第二节导数的求导法则、求导

1、2022年3月10日19时47分1第二节 导数的求导法则、求导公式2022年3月10日19时47分2第二节 导数的求导法则、求导公式二、二、 复合函数的求导法则复合函数的求导法则一、一、 函数的四则运算求导法则函数的四则运算求导法则三、三、 高阶导数求导法则高阶导数求导法则本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出2022年3月10日19时47分3前言 求函数的导数的方法叫微分法。 微分法是指运用求导数的基本法则和基本初等函数的导数公式，求出初等函数导数的方法。 因此我们将要建立最基本的一组求导数的法则和公式。本节预备知识本节目的与要求本节重点与难点本

2、节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出2022年3月10日19时47分4一、导数的四则运算法则定理定理并且并且可导可导处也处也在点在点分母不为零分母不为零们的和、差、积、商们的和、差、积、商则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年3月10日19时47分5推论推论 )() 1 ();

3、( )()2(xfCxCf 2)3(CC目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年3月10日19时47分6注意：我们目前已知的求导公式是：注意：我们目前已知的求导公式是：1、2、3、4、5、0)(cxxcossinxxsincos1)(xxaaaxxln)(特别：特别：xxee)(axxaln1)(log目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年3月10日19时47分7例例1 1.sin223的导数的导数求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2.ln2sin的导数的导数求求xxy 解解x

4、xxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年3月10日19时47分8例例3 3.3/coslogsin33的导数求 xxxy解解例例4 4.cosln2的导数求xxxy 解解)3ln/(1cos3)2/(1xxxy xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxysinlncoscosln2)(coslncos)(lncosln)()cosln(22222 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知

5、识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年3月10日19时47分9例例5 5.tan的导数的导数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年3月10日19时47分10例例6 6.sec的导数的导数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .

6、cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得例例7 7.sinh的导数的导数求求xy 解解 )(21)(sinh xxeexy)(21xxee .cosh x 同理可得同理可得xxsinh)(cosh xx2cosh1)(tanh 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年3月10日19时47分11例例8 8设设xxxfsin1cos)( 求求)(4f)(2f解：解：因为因为xxxfsin1cos)( 所以：所以：2)sin1 ()sin1 (cos)sin1 ()(cos)(xxxxxxf 2)sin1 (coscos)sin1 (sin

7、xxxxx xsin11 所以所以2211sin11)(2244 f21)(2 f目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年3月10日19时47分12例例6 6).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解解, 1)( xf,0时时当当 x,0时时当当 xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0 )11ln(1lim0 xhhh ,11x 2022年3月10日19时47分13,0时时当当 xhhfh)01ln()0(lim)0(0 , 1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 , 1 . 1)0( f.0,110,

8、 1)( xxxxf2022年3月10日19时47分14二、复合函数的求导法则定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )它是微分法中最重要的一个法则。它是微分法中最重要的一个法则。目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本

9、节复习指导2022年3月10日19时47分15推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 例例1010.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年3月10日19时47分16复合函数的导数设复合函数y=fg(x)关于x可导，则说明：复合函数求导的关键(1)分清函数的复合层次； (2)使用连锁法则,各层求导相乘。例五、求导数：解

10、：先分解：再求导数：)()(xgxgfyxy3cos从外向内引入中间变量u3uy xucos幂函数三角函数xy3cos.sincos3sin3)(cos)(223xxxuxuuyyxu2022年3月10日19时47分17例六、求导数：解：先分解：再求导数：xey2sinxey2sin从外向内引入中间变量uuey 2vu xvsin指数函数幂函数三角函数xxuxvuxexxexvevuyy22sinsin2sincossin2cos22022年3月10日19时47分18例七、求导数：解：先分解：求导数：例八、求导数：解：)2cosln(2xxyxxxxxxxxy2cos2sin22)2cos(2

11、cos12225) 12(xy5) 12(xy5uy 12xu44) 12(5225xxxuuyyxu从外向内引入变量u幂函数简单函数2022年3月10日19时47分19例例1111.)3cos(22的导数求函数 xy解解例例1212解：解：因为因为)3cos(22 xy是由是由uycos2 32 xu复合而成，所以复合而成，所以)3sin(4)02(sin22 xxxudxdududydxdy设设221tanxy 求求dxdy221tanxy 所以所以uytan vu 221xv 22221sec212xxxdxdvdvdududydxdy 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目

12、的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年3月10日19时47分20例例1313.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年3月10日19时47分21例例1515.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例1616.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1s

13、in xxex.1cos11sin2xexx 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年3月10日19时47分22五、高阶导数的概念问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.),(tfs 设设)()(tftv 则瞬时速度为则瞬时速度为的变化率的变化率对时间对时间是速度是速度加速度加速度tva. )()()( tftvta定义定义.)() )(,)()(lim) )(,)()(0处的二阶导数处的二阶导数在点在点为函数为函数则称则称存在存在即即处可导处可导在点在点的导数的导数如果函数如果函数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 目

14、录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年3月10日19时47分23记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 记作记作阶导数阶导数的的函数函数阶导数的导数称为阶导数的导数称为的的函数函数一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.)(;)(,称为一阶导数称为一阶导数称为零阶导数称为零阶导数相应地相应地xfxf .,),(33dxydyxf 二阶导

15、数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年3月10日19时47分24高阶导数的计算例例1 1).0(),0(,arctanffxy 求求设设解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1.1.直接法直接法: :由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本

16、节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年3月10日19时47分25例例1，求函数，求函数y=xcosx的二阶导数的二阶导数；）（解：xxxxxxxyxxxxxxycossin2cossinsinsincossincos 例例2，求函，求函xxyarctan)1 (2的二阶导数；，）（解：1arctan2111arctan222xxxxxxy;12arctan2112arctan222xxxxxxy 例例3，求函，求函数数数数)1ln(2xxy的二阶导数的二阶导数；）（解：22211122111xxxxxy；）（）（3222211122xxxxxy 2022年3月10日19时47分26例

17、例2 2.),()(nyRxy求求设设 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn则则为为自自然然数数若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年3月10日19时47分27例例3 3.),1ln()(nyxy求求设设 解解注意注意: :xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn 求求n阶导数时阶导数时,求出求出1-3或或4

18、阶后阶后,不要急于合并不要急于合并,分析结果的规律性分析结果的规律性,写出写出n阶导数阶导数.(数学归纳法证明数学归纳法证明)目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年3月10日19时47分28例例4 4.,sin)(nyxy求求设设 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年3月10日19时

19、47分292. 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:则则阶导数阶导数具有具有和和设函数设函数,nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 莱布尼兹公式莱布尼兹公式目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年3月10日19时47分30例例6 6.,)20(22yexyx求求设设 解解则由莱布尼兹公式知则由莱布尼兹公式知设设,22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2022年