第五章_功率谱密度函数

1、 第五章随机振动的功率谱密度第五章第五章 随机振动的功率谱密度随机振动的功率谱密度5-1 自相关函数的物理意义及其傅立叶变换 5-2 自功率谱密度函数及其性质 5-3 互功率谱密度函数及其性质 5-4 共相谱、正交谱和相干函数 5-1 5-1 自相关函数的物理意义 及其傅立叶变换 一个随机振动过程的特征可以用数学期望、方差和相关函数来描述。 但在工程技术问题中，广泛采用从频率域来描述一个随机振动过程特征的功率谱密度函数。 1、功率谱密度函数能够反映随机振动的功率关于频率的 分布密度。 2、对于一个线性系统，输入功率谱、输出功率谱、系统本身的传递特性三者之间的关系式非常简便。 3 在对系统进行振

2、动试验时，功率谱有助于振动特性的模拟 功率谱密度与相关函数可分别从频域与时差域这两个不同的角度反映着同一个统计特性“功率”。 功率谱密度函数可由相关函数转换而来。 自相关函数)()()(tXtXERx)()()()0(2tXEtXtXERx 当0时， 为X(t) 的均方值 )(xR所以：自相关函数蕴藏着随机信号功率的物理意义。 dttXTtXEtXtXERTx022)(1lim)()()()0( 若随机过程为各态历经过程，则 研究随机过程时，常需要利用傅立叶变换来确定 随机过程的频率结构，但一个时间函数，在区间 内其傅立叶变换是否存在，取决于是否绝对可积。)(tdttX)(很多时间函数不能满足

3、上述条件，因此不能利用用时间函数历程函数直接进行傅立叶变换。 jXXXSF RRed相应的逆变换为: 12jXXRSed对于平稳随机过程， 时（不为零时可调节零点），当 时，自相关函数趋于 ，所以自相关函数满足绝对可积的条件，用符号SX()记作它的傅里叶变换0 x02x 2102XXRE XtSd 12jXXRSed显然，若自相关函数在0处表示信号的“功率”，则式中SX()的量纲为“功率”/频率单位，代表单位频带上所具有的功率。上两式通常叫做维纳辛钦关系式。若令式中=0，则可得 jXXXSF RRed( )( )jXXSRed自相关函数的傅里叶变换对为SX()是的函数，表征信号本身“功率”按频

4、率的分布情况。故定义SX()为自功率谱密度函数(简称自功率谱或自谱)。 下面将从另一角度定义自功率谱密度函数 5.2 自功率谱密度函数及其性质 12jXXRSed设x(t)是遍历过程的一个样本函数，它是定义在(-t)区间内的一个非周期函数，不满足绝对可积条件，不能直接应用傅立叶变换。引入下述辅助函数xT():2/2/2/0)()(TtTtTtxtxT若xT(t)满足绝对可积条件，则有( )( )1( )( )2j tTTj tTTXx t edtx tXed 下面将从另一角度定义自功率谱密度函数xT(t) 的均方值定义为:T对上式求集合平均得 2102XXRE XtSd自功率谱密度函数定义为2

5、1( )lim( )XTTSEXT( )( )jXXSRed可以证明以上两种形式是等价的（1）自谱SX()为一实偶函数 ，由于自相关函数为实偶函数，实偶函数的傅立叶变换也是实偶函数 自谱具有下列性质（2 2）自谱密度SX()曲线下面包围的面积乘以常数1/2，即为平稳随机过程X(t)的圴方值EX2(t)。 2102XXRE XtSd2( ) (0)( )0 (0)XXSG（3）自谱SX() 是一非负函数 21( )lim( )XTTSEXT（4）单边谱密度GX() 工程中不存在负频率，按其偶函数特征将负频率范围内的谱密度折算到正频率范围内获得单边谱密度函数5.3 互功率谱密度函数及其性质自功率谱

6、SX()定义为自相关函数的傅里叶变换，互谱密度(简称互谱)有类似的定义，SXY()与RXY()；SYX()与RYX()互为傅里叶变换对。 ( )( )1( )( )2jXYXYjXYXYSRedRSed( )( )1( )( )2jYXYXjYXYXSRedRSed设x(t)与y(t)为遍历过程的两个子样函数，都是定义在区间-t内的非周期函数，其傅里叶变换XT()和YT()分别为：( )( )j tTTXx t edt()( )( )()j tjtTTTYyt edtytedt相应地，其傅里叶反变换为1( )( )2j tTTx tXed()1()( )2jtTTytYed从另一个角度定义互功

7、率谱密度1( )( )2j tTTx tXed()1()( )2jtTTytYeddRjdRdeRSXYXYjXYXYsin)(cos)()()(由于互相关函数不是偶函数，因而上述两项积分一般均不为零，即互谱函数为一复数。互为共轭函数互为共轭函数互功率谱密度的两个性质：5.4 共相谱、正交谱和相干函数 (只要求掌握相干函数的表达式)互谱一般为复函数，可写成共相谱正交谱共相谱、正交谱名称的由来共相谱为同相分量之积 1limXYRRIITCEXYXYT正交谱为正交分量之积 1limXYIRRITQEXYXYT互谱一般为复数，亦可写成 XYjXYXYSSe 22arctanXYXYXYXYXYXYS

8、CQQC其中互谱与自谱满足下列不等式由过程X(t)与Y(t)的自谱与互谱，可定义谱相干函数XY()（或称凝聚函数）结合互谱与自谱间的关系不等式，易知 2XYXYSSS 22XYXYXYSSS 201XY（证明略）互相关函数与自相关函数之间的关系)0()0()(2YXXYRRR互谱与自谱满足之间的关系 2XYXYSSS掌握四个车轮输入的自谱与彼此间的互谱四个车轮：路面不平度函数1( )( )q lx l2( )()q lx lL3( )( )q ly l4( )()q ly lL1( ) ( )( )F q lF x lX n22( ) ()( )jnLF q lF x lLX n e3( )

9、( )( )F q lF y lY n24( ) ()( )jnLF q lF y lLY n e计算汽车四个输入的振动传递时，需要计算四个车轮输入的自谱和四个车轮彼此之间的互谱，共16个谱量，其中四个自谱，12个互谱；其中互谱的计算公式：*1( )lim( )( )ikikTGnFn F nT1、2为同侧车轮3、4为同侧车轮*1( )lim( )( )ikikTGnFn F nT2*1111111( )lim( )( )lim( )( )lim( )( )xxTTTGnFn F nXn X nX nGnTTT*22222211( )lim( )( )lim( )( )( )jnLjnLxxT

10、TGnFn F nXn eX n eGnTT2*3333111( )lim( )( )lim( ) ( )lim( )( )yyTTTGnFn F nYn Y nY nGnTTT*22444411( )lim( )( )lim( )( )( )jnLjnLyyTTGnFn F nYn eY n eGnTT3344( )( )( )yyGnGnGn1122( )( )( )xxGnGnGn*22121211( )lim( )( )lim( )( )( )jnLjnLxxTTGnFn F nXn X n eGn eTT互谱密度函数*22212111( )lim( )( )lim( )( )( )jnLjnLxxTTGnFn F nXn eX nGn eTT*21221( )( )( )jnLxxGnGnGn e同理：同理：*23443( )( )( )jnLyyGnGnGn e*21441( )( )( )jnLxyGnGnGn e*23223( )( )( )j