐标方程给出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分) :(自己验证)目录 上页 下页 返回 结束 )ch(cxccxccsh1例例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成悬链线 .求这一段弧长 . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22eechxxx )(chx2eeshxxx )(sh xxshxchcxbbOy下垂悬链线方程为目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 计算摆线)cos1 ()s

13、in(tayttax)0( a一拱)20( t的弧长 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyOa2目录 上页 下页 返回 结束 d222aa例例11. 求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长 . 解解:)0( aard)()(d22rrsd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aara2Oar 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程

14、极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小21d)()(tttttAd)(212A目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长及边界长 s .提示提示: 交点为交点为, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312yx 032 yxyxO13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧线段部分弧线段部分直线段部分直线段部分)52ln()376ln(4155373s以以 x 为积分变量为积

15、分变量 , 则要分则要分两段积分两段积分, 故以故以 y 为积分变量为积分变量. 目录 上页 下页 返回 结束 解：解：2. 求曲线求曲线所围图形的面积所围图形的面积.1lnlnyx显然显然1ln,1lnyxOyxe1e1e11eee,ee11yxxln,ln x,ln xe1 x1e1xyln,ln y,ln ye1 y1e1y1e1x1e1y,e1xy中曲线为面积为面积为同理其他同理其他.e1yxxyeexy exyS1e1dx)e1(exx e1dx)ee(xx21e21e又又故在区域故在区域目录 上页 下页 返回 结束 分析曲线特点分析曲线特点3. ) 1( xxyOyx解解:41)(221 x1A) 1( xxy与与 x 轴所围面积轴所围面积1101d) 1(xxxA61,0时2A12d)