等腰三角形的主要性质_第1页
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文档简介

1、等腰三角形的性质等腰三角形的主要性质是等边对等角及“三线合一定理”即“等腰三角形顶角的平分线是底边上的中线也是底边上的高（三线的顺序可以互换）”；反之也成立，前者为等角对等边，后者为：如果一个三角形三线中有二线重合，我们可以证明它是等腰三角形。有个角是60°的等腰三角形是等边三角形，这个角可以是顶角也可以是底角。典型范例例1：在ABC中，12，BDCD，求证：ABAC分析：要证ABAC，若能证AB和AC作在三角形ABD和ACD全等就可以了，但利用已知条件不能直接证明（因为SSA不成立），此时想到添加辅助线，延长中线AD到E点，使得DEAD，易证ABDECD（SAS），从而13，ABE

2、C，又12，故23，得到ACEC从而ABAC。评注：本题实质上就是要证明有二线（角平分线和中线）重合的三角形是等腰三角形这一结论，至于其他二线（高和中线或高和角平分线）重合的证明比较简单，错用的添加辅助线方法是常用的延长中线的方法。例2：在ABC和BDE中，已知ABCDBERt，ABBE，ACDE，求证：BOC3A分析：由于BOC1A，如果12A，问题得证，考虑到1CBD，利用已知条件可证得RtABCRtEBD，从而BCBD且AE为了证得CBD2A，利用“三线合一定理”作CBD的平分线BF，则2312CBD，且BFCD，在RtBDE中，BF是高，不难得到3E。BOCA1ACBDA23A2EA2

3、A3A。评注：本例属于倍角问题，一般说来难度较大，添辅助线的方法不一，还可以用作平行线或垂线等添辅助线的方法，关键在于转换和制造倍角关系。例3：已知BD为等腰直角三角形ABC的腰AC的中线，CEBD且分别交BD，斜边AB于E、F，连接DF，求证：ADFCDB。分析一：欲证ADFCDB，从图形上看这两个角所在的两个三角形不全等，且很难转化，这时应考虑添加辅助线，ACBC，12，所以过A点作AGBC交CF的延长线于G，易只ACGCBD，则CDBAGC，再证ADFAGF，只须证ADFAGF就可以了。分析二：考虑到ABC为等腰直角三角形，可过点C作CHAB交AB于H，交BD于G，要证ADFCDB，只须证ADFCDG，由于DCGDAF45°，ADCD，只须证AFCG就可以了，为此由RtCHFRtBHG（12，CHBH），或ACFCBG问题得以解决。评注：比较以上两种证法，前者是寻求一

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