等腰三角形存在性问题

1、1等腰三角形存在性问题等腰三角形存在性问题1、如图，在平面直角坐标系中，直角三角形 AOB 的顶点 A、B 分别落在坐标轴上O 为原点，点 A 的坐标为（6，0） ，点 B 的坐标为（0，8） 动点 M 从点 O 出发沿 OA 向终点 A以每秒 1 个单位的速度运动，同时动点 N 从点 A 出发，沿 AB 向终点 B 以每秒 个单位的速度运动当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点 M、N 运动的时间为t 秒（t0） （1）当 t=3 秒时直接写出点 N 的坐标，并求出经过 O、A、N 三点的抛物线的解析式；（2）在此运动的过程中，MNA 的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大

2、值；若不存在，请说明理由；（3）当 t 为何值时，MNA 是一个等腰三角形？2、 （2012 山东山东临沂临沂）如图，点 A 在 x 轴上，OA=4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至OB 的位置（1）求点 B 的坐标； （2）求经过点 AO、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由23、在平面直角坐标系xoy中， 一块含 60角的三角板作如图摆放，斜边 AB 在 x 轴上，直角顶点 C 在 y 轴正半轴上，已知点 A（1，0）（1）请直接写出点 B、C 的坐标：B

3、（，）、C（，）；并求经过 A、B、C 三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板 DEF（其中EDF=90，DEF=60），把顶点 E 放在线段 AB 上 （点 E 是不与 A、 B 两点重合的动点） ， 并使 ED 所在直线经过点 C此时，EF 所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点 M设 AE=x，当 x 为何值时，OCEOBC；在的条件下探究： 抛物线的对称轴上是否存在点 P 使PEM 是等腰三角形， 若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由4、如图，直线 l1经过点 A（1，0），直线 l2经过点 B(3，0), l1、l2均为与 y 轴交于点 C(0，

4、3)，抛物线2y=a x+bx+c(a0)经过 A、B、C 三点。（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴依次与x轴交于点 D、与 l2交于点 E、与抛物线交于点 F、与 l1交于点 G。求证：DE=EF=F G;(3)若 l1l2于 y 轴上的 C 点处，点 P 为抛物线上一动点，要使PCG 为等腰三角形，请写出符合条件的点 P 的坐标，并简述理由。备用图3菱形存在性问题菱形存在性问题1如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 OABC 的边 OC、OA 分别与 x 轴、y 轴重合，ABOC，AOC=90，BCO=45，BC=12 2，点 C 的坐标为（-18，0）（1）求点 B 的坐标；

5、（2）若直线 DE 交梯形对角线 BO 于点 D，交 y 轴于点 E，且 OE=4，OD=2BD，求直线DE 的解析式；（3）若点 P 是（2）中直线 DE 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点 Q，使以 O、E、P、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由2已知抛物线 y=41x2+ 1 (如图所示)(1)填空：抛物线的顶点坐标是(_，_)，对称轴是_；(2)已知 y 轴上一点 A(0，2)，点 P 在抛物线上，过点 P 作 PBx 轴，垂足为 B若PAB是等边三角形，求点 P 的坐标；(3)在(2)的条件下，点 M 在直线AP 上在平面内是否存在点

6、N，使四边形 OAMN 为菱形?若存在，直接写出所有满足条件的点 N 的坐标；若不存在，请说明理由43.如图，已知抛物线经过原点 O 和 x 轴上一点 A（4，0），抛物线顶点为 E，它的对称轴与x 轴交于点 D.直线y=2x 1经过抛物线上一点 B（-2，m）且与 y 轴交于点 C，与抛物线的对称轴交于点 F.（1）求 m 的值及该抛物线对应的解析式；（2）P(x,y)是抛物线上的一点，若 SADP=SADC,求出所有符合条件的点 P 的坐标；（3）点 Q 是平面内任意一点，点 M 从点 F 出发，沿对称轴向上以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，设点 M 的运动时间为 t 秒，是否能使以

7、Q、A、E、M 四点为顶点的四边形是菱形.若能，请直接写出点 M 的运动时间 t 的值；若不能，请说明理由.4如图，二次函数 y= x2x+c 的图象与 x 轴分别交于 A、B 两点，顶点 M 关于 x 轴的对称点是 M（1）若 A（4，0） ，求二次函数的关系式；（2）在（1）的条件下，求四边形 AMBM的面积；（3）是否存在抛物线 y= x2x+c，使得四边形 AMBM为正方形？若存在，请求出此抛物线的函数关系式；若不存在，请说明理由5直角三角形存在性问题直角三角形存在性问题1、如图，对称轴为3x 的抛物线22yaxx与x轴相交于点B、O.(1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；(2)

8、连结 AB，把 AB 所在的直线平移，使它经过原点 O，得到直线l.点 P 是l上一动点.设以点 A、B、O、P 为顶点的四边形面积为 S，点 P 的横坐标为t，当 0S18 时，求t的取值范围；(3)在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使OPQ为直角三角形且 OP 为直角边.若存在,直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由.2. （2012 山东枣庄山东枣庄 10 分）分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点 C 为 (1，0) 如图所示，B 点在抛物线 y12x212x2 图象上，过点 B 作 BDx 轴，垂足为 D，且

9、B 点横坐标为3（1）求证：BDCCOA；（2）求 BC 所在直线的函数关系式；（3） 抛物线的对称轴上是否存在点 P， 使ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由63、 （2012 内蒙古内蒙古）如图，抛物线2yxbx5与 x 轴交于 AB 两点（点 A 在点 B 的左侧） ， 与 y 轴交于点 C， 点 C 与点 F 关于抛物线的对称轴对称， 直线 AF 交 y 轴于点 E， |OC|：|OA|=5：1（1）求抛物线的解析式；（2）求直线 AF 的解析式；（3）在直线 AF 上是否存在点 P，使CFP 是直角三角形？若存在，求出 P 点

10、坐标；若不存在，说明理由4、如图，在平面直角坐标系中，直线123yx 交x轴于点P，交y轴于点A，抛物线212yxbxc 的图象过点( 1,0)E ，并与直线相交于A、B两点.求抛物线的解析式（关系式）；过点A作ACAB交x轴于点C，求点C的坐标；除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.7答答案案等腰三角形1、解： （1）N（3，4） 。A（6，0）可设经过 O、 A、 N 三点的抛物线的解析式为： y=ax （x6） ， 则将 N（3，4）代入得4=3a（36） ，解得 a=49。抛物线的解析式：2448yxx6x +x993

11、 （）。（2）存在。过点 N 作 NCOA 于 C，由题意，AN=53t，AM=OAOM=6t，NC=NAsinBAO=544t=t353。2MNA1142SAM NC6ttt362233 （）（）。MNA 的面积有最大值，且最大值为 6。（3）在 RtNCA 中，AN=53t，NC=ANsinBAO=544t=t353，AC=ANcosBAO=t。OC=OAAC=6t。N（6t，4t3） 。222452NM6tt+tt24t+3639 。又 AM=6t 且 0t6，当 MN=AN 时，2525t24t+36=t93，即 t28t+12=0，解得 t1=2，t2=6（舍去） 。当 MN=MA

12、时，252t24t+36=6t9， 即243t12t=09， 解得 t1=0 （舍去） ，t2=10843。当 AM=AN 时，6t=53t，即 t=94。综上所述，当 t 的值取 2 或10843或94时，MAN 是等腰三角形。2、 【答案】【答案】解： （1）如图，过 B 点作 BCx 轴，垂足为 C，则BCO=90。AOB=120，BOC=60。又OA=OB=4，OC=12OB=124=2，BC=OBsin60=34=2 32。点 B 的坐标为（2，2 3） 。（2）抛物线过原点 O 和点 AB，可设抛物线解析式为 y=ax2+bx，将 A（4，0） ，B（2，2 3）代入，得816a+

13、4b=04a2b=2 3，解得3a=62 3b=3。此抛物线的解析式为32 3y=x+63。y=2 3不符合题意，舍去。点 P 的坐标为（2，2 3） 。若 OB=PB，则 42+|y+2 3|2=42，解得 y=2 3。点 P 的坐标为（2，2 3） 。若 OP=BP，则 22+|y|2=42+|y+2 3|2，解得 y=2 3。点 P 的坐标为（2，2 3） 。综上所述，符合条件的点 P 只有一个，其坐标为（2，2 3） 。3、（1）B（3，0），C（0，3）解：法 1：设过 A、B、C 三点的抛物线为12(0)ya xxxxa，则A（1，0）B（3，0）13ya xx又C（0，3）在抛物

14、线上 30 1 03a33a 3133yxx 即232 3333yxx （2）解：当OCEOBC 时，则OCOEOBOC3OC ，OE=AEAO=1x，OB=33133x2x 当2x 时，OCEOBC（2）解：存在点 P. 理由如下：由可知2x OE=1E（1，0） 此时，CAE 为等边三角形AEC=A=60又CEM=60 MEB=60点 C 与点 M 关于抛物线的对称轴912bxa 对称.C（0，3）M2, 3过 M 作 MNx轴于点 N（2，0）MN=3 EN=1EM=222ENEM若PEM 为等腰三角形,则:)当 EP=EM 时,EM=2，且点 P 在直线1x 上P(1，2)或 P(1，

15、2)）当 EM=PM 时,点 M 在 EP 的垂直平分线上P(1，23)） 当PE=PM时， 点P是线段EM的垂直平分线与直线1x 的交点P(1，2 33)综上所述，存在 P 点坐标为（1，2）或（1，2）或（1，2 3）或（1，2 33）时，EPM 为等腰三角形4、【答案答案】解：（1）抛物线2y=ax +bx+c(a0)经过 A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点，abc09a3bc0c3 ， 解 得3a323b3c3 。 抛 物 线 的 解 析 式 为 ：232 3y=x +x333（2）证明：设直线 l1的解析式为 y=kx+b，由直线 l1经过 A（1，0），C（0，3），得k

16、b0b3 ， 解得k3b3 ， 直线 l1的解析式为： y=-3x3。直线 l2经过 B（3，0），C（0，3）两点，同理可求得直线 l2解析式为：y=33x3。抛物线2232 334 3y=x +x3=x13333，对称轴为 x=1，D（1，0），顶点坐标为 F（1，4 33）。点 E 为 x=1 与直线 l2：y=33x3的交点，令 x=1，得 y=2 33，E（1，2 33）。点 G 为 x=1 与直线 l1：y=-3x3的交点，令 x=1，得 y=2 3，G（1，2 3）。10各点坐标为：D（1，0），E（1，2 33），F（1，4 33），G（1，2 3），它们均位于对称轴 x=1

17、上。DE=EF=FG=2 33。（3）如图，过 C 点作 C 关于对称轴 x=1 的对称点 P1，CP1交对称轴于 H 点，连接 CF，PG。PCG 为等腰三角形，有三种情况：当 CG=PG 时，如图，由抛物线的对称性可知，此时 P1满足 P1G=CG。C（0，3），对称轴 x=1，P1（2，3）。当 CG=PC 时，此时 P 点在抛物线上，且 CP 的长度等于 CG。如图，C（1，3），H 点在 x=1 上，H（1，3）。在 RtCHG 中，CH=1，HG=|yGyH|=|2 3（3）|=3，由勾股定理得：22CG132。PC=2如图，CP1=2，此时与中情形重合。又 RtOAC 中，22A

18、C132，点 A 满足 PC=2 的条件，但点 A、C、G 在同一条直线上，所以不能构成等腰三角形。当 PC=PG 时，此时 P 点位于线段 CG 的垂直平分线上.l1l2，ECG 为直角三角形。由（2）可知，EF=FG，即 F 为斜边 EG 的中点。CF=FG，F 为满足条件的 P 点，P2（1，4 33） 。又CG3cos CGEEG2，CGE=30。HCG=60。又 P1C=CG，P1CG 为等边三角形。P1点也在 CG 的垂直平分线上，此种情形与重合。综上所述，P 点的坐标为 P1（2，3）或 P2（1，4 33）。11菱形答案菱形答案1、解：（1）过点 B 作 BFx 轴于 F在 R

19、tBCF 中BCO=45，BC=6 2CF=BF=12C 的坐标为（-18，0）AB=OF=6点 B 的坐标为（-6，12）（2）过点 D 作 DGy 轴于点 GABDGODGOBA21 世纪教育网23DGODOGABOBOA，AB=6，OA=12DG=4，OG=8D（-4，8），E（0，4）设直线 DE 解析式为 y=kx+b（k0）484kbb14kb 直线 DE 解析式为4yx （3）结论：存在设直线 y=-x+4 分别与 x 轴、y 轴交于点 E、点 F，则 E（0，4），F（4，0），OE=OF=4，4 2EF 如答图 2 所示，有四个菱形满足题意菱形 OEP1Q1， 此时 OE 为

20、菱形一边 则有 P1E=P1Q1=OE=4， P1F=EF-P1E=4 24易知P1NF 为等腰直角三角形，P1N=NF=1242 22PF ；设 P1Q1交 x 轴于点 N，则 NQ1=P1Q1-P1N=4(42 2)2 2，又 ON=OF-NF=2 2，Q1(2 2, 2 2)；菱形OEP2Q2， 此时OE为菱形一边 此时Q2与Q1关于原点对称， Q2( 2 2,2 2)；菱形 OEQ3P3，此时 OE 为菱形一边此时 P3与点 F 重合，菱形 OEQ3P3为正方形，Q3（4，4）；菱形 OP4EQ4， 此时 OE 为菱形对角线 由菱形性质可知， P4Q4为 OE 的垂直平分线，由 OE=

21、4，得 P4纵坐标为 2，代入直线解析式 y=-x+4 得横坐标为 2，则 P4（2，2），由菱形性质可知，P4、Q4关于 OE 或 x 轴对称，Q4（-2，2）综上所述，存在点 Q，使以 O、E、P、Q 为顶点的四边形是菱形；点 Q 的坐标为：Q1(2 2, 2 2)，Q2( 2 2,2 2)，Q3（4，4），Q4（-2，2）2、解：(1)顶点坐标是(0，1)，对称轴是 y 轴(或 x=O)(2) PAB 是等边三角形， ABO=90o-60o=30o AB=20A=4PB=4解法一：把 y=4 代人 y=41x2+ 1，得x=23.P1(23，4)，P2(-23，4)(3)存在.N1(3，

22、1)，N2(-3，-1)，N3(-3，1)，N4(3，-1).3、解：（1）点 B(-2,m)在直线12 xy上m=3即 B（-2，3）1 分又抛物线经过原点 O设抛物线的解析式为bxaxy2点 B（-2，3），A（4，0）在抛物线上120416324baba解得：141ba设抛物线的解析式为xxy241 4 分（2）),(yxP是抛物线上的一点)41,(2xxxP若ADCADPSSOCADSADC21yADSADP21 6 分又点 C 是直线12 xy与y轴交点C(0,1)OC=11412 xx，即1412 xx或1412 xx解得：2,222,2224321xxxx点 P 的坐标为) 1,

23、 2(),1 ,222(),1 ,222(321PPP 10 分（3）存在：,541t, 62t,543t,2134t4、解： （1）A（4，0）在二次函数 y= x2x+c 的图象上， （4）2（4）+c=0，解得 c=12，二次函数的关系式为 y= x2x12；（2）y= x2x12，= （x22x+1） 12，= （x1）2，顶点 M 的坐标为（1，） ，A（4，0） ，对称轴为 x=1，点 B 的坐标为（6，0） ，AB=6（4）=6+4=10，SABM= 10=，顶点 M 关于 x 轴的对称点是 M，S四边形AMBM=2SABM=2=125；（3）存在抛物线 y= x2x ，使得四边

24、形 AMBM为正方形理由如下：令 y=0，则 x2x+c=0，设点 AB 的坐标分别为 A（x1，0）B（x2，0） ，则 x1+x2=2，x1x2= =2c，所以，AB=，点 M 的纵坐标为：=，13顶点 M 关于 x 轴的对称点是 M，四边形 AMBM为正方形，=2，整理得，4c2+4c3=0，解得 c1= ，c2= ，又抛物线与 x 轴有两个交点，=b24ac=（1）24 c0，解得 c ，c 的值为 ，故，存在抛物线 y= x2x ，使得四边形 AMBM为正方形直角三角形直角三角形1、解：（1）点 B 与 O（0，0）关于 x=3 对称,点 B 坐标为（6，0）.将点 B 坐标代入22

25、yaxx得： 36a+12=0,a=13.抛物线解析式为2123yxx .当x=3 时，2132 333y ,顶点 A 坐标为（3，3）14（2）设直线 AB 解析式为 y=kx+b.A(3,3),B(6,0),6033kbkb解 得16kb ,6yx .直线lAB 且过点 O,直线l解析式为yx .点p是l上一动点且横坐标为t,点p坐标为（, tt）当p在 第 四 象 限 时 （ t 0 ） ，AOBOBPSSS=1263+126t=9+3t.0S18,09+3t18,-3t3.又t0,0t3.5 分当p在第二象限时（t0）,作PMx轴于M， 设对称轴与x轴交点为N. 则ANBPMOANMP

26、22+S-S111=3+(-t) (3)3 3()()222191(3)222SSttttt 梯形=-3t+9.0S18,0-3t+918,-3t3.又t0,-3t0.6 分t 的取值范围是-3t0 或 0t3.(3)存在，点Q坐标为（3，3）或（6，0）或（-3，-9）.9 分2、【答案】【答案】解：（1）证明：BCDACO90，ACOOAC90，BCDOAC。ABC 为等腰直角三角形 ，BCAC。在BDC 和COA 中，BDCCOA90，BCDOAC，BCAC，BDCCOA（AAS）。（2）C 点坐标为 (1，0)，BDCO1。B 点横坐标为3，B 点坐标为 (3，1)。设 BC 所在直线

27、的函数关系式为 ykxb，kb03kb1，解得k12b12。BC 所在直线的函数关系式为 y12x1512。由题意可得：y12x2x12，解得，x12y94。P2（12，94）。P 点坐标分别为 P1（12，14）、P2（12，94）。3、16（3）存在。理由如下：当FCP=90时，点 P 与点 E 重合，点 E 是直线 y=x1 与 y 轴的交点，E（0，1） 。P（0，1） 。当 CF 是斜边时，过点 C 作 CPAF 于点 P。设 P（x1，x11） ，ECF=90，E（0，1） ，C（0，5） ，F（4，5） ，CE=CF。EP=PF。CP=PF。点 P 在抛物线的对称轴上。x1=2。把 x1=2 代入 y=x1，得 y=3。P（2，3） 。