线性代数各章要点整理

1、第一章行列式主要知识点一、行列式的定义和性质1 .余子式竭,和代数余子式4的定义2 .行列式按一行或一列展开的公式ftI更1） -I-I1 ,丁卜邑2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式=原行列式的k倍.推论3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数.推论4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.5）行列式可以按任一行（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等二、行列式的计算1 .二阶行列式和三角形行列式的计算.2 .对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形（或对角形）行列式的

2、计算3 .对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开4 .行列式中各行元素之和为一个常数的类型.5 .范德蒙行列式的计算公式第二章矩阵主要知识点一、矩阵的概念1 .要分清矩阵与行列式的区别2 .几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）二、矩阵的运算1 .矩阵A,B的加、减、乘有意义的充分必要条件2 .矩阵运算的性质比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法、乘法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点）（力士5）'=幺?也8+朋+犷；

3、（力+为（2-3）=#+朋（AB）k=ABAB二4士2A+£3 .转置对称阵和反对称阵1）转置的性质（A±Bf=Ar±Br,伏利=戌H2）若AT=A（At=-A）,则称A为对称（反对称）阵4 .逆矩阵1）方阵A可逆（也称非异，非奇异，满秩）的充分必要条件是I.44=&期4_。重要公式用二乂4=1£；#与a-1的关系2）方阵A的伴随阵#的定义4曼（当方阵a可逆时，从二1）3）重要结论：若n阶方阵A,B满足AB=E则A,B都可逆，且A-1=B,B-1=A.4）逆矩阵的性质：（A-1）-1=文林）"=为t；（超尸=宜45）消去律：设方阵A可逆

4、，且AB=AC（BA=CA,则必有B=Co（若不知A可逆,仅知AWO结论不一定成立。）5 .方阵的行列式区卜阵|赵二利琳幽|二网跳斗心4，；团=即'6 .分快矩阵矩阵运算时分快的原则；分快矩阵的运算规则；分快矩阵的转置444r4：MAi44止儿-发-q3.a.凡1凡（3'4?无一一相见4三、矩阵的初等变换和初等矩阵1 .初等变换的定义和性质方阵经初等变换后的行列式是否变化？（分别就三种初等变换说明行列式变化的情况）初等变换不改变方阵的可逆性；初等变换不改变矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换必能£0-将矩阵A化为标准形°，其中r为矩阵A的秩.

5、2 .初等矩阵的定义和性质1）初等矩阵的定义2）初等变换和矩阵乘法之间的关系3）对彳E意mxn阶矩阵A,总存在一系列m阶初等阵凡&禺和一系列n阶初等阵必使得国。1月旦,YHQ1aQ产；八四、矩阵的k阶子式和矩阵秩的概念，求矩阵秩的方法五、矩阵方程的标准形及解的公式斯二二力-1反XA=BX=B其用=8=>兄=矛睡1第三章向量空间主要知识点一、n维向量线性运算白定义和性质；设Q，%广，&是一组n维向量构成的向量组。如果存在一组不全为零的数4使得4汹+4%+4%二。则称向量组线性相关。否则，称向量组电跖q线性无关。二、n维向量组的线性相关性1 .向量组的线性相关性的定义和关于线

6、性相关的几个定理；(1) m个n维向量即，4(满之力线性相关的充分必要条件是至少存在某个q是其余向量的线性组合.')线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合如果向量组Q，跖，&线性无关，而£线性相关，则3可由线性表示，且表示法唯一.(3)线性相关的向量组再增加向量所得的新向量组必线性相关.(部分相关，则整体相关；或整体无关，则部分无关)若向量组4=(41冈?，*1/)/=12*一,两线性无关，则接长向量组育=(的修力储藤修(利)，i=LZ，耀必线性无关.2 .判断向量组的线性相关性的方法(1) 一个向量a线性相关,(2)含有零向量的向量组

7、必线性相关；(3)向量个数=向量维数时，n维向量组4线性相关引小四的-讣0；(4)向量个数>向量维数时，向量组必线性相关；(5)若向量组的一个部分组线性相关，则向量组必线性相关；(6)若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关；(7)向量组线性无关Q向量组的秩=所含向量的个数，向量组线性相关Q向量组的秩所含向量的个数；(8)向量组线性相关(无关)的充分必要条件是齐次方程组工遇+&%+/1=Q有(没有)非零解.三、向量组的极大无关组及秩1 .极大无关组的定义2 .向量组的秩求向量组的秩和极大无关组，并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法四、子空间的定义，基、维数、向量在一组基下

8、的坐标第四章线性方程组、线性方程组的三种表示方法产mi的+生柩巧+-+&Jr=%0ii(2).4x=B,其中/=_/l（3）毛,+毛+%=二、齐次线性方程组1 .齐次方程组解的性质设a,3都是Ax=0的解，则Ga+C23也是Ax=0的解（C,G为任意常数）2 .齐次方程组有非零解的条件3 ）齐次方程组AX=0有非零解的充分必要条件是r（A）未知数的个数（即矩阵A的列数）.2）n个未知数n个方程的齐次方程组AX0有非零解的充分必要条件是|A|=0.3）设A是mxn阶矩阵.若m<n,则齐次方程组AX0必有非零解.（这是齐次方程组有非零解的充分条件但不必要）3.齐次方程组解的结构1）齐

9、次方程组AX=0的基础解系的概念重要结论：齐次方程组AX0的任意n-r（A）个线性无关的解都构成该齐次方程组的基础解系；2）齐次方程组AX=0的基础解系的求法3）齐次方程组AX=0的通解公式三、非齐次方程组1 .非齐次方程组解的性质（1）设Y1,Y2都是Ax=b的解，则Y1Y2是它的导出组Ax=0的解.（2）设刀1,刀2都是Ax=b的解，则当k1+k2=1时，kf1+k2rl2也是Ax=b的解.（3）设刀是Ax=b的一个解，6是它的导出组Ax=0的解，则E+乃是Ax=b的解.2 .关于非齐次方程组解的讨论定理：n个未知数，m个方程的线性方程组AX3中，（系数矩阵A是mxn阶矩阵）工土户是增广矩

10、阵.则1）当且仅当r（用=/（*）=即（未知数的个数）时，方程组AX3有惟一解；2）当且仅当尸（无=«用<"（未知数的个数）时，方程组AU3有无穷多解;3）当且仅当时，方程组AX=3无解.从以上定理可见1）线性方程组AX=3有解的充分必要条件是尸=»（/）.2）当线性方程组在3方程的个数=未知数的个数时，该方程组有惟一解的充分必要条件是系数行列式|A|w0.3 .非齐次方程组AX3的通解的结构丈=才+。盍+G身+T其中/是方程AX3的一个特解，r=r（A）为系数矩阵的秩，乱菰为它的导出组（与它对应的）齐次方程组AX0的基础解系；第五章特征值与特征向量主要知识

11、点一、特征值与特征向量1 .特征值与特征向量的定义要点：入是n阶方阵A的特征值，是指存在非零向量a,使得Aa=X”这时，称a为矩阵A属于特征值入的特征向量.由此知，入是n阶方阵A的特征值0区正一闻二。，这时，齐次方程组（入E-A）x=0的非零解都是矩阵A属于特征值入的特征向量.2 .关于特征值、特征向量的性质1） AT与A有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；2）设ai,a2都是矩阵A属于特征值入的特征向量，ki,k2是数，只要用药+用则kia1+k2a2也是矩阵A属于特征值入的特征向量；3）设n阶方阵A的n个特征值为入1,入2,，入n,则Q）4+4+。心小a曲；4%=4=国4）矩阵A属于

12、不同特征值的特征向量线性无关；5）设a是矩阵A属于特征值入的特征向量，则a是矩阵f（A）属于牛1征值f（入）的特征向量，其中/（X）=婚+限/一】+F/.£6）设入是可逆矩阵A的特征值.则入W0,且刃是矩阵A的特征值.3 .特征值、特征向量的求法二、相似矩阵1 .相似矩阵的定义2 .相似矩阵的性质1）反身性，对称性，传递性；2）若方阵A与B相似，则闻=间，且配4=仁8=A+&+4,trA表示矩阵A的迹，即d4=%十%+口叫入1入2,，入n为方阵A的n个特征值；3）若方阵A与B相似，则A与B有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；1or1工/二产B=注

13、意：反之，若A与B有相同的特征值，A与B不一定相似；例如J。11-有相同的特征值，但A与B不相似.3.方阵A的对角化问题1）n阶方阵A能与对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量；设入1,入2,，入n是方阵A的n个特征值，pi,P2,，pn依次是方阵A的属于特征值入1,入2,，入n的n个线性无关的特征向量.若令尸=EPiP«,则2）若方阵A有n个不同的特征值（即特征方程无重根），则A必能与对角阵相似.（这是A能与对角阵相似的充分条件，不是必要条件）三、向量的内积和正交矩阵1.向量内积的定义:设2 .向量的长度4 .正交向量组的定义及其性质5 .施密特正交化手续6 .正交矩

14、阵1）正交矩阵的定义；如果n阶方阵A满足AA=E,则称它为正交阵2）正交矩阵的性质：设方阵A为正交阵，则|A|=±1;A必可逆，且A1=AT;如果A,B都是n阶正交阵，则AB也是正交阵；A是正交阵的充分必要条件是A的列（行）向量组构成R的标准正交基.四.实对称矩阵1 .实对称矩阵的特征值都是实数；2 .实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交；3 .实对称矩阵必能与对角阵相似，且存在正交阵P,使得P-1AP为对角形.4 .任给实又称阵A,如何求出正交阵P,使得P-1AP为对角形.第六章实二次型、二次型及其矩阵表示、矩阵的合同三、用正交变换化二次型为标准形1）定理对任意实二次型和巧本，总存在正交变换x=Py,使得该二次型化为标准型其中入1,入2,，入n为实对称矩阵A的n个特征值.此定理说明：对任意实对称矩阵A,总存在正交阵P,使得飞。一0外p=»00志-一其中入1,入2,，入n为实对称矩阵A的n个特征值.（即实对称矩阵A必能与对角阵14oo040A=.,00-鼻合同.2）要掌握用正交变换化二次型为标准形的方法4 .配方法化二次型为标准形.5 .惯性定律6 .正定二次型与正定矩阵1）定义2）二次型正定（方阵正定）的充