考研高数讲义 高数第七章上课资料

1、持之以恒，厚积薄发 第七章 常微分方程 91第一节 基本概念微分方程:含有未知函数、未知函数的导函数与自变量之间关系的方程阶:未知函数导函数的最高阶数称为该微分方程的阶常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程阶方程的一般形式为 标准形式为 解：若函数代入或，使之成为恒等式，则称函数为微分方程或的解通解：如果解的表达式含有个数与方程阶数相等的独立常数，则称其为通解或一般解特解：如果解的表达式中不含有独立常数，则称其为特解初始条件：可以确定通解中任意常数的条件称为定解条件。最常见的定解条件是初始条件。阶方程或的初始条件一般为，其中，是事先给定的。初值问题：阶方程和它的初始条件组成一个定解问题：称为

2、阶微分方程的初值问题。第二节 一阶微分方程的解法一、变量可分离方程形式：解法：两边同除以，将变量分离，再求积分【例1】（94二）微分方程的通解为 .【答案】（为任意常数）【例2】（06一二）微分方程的通解是 .【答案】（为任意常数）.二、齐次微分方程形式：解法：令，则，或（变量可分离方程）【例3】（93一）求微分方程满足初始条件的特解.【答案】【例4】（87二）求微分方程满足条件的特解【答案】三、一阶线性微分方程形式：通解公式：，其中C是任意常数， 不定积分只选一个原函数。【例5】（90一）求微分方程满足条件的特解.【答案】【例6】（92一）微分方程的通解为 .【答案】四、伯努利（Bernou

3、lli）方程（数一）形式：解法：令，方程两边同乘，化为一阶线性方程即可求出通解。【例7】 求微分方程的通解 【答案】【例8】 解方程【答案】第三节 可降阶的微分方程（数一、二）一、类型一形式： 解法：进行次积分，得到 【例1】 求的通解。【答案】二、类型二形式：（不显含）解法：令，则，原方程化为求解【例2】（07二）求微分方程满足初始条件的特解.【答案】3、 类型三形式：（不显含）解法：令，则，原方程化为求解【例3】（02一二）微分方程满足初始条件的特解是 .【答案】第四节 高阶线性微分方程一、线性微分方程解的性质及解的结构定理设方程 (1) 若,是齐次方程的特解，则仍是齐次方程的解.(2)

4、若,是非齐次方程的特解，则是齐次方程的解.(3)若是非齐次方程的特解，是齐次方程的解，则是非齐次方程的解.(4)若,是齐次方程的两个线性无关解，是非齐次方程的特解，则齐次方程的通解为；非齐次方程的通解为。(5)（叠加原理）设与分别是方程与的特解，则是方程的特解.注：上述结论对于阶线性方程 及其对应的齐次方程 仍然成立.【例1】（06三）设非齐次线性微分方程与两个不同的解，为任意常数，则该方程的通解是（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】（B）【例2】（89一）设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解，是任意常数，则该非齐次方程的通解是（A）（B）.（C）.（D）.【答案】（D）二、二阶常

5、系数线性微分方程形式： 解法：（一）先解对应齐次方程的通解：形式： 步骤：特征方程： (1) 若特征方程有相异实根,则通解为 ；(2) 若特征方程有重根,则通解为 ；(3)若特征方程有共轭复根,则通解为 【例3】（96二）微分方程的通解为 .【答案】【例4】（94三）设函数满足条件，求广义积分.【答案】1【例5】（01一）设（为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 .【答案】（二）根据非齐次项的形式再求的一个特解.（1），其中为的次多项式（下同）.设特解形式为其中为待定的的次多项式；（2） 设特解形式为其中为待定的的次多项式；【例6】（90一）求微分方程的通解（一般解）.

6、【答案】【例7】（92一）求微分方程的通解.【答案】【例8】（96一）微分方程的通解为 .【答案】【例9】（87二）求微分方程的通解.【答案】（3）或设特解形式为其中为待定常数.（4）或设特解形式为其中为待定的的次多项式。【例10】（94二）求微分方程的通解，其中常数.【答案】当时， 当时，【例11】（91二）求微分方程的通解.【答案】三、高阶常系数齐次微分方程（数一，数二）二阶常系数齐次微分方程的解的形式可以推广到阶常系数齐次微分方程的情形一般形式： （*）特征方程为：其特征根中：若为单根，则（*）的无关解中有：若为重根，则（*）的无关解中有：若为单根，则（*）的无关解中有：若为重根，则（*

7、）的无关解中有：【例12】 求解下列微分方程（1） （2）【答案】（1） （2）【例13】 在下列微分方程中，以（，为任意常数）为通解的是（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】D四、欧拉（Euler）方程（数一）形式：解法：令，有，原方程可化为阶常系数线性方程。特别地，令，二阶欧拉方程化为二阶常系数线性方程。【例14】（04一）欧拉方程（）的通解为？【答案】【例15】求解方程【答案】第五节 一阶差分方程（数三）一、差分的概念一阶差分：给定函数，其自变量取值为等间隔整数值，即，则在时刻的一阶差分定义为二阶差分：一阶差分的差分称为的二阶差分，记为，即二、一阶常系数线性差分方程形式：其中为非零常

8、数，为已知函数。常系数一阶线性齐次差分方程:一阶常系数线性差分方程的通解为：，其中为特解。若，则待定特解具有下列形式：【例1】（97三）差分方程的通解为 .【答案】【例2】（98三）差分方程的通解为 【答案】【例3】（01三）某公司每年的工资总额在比上一年增加20的基础上在追加2百万元。若以表示第年的工资总额（单位为百万元），则满足的差分方程为 【答案】本章强化练习1、 一阶常微分方程的求解1、（88二）求微分方程的通解（一般解）.答案:2、 （89二）求微分方程满足的解.答案：3、（08一三）微分方程满足条件的解是 . 答案：4、（99二）求初值问题的解.答案：5、（08二）设函数由参数方程

9、确定，其中是初值问题的解.求.答案：2、 可降解微分方程的求解1、（00一）微分方程的通解为 .答案：2、求满足初始条件，的特解.答案：3、 二阶（高阶）常系数常微分方程的求解1、（89二）微分方程的一个特解应具有形式（式中为常数）（A）. （B）. （C）. （D）.答案：（B）2、（99一二）的通解为 .答案：（为任意常数）3、（07一二）二阶常系数非齐次微分方程的通解为_.答案：4、（00二）具有特解的3阶常系数齐次线性微分方程是（A） （B）（C） （D）答案：（B）5、（06二）函数满足的一个微分方程是（ ）（A）（B）（C）（D） 答案：（D）6、（00三）求微分方程满足条件，的解

10、.答案：4、 差分方程的求解5、 利用变换转化微分方程1、（03一二）设函数在内具有二阶导数，且是的反函数.（）试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程；()求变换后的微分方程满足初始条件的解.答案：（）；()2、（98二）利用代换将方程 化简，并求出原方程的通解.答案：，通解为3、（05二）用变量代换化简微分方程并求其满足的特解.答案：6、 微分方程的应用1、（98一二）已知函数在任意点处的增量且当时，是的高阶无穷小，则等于（ ） 答案：（D）2、（99一二）设函数二阶可导且过曲线上任意一点作该曲线的切线及轴的垂线，上述两直线与轴所围成的三角形的面积记为，区间上以为曲边的曲边梯形面积记为并设

11、恒为1，求曲线的方程.答案：3、（97二）设曲线L的极坐标方程为为L上任一点，为L上一定点.若极径和与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上两点间弧长值的一半，求曲线L的方程.答案：4、（97二）设函数在闭区间上连续，在开区间内大于零，并满足（为常数），又曲线与所围成的图形的面积值为2，求函数，并问为何值时，图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.答案：，当时，体积最小，最小值为5、（01二）设是一条平面曲线，其上任意一点到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在轴上的截距，且经过点（）试求曲线的方程；（）求位于第一象限部分的一条切线，使该切线与以及两坐标轴所围成图形的面积最小.答案：（）；（）6、

12、（02二）求微分方程的一个解，使得由曲线与直线以及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周的旋转体体积最小. 答案：7、（03二）设位于第一象限的曲线过点，其上任一点处的法 线与轴的交点为且线段被轴平分.（）求曲线的方程；（）已知曲线在上的弧长为试用表示曲线的弧长答案：（）；（）8、（05二）如右图，和分别是和的图像，过点的曲线是一单调增函数的图像.过上任一点分别作垂直于轴和轴的直线和记，与所围图形的面积为；，与所围图形的面积为如果总有求曲线的方程答案：9、（07二）设是区间上单调、可导的函数，且满足，其中是的反函数，求.答案：10、（08二）设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且.对任意的，直线，曲

13、线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式.答案：11、（98三）设函数在上连续.若由曲线，直线，与轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体体积为。试求所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件的解.答案：，12、（99三）设有微分方程，其中试求在内的连续函数，使之在和内都满足所给方程，且满足条件.答案：13、（06三）在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于（常数）.（）求的方程；（）当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值.答案：（）的方程：；（）14、 （03二）有一平底容器，其内侧壁是由曲线绕轴旋转而成的旋转曲面（如右图），容器的底面圆的半径为，根据设计要求，当以的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.（）根据时刻液面的面积，写出与之间的关系式；（）求曲线的方程.（注：