线性变换的定义0001

1、第七章 线性变换 1线性变换的定义上一章我们看到，数域 P上任意一个n维线性空间都与 Pn同构，因之，有限维线性 空间的同构可以认为是完全清楚了线性空间是某一类事物从量的方面的一个抽象我们认识客观事物，固然要弄清它们单个的和总体的性质，但是更重要的是研究它们之间的各种各样的联系在线性空间中，事物之间的联系就反映为线性空间的映射线性空间到自身的映射通常称为的一个变换这一章中要讨论的线性变换就是最简单的，同时也可以认为是最根本的 一种变换，正如线性函数是最简单的和最根本的函数一样线性变换是代数的一个主要研究对象下面如果不特别声明，所考虑的都是某一固定的数域P上的线性空间定义1线性空间V的一个变换

2、A称为线性变换，如果对于 V中的任意的元素:-，:和数域中任意数k ,都有A二=A二心Ak： 二 kA： 1以后我们一般用黑体答谢拉丁字A , B,代表V的变换，Ak:J或AC代表元素在变换下的象定义中等式1所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与数量乘法问题1:线性变换与线性同构有什么异同？下面我们来看几个简单的例子，它们说明线性变换这个概念是有丰富的内容的例1平面上的向量构成实数域上的二维线性空间把平面围绕坐标原点按反时针方向旋转二角，就是一个线性变换，我们用1=表示。如果平面上一个向量:在直角坐标系下的坐标是x, y，那么象I/的坐标，即旋转 二角之后的坐标是x：y按照公式COS

3、T-sin 日isin。cos9 丿来计算的同样地，空间中绕轴的旋转也是一个线性变换例2设是几何空间中一固定的非零向量，把每个向量变到它在:上的内映射的变换也是一个线性变换，以|丨.表示它用公式表示就是a 匕，吓这里c,表示内积例3线性空间V中的恒等变换或称单位变换E ,即Ea=a J以及零变换0,即0a =0aV都是线性变换例4 设V是数域P上的线性空间，k是P中某个数，定义V的变换如下：一；k：,八 V不难证明，这是一个线性变换，称为由数k决定的数乘变换，可用k表示.显然，当k=1 时，我们便得恒等变换，当k=0时，便得零变换例5在线性空间Px或者Pxn中，求微商是一个线性变换这个变换通常

4、用D代表， 即 kr 1 k2： 2 III kJr 二 0 ,Df X = f x例6定义在闭区间a,b上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以Ca,b代表在这个空间中，变换xJfx = a ftdt是一线性变换例7在线性空间v中，定义；a =兔，-a三V.其中a0是v中一个固定向量，试问 是 否为线性变换？解当玄=0时3：，1匸V.那么有二C = O二 C = P，及二：+：=： 0.但匚：亠 ：=2： 0 =匚黒亠.因此当 兔=0时，a不是线性变换。假设 a0 =0那么有匚_：“- ；： ；：= 0.k；：二;k： =0.故当0=0时,6是线性变换此时6为零变换。不难直接从定义推出线性

5、变换的以下简单性质：1.设A是V的线性变换，那么 A0 =0,A- - AC .这是因为A0 = A0： =0A： =0,A-： =A-1： =-1A： =-A：.2. 线性变换保持线性组合与线性关系式不变.换句话说，如果是JH/ r的线性组合：一匕：1 k 2“ r那么经过线性变换 A之后，A:是 Ar, A2,IH , A r同样的线性组合：A -kiAC l k2A： 2川 krAC r又如果: 1,2川，r之间有一线性关系式ki i k2： 2 川 kr： r =0那么它们的象之间也有同样的关系kiAC i k2A： 2川 krAC r =0以上两点，根据定义不难验证，由此即得3. 线性变换把线性性相关的向量组变成线性相关的向量组。但应该注意，3的逆是不对的，线性变换可能把线性无关的向量组也变成线性相关的向量组 例如零变换就是这样。例8设 冷2,川S及 1,2川，是线性空间 V中两组等价的向量组，又二-LV，试证：二冷,二2,川,二：飞与二：1,二：2,川，二Cs,也是两个等价的向量组。证明 因为 宀，2,|宀与 52川，气可以互相线性表出。记s冷=ki 焜jkis气=為ki：ji -1,2j|s那么由线性变换性质 可知：j二s二：i =k&Ci ki2；：2川 kis；s = jji =1,2,|,sj 二上式说明了向量组 匚：1,匚：2,川，