第五章--GM系列模型

1、南京航空航天大学灰色系统研究所南京航空航天大学灰色系统研究所第五章第五章 GMGM系列模型系列模型 2 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型 引 言 基于概率统计的预测模型GM系列模型1.针对针对“小样本小样本”、“贫信息贫信息”问问 题，特点是少数据建模；题，特点是少数据建模；2.依据信息覆盖，通过序列算子的依据信息覆盖，通过序列算子的作作 用挖掘事物运动的规律。用挖掘事物运动的规律。1.1.针对针对“随机不确定随机不确定”现象；现象；2.2.要求大样本；要求大样本；3.3.对象服从某典型分布。对象服从某典型分布。3 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型本章结构5.15.2GM(1,1)

2、GM(1,1)模型的适用范围模型的适用范围5.3残差残差GM(1,1)GM(1,1)模型模型5.4GM(1,1)GM(1,1)模型群模型群5.5GM(0,N )GM(0,N )模型模型5.6灰色灰色 VerhulstVerhulst模型模型（拓展内容拓展内容） GM(1,1)GM(1,1)模型的基本形式模型的基本形式4 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5.1 GM(1,1) 模型的基本形式GM(1,1)模型4种基本形式：（1）均值GM(1,1)模型(EGM)（2）原始差分GM(1,1)模型(ODGM)（3）均值差分GM(1,1)模型(EDGM)（

3、4）离散GM(1,1)模型(DGM) 为什么只讨论这四种基本形式？6 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5.1 GM(1,1) 模型的基本形式原始模型移项、均值模型移项、离散模型移项原始差分模型、均值差分模型、离散差分模型原始微分模型、均值微分模型、离散微分模型3种基本模型原始模型 均值模型 离散模型3种求解思路直接移项求解差分方程求解微 分 方 程求解7 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5.1 GM(1,1) 模型的基本形式GM(1,1) 模型的原始形式bkaxkx)()() 1 ()0(其中)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxX)(,),2(),1 () 1

4、() 1 () 1 () 1 (nxxxXkiixkx1)0() 1 ()()(nk, 2 , 1Grey Model 1阶方程 1个变量 GM(1,1)8 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5.1 GM(1,1) 模型的基本形式GM(1,1) 模型的白化方程badtdxx)1()1(白化方程的解ababtexxat) 1 ()() 1 () 1 (9 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5.1 GM(1,1) 模型的基本形式GM(1,1) 模型的均值形式bkazkx)()() 1 ()0(其中)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxX)(,),2(),1 () 1 ()

5、 1 () 1 () 1 (nxxxX)(,),3 (),2 () 1 () 1 () 1 () 1 (nzzzZ)1()(21)() 1 () 1 () 1 (kxkxkznk,3 ,2，10 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型差分方程的解5.1 GM(1,1) 模型的基本形式（1）原始形式差分方程的解abaabxkkx)11() 1 ()() 0 () 1 (）（2）均值形式差分方程的解abaaabxkkx)5 . 015 . 01() 1 ()() 0() 1 (）（11 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5.1 GM(1,1) 模型的基本形式GM(1,1) 模型的离散形式(1)

6、(1)12(1)( )xkxk其中)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxX)(,),2(),1 () 1 () 1 () 1 () 1 (nxxxXkiixkx1)0() 1 ()()(nk, 2 , 112 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5.1 GM(1,1) 模型的基本形式原始差分GM(1,1) 模型ODGM的时间响应式直接借助原始差分方程的解：的时间响应式直接借助原始差分方程的解：原始差分GM（1,1）模型的时间响应式基于GM(1,1)模型的原始形式估计模型参数，直接以原始差分方程的解作为时间响应式所得模型称为GM(1,1)模型的原始差分形式，简称原始差分GM(

7、1,1)模型（Original Difference Grey Model, ODGM）abaabxkkx)11() 1 ()()0() 1 (）（13 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5.1 GM(1,1) 模型的基本形式 均值GM(1,1)模型(EGM) 定理定理3 均值GM(1，1)模型的时间响应式为：基于GM(1,1)模型的均值形式估计模型参数，借助白化微分方程式的解构造GM(1,1)时间响应式的差分、微分混合模型称为GM(1,1)模型的均值混合形式，简称均值GM(1,1)模型（Even Grey Model, EGM）ababkexxka) 1()0() 1 () 1 ()(1

8、4 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5.1 GM(1,1) 模型的基本形式基于GM(1,1)模型的均值形式估计模型参数，直接以均值差分方程的解作为时间响应式所得模型称为GM(1,1)模型的均值差分形式，简称均值差分GM(1,1)模型（Even Difference Grey Model, EDGM）. 均值差分GM(1,1)模型EDGMEDGM的的时间响应时间响应式直接借助均值差分方程的解：式直接借助均值差分方程的解：abaaabxkkx)5 . 015 . 01() 1 ()() 0 () 1 (）（15 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5.1 GM(1,1) 模型的基本形式 离

9、散GM(1,1)模型(1)(1)12(1)( )xkxk 称为GM(1,1)模型的离散形式GM(1,1)模型的递推公式（时间响应式）为16 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型17 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5.2 GM(1,1)模型的适用范围明确均值GM(1,1)模型(EGM)、原始差分GM(1,1)模型(ODGM)、均值差分GM(1,1)模型(EDGM)和离散GM(1,1)模型(DGM)的适用范围，为人们在实际建模过程中正确地选择模型提供参考和依据。目的目的分别对齐次指数序列、非指数增长序列和振荡序列三类不同的序列进行模拟分析。方法手段方法手段18 第五章第五章 GMGM系统

10、模型系统模型5.2 GM(1,1)模型的适用范围齐次指数序列模拟分析基础序列基础序列akiekx)()0(,k=1,2,3,4,5-a取值取值分别取a分别取-a=0.01,0.02,0.03,0.04,0.05,0.1,0.15,0.2,0.25,0.3, 0.35,0.4,0.45,0.5,0.55,0.6,0.65,0.7,0.8,0.9,1.0,1.1,1.2,1.5,1.8等25个实数 19 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5.2 GM(1,1)模型的适用范围齐次指数序列模拟分析)5 (),4(),3 (),2(),1 ()0(1)0(1)0(1)0(1)0(1)0(1xxxxx

11、X如-a=0.01,有=(1.010050,1.020201,1.030455,1.040811,1.051271)5(),4(),3(),2(),1 ()0(2)0(2)0(2)0(2)0(2)0(2xxxxxX如-a=0.02,有=(1.020201,1.040811,1.061837,1.083287,1.105171) 20 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型)0(25)0(2)0(1,XXX，5.2 GM(1,1)模型的适用范围齐次指数序列模拟分析分别以作为基础数据序列建立均值GM(1,1)模型(EGM)、原始差分GM(1,1)模型(ODGM)、均值差分GM(1,1)模型(EDG

12、M)和离散GM(1,1)模型(DGM)，对模拟误差进行对比分析。21 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型表5.2.1 4种GM(1,1)模型齐次指数序列模拟误差（%）5.2 GM(1,1)模型的适用范围序列序号-aEGMDGMODGMEDGM10.010.0008490.0000270.0000270.00002720.020.0034680.0000130.0000130.00001330.030.0079510.0000180.0000180.00001840.040.0144030.0000040.0000040.00000350.050.0229220.0000160.000016

13、0.00001660.100.1000580.0000080.0000080.00000870.150.2440340.0000090.0000090.00000980.200.4675880.0000030.0000030.00000790.250.7835900.0000050.0000050.000006100.301.2051440.0000040.0000040.000010110.351.7456100.0000060.0000060.000010120.402.4187580.0000040.0000040.000010130.453.2388640.0000070.000007

14、0.000008140.504.2208510.0000110.0000110.00000822 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5.2 GM(1,1)模型的适用范围续表5.2.1 150.555.3805070.0000030.0000030.000003160.606.7345740.0000160.0000160.000011170.658.3010400.0000090.0000090.000006180.7010.0993550.0000210.0000210.000021190.8014.4785130.0000150.0000150.000015200.9020.06844

15、90.0000160.0000160.000022211.0027.1108350.0000470.0000470.000047221.1035.9081150.0000400.0000400.000035231.2046.8448430.0001050.0001050.000105241.5098.1885000.0001290.0001290.000129251.800.0004330.0004330.00043323 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型非指数增长序列模拟分析5.2 GM(1,1)模型的适用范围基础序列基础序列)0(25)0(2)0(1,XXX，)0(25)0(2)0(

16、1,YYY，限定随机数的取值范围，围绕齐次指数序列生成相应的非指数增长序列24 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型非指数增长序列模拟分析5.2 GM(1,1)模型的适用范围表5.2.2 4种GM(1,1)模型非指数增长序列模拟误差序列序号-aEGMDGMODGMEDGM10.010.0309940.0304290.0304320.030430 20.020.6589780.6590390.6600950.659572 30.030.4958330.4957730.4957680.495770 40.041.0104741.0103081.0103291.010319 50.051.5508

17、861.5503311.5504681.550401 60.101.6262941.7049801.6903241.697211 70.151.3435651.4578001.4589931.458442 80.205.1558565.1004865.2294805.171925 90.254.3532534.8938574.7437924.808361 100.304.7363235.3457555.1685295.244168 110.355.2364385.3772255.1922735.269577 ， a)0(1Y)0(2Y)0(3X)0(4Y)0(5Y)0(6Y)0(7Y)0(8Y

18、)0(9Y)0(10Y)0(11Y25 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型续表5.2.2 4种GM(1,1)模型非指数增长序列模拟误差5.2 GM(1,1)模型的适用范围120.403.6038754.1669584.0445674.096904130.4512.83433615.36423013.52018414.246584140.507.3967708.2760737.8780178.044898150.5510.21872710.08474910.18891210.143461160.6021.07307023.70985821.61086322.440905170.656.637

19、0227.9064837.6290687.731359180.709.08890011.00056510.47950510.677398190.8021.15626530.60658928.55491529.245194200.9014.44194720.37832817.10400018.188008211.0011.68591318.46320317.35749617.734931221.1013.01185720.62031719.39624819.782271231.2017.17647227.92974326.16349026.624283241.5026.32721851.9155

20、8450.00688250.471089251.8062.46094675.50370573.43400174.07012826 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5.2 GM(1,1)模型的适用范围均值GM(1,1)模型(EGM)(EGM)最适合非指数增长序列建模，其次是原始差分GM(1,1)模型(ODGM)(ODGM)和均值差分GM(1,1)模型(EDGM)(EDGM)，离散GM(1,1)模型(DGM) (DGM) 模拟非指数增长序列时误差稍大一些。表5.2.3 4种GM(1,1)模型非指数增长序列模拟误差排序统计误差排序EGMDGMODGMEDGM118520 222156 3015

21、19 451730 27 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型振荡序列模拟分析5.2 GM(1,1)模型的适用范围基础序列基础序列限定随机数的取值范围，围绕齐次指数序列)0(25)0(2)0(1,XXX，生成相应的总体上具有增长趋势，但对于 ，序列数据中出现 的振荡序列5 , 3 , 2 k25, 2 , 1),1()() 0() 0(ikzkzii)0(25)0(2)0(1,ZZZ28 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5.2 GM(1,1)模型的适用范围表5.2.4 4种GM(1,1)模型振荡序列模拟误差序列序号-aEGMDGMODGMEDGM10.010.2983920.29940

22、00.2991180.29925820.020.5012230.5058000.5048770.50533130.030.3696300.3787730.3790890.37893540.042.5836622.5867602.5721092.57930050.052.9280352.9536552.8993692.92561960.104.7599294.7918584.8252264.80785170.153.8026303.7705623.7763303.77354580.2011.72345911.94652511.39348311.64263090.2514.89539114.979

23、35715.22959515.130729100.3017.95354317.99297618.39757718.241183110.357.2991848.9800628.5378658.708603120.4011.47477911.51978111.69330911.619287130.4511.98811112.32180412.26107512.286039140.5012.72822011.75346012.27043212.03809429 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5.2 GM(1,1)模型的适用范围续表5.2.4 150.5510.63650710.2859101

24、0.89779610.623904160.6013.39323413.51500713.00675113.227910170.6515.42037715.45764314.69031515.004381180.7016.30419716.36509615.63510315.998031190.8014.54210014.57982914.11054814.310293200.9033.79858733.16010134.92843734.293058211.0022.58638022.38412722.01615722.145609221.1034.30592034.48161236.0235

25、2235.484180231.2023.59192724.13329823.32392121.511839241.5040.37338040.47534842.69800541.917026251.8030.38052254.85122945.62431148.57985030 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5.2 GM(1,1)模型的适用范围可以看出：均值GM(1,1)模型(EGM)(EGM)比其它3种离散形态的模型更适合振荡序列建模。离散GM(1,1)模型(DGM) (DGM) 模拟振荡序列时误差仍然偏大一些。表5.2.3 4种GM(1,1)模型振荡序列模拟误差排序统计误差排序EG

26、MDGMODGMEDGM112481 217611 391213 431390 31 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型GM(1,1)模型适用范围主要结论5.2 GM(1,1)模型的适用范围12 原始差分GM(1,1)模型(ODGM)、均值差分GM(1,1)模型(EDGM)和离散GM(1,1)模型(DGM)均能够精确模拟齐次指数序列。GM(1,1)模型的4种基本形式：均值GM(1,1)模型(EGM)、原始差分GM(1,1)模型(ODGM)、均值差分GM(1,1)模型(EDGM)和离散GM(1,1)模型(DGM)两两相互等价。32 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型GM(1,1)模型适用

27、范围主要结论如下对于非指数增长序列和振荡序列，应首先选择微分、差分混合形态的均值GM(1,1)模型(EGM)。对于接近齐次指数序列的非指数增长序列和振荡序列，应优先选择离散形态的原始差分GM(1,1)模型(ODGM)、均值差分GM(1,1)模型(EDGM)或离散GM(1,1)模型(DGM)。5.2 GM(1,1)模型的适用范围3433 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型34 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5.3 残差GM(1,1) 模型残差GM(1,1)模型的原理均值GM(1,1) 模型既可以看成微分方程，又可以看成差分方程，下面分析其导数还原值与累减还原值之间的关系。35 第五章

28、第五章 GMGM系统模型系统模型5.3 残差GM(1,1) 模型残差GM(1,1)模型的原理命题命题5.3.1 GM(1,1) 模型时间响应式的累减还原式和导数还原式分别为显然(1)(0) (1)(1)akbbxkxeaaexeakaabkx) 1 ()(1 () 1() 0 () 0 (1)(0)(1)()(1)akbdxka xea (1)(0)(1)(1)dxkxk36 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型。5.3 残差GM(1,1) 模型残差GM(1,1)模型的原理37 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型残差GM(1,1)模型的原理5.3 残差GM(1,1) 模型命题命题5.3.

29、25.3.2 设可建模残差尾段其1-AGO序列为GM（1，1）响应式则(0)(0)(0)(0)00( ),(1 ), ,( )kkn (1)(1)(1)(1)00( ),(1), ,( )kkn (1)(0)00 (1)( )exp()bbkka kkaa(0)(0)00 (1) ()( )exp()bkaka k ka 0kk0kk38 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5.3 残差GM(1,1) 模型残差GM(1,1)模型的原理(0)(0)00 (1)( )exp()bkaka k ka 其中残差修正项的符号应与残差尾段 的符号一致。(0)39 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5

30、.3 残差GM(1,1) 模型残差修正模型40 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5.3 残差GM(1,1) 模型残差修正模型41 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5.3 残差GM(1,1) 模型算例分析42 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5.3 残差GM(1,1) 模型检验其精度列出误差检验表检验其精度列出误差检验表算例分析43 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5.3 残差GM(1,1) 模型算例分析44 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5.3 残差GM(1,1) 模型算例分析45 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5.3 残差GM(1,1) 模型残差修正GM(1,1)的模拟精度的得到了明显提高。因此时残差序列已不满足建模要求，若对修正精度仍不满意，就只有考虑采用其他模型或对原始数据序列进行适当取舍。算例分析46 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型47 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5.4 GM(1,1)模型群模拟、预测)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxX(0)(0) (1)(1)(1)aakbxkexea（1）当 ，称 为模型模拟值；（2）当 ，称 为模型预测值。nt t n) () 0 (tx) () 0 (tx48 第五章第五章 GMGM系统模型系统模型5.4