第6讲数值技术(2)

1、12022-3-10MATLAB工程应用工程应用第六章 数值技术（二）曲线拟合函数运算数值积分主要内容22022-3-10MATLAB工程应用工程应用 在实际工程应用和科学实践中，经常需要寻求两个（或多个）变量间的关系，而实际中只能通过观测得到一些离散的数据点。针对这些分散的数据点，运用某种拟和方法生成一条连续的曲线，这个过程称为曲线拟合。 6.1 曲线拟合32022-3-10MATLAB工程应用工程应用拟合和插值区别拟合：寻找平滑曲线以最好地表现带噪声的 “测量数据”，不要求拟合曲线穿过这些数据点；插值：研究如何平滑估算出基准数据之间其它点的函数值，所以插值所得曲线必定穿过基准数据。4202

2、2-3-10MATLAB工程应用工程应用例：对比拟合和插值区别。 设原始数据为x，在11个点上测得的y值：x=-2.0,-1.6,-1.2,-0.8,-0.4,0,0.4,0.8,1.2,1.6,2.0;y=2.8,2.96,2.54,3.44,3.56,5.4,6.0,8.4,9.5,13.3,15;p1=polyfit(x,y,2) ; %采用2阶多项式拟合x1=linspace(-2,2,100);y1=polyval(p1,x1);y2=interp1(x,y,x1,spline);plot(x,y,o,x1,y1,r,x1,y2,g);legend(原始数据,2阶多项式,样条插值)5

3、2022-3-10MATLAB工程应用工程应用下面主要介绍曲线拟合工具箱的使用。数据的准备启动曲线拟合工具箱 数据预处理曲线拟合函数修正62022-3-10MATLAB工程应用工程应用6.1.1 数据预处理 在曲线拟合之前必须对数据进行预处理，去除界外值、不定值和重复值，以减少人为误差，提高拟合的精度。数据预处理包括：（1）数据输入与查看（2）数据的预处理传输数据通过数据GUI来实现，查看数据点通过曲线拟合工具的散点图来实现。72022-3-10MATLAB工程应用工程应用1.输入和查看数据集（1）打开曲线拟合工具界面 通过cftool命令打开曲线拟合工具界面老版界面82022-3-10MAT

4、LAB工程应用工程应用新版界面92022-3-10MATLAB工程应用工程应用5个命令按钮个命令按钮Data按钮：可输出、查看和平滑数据；Fitting按钮：可拟合数据、比较拟合曲线和数据集；Exclude按钮：可以从拟合曲线中排除特殊的数据点；Ploting按钮：在选定区间后，单击按钮，可以显示拟合曲线和数据集；Analysis按钮：可以做内插法、外推法、微分或积分拟合。102022-3-10MATLAB工程应用工程应用（2）输入数据集）输入数据集 在输入数据之前，数据变量必须存在于matlab的工作区间。可以通过load命令输入变量。单击曲线拟合工具界面中的Data按钮，打开Data对话框

5、，在对话框中进行设置，可以输入数据。112022-3-10MATLAB工程应用工程应用Data对话框对话框v包括两个选项卡：Data Sets 和 Smooth.vData Sets选项卡：v.Import workspace vectors 把向量输入工作区，要注意的是变量必须具有相同的维数，无穷大的值和不定值被忽略。vX data 用于选择观测数据vY data 用于选择X的响应数据vWeight 用于选择权重，与响应数据相联系的向量，如果没选择，默认值为1。122022-3-10MATLAB工程应用工程应用v.Preview 对所选向量进行图形化预览v.Data set name 设置数

6、据集的名称。工具箱可以随即产生唯一的文件名，但用户可以重命名。v.Data sets 选项以列表的形式显示所有拟合的数据集。当选择一个数据集时，可以对它做如下操作：v .View 查看数据集，以图标形式和列表形式，可以选择方法排除异常值；v .Rename 重命名v .Delete 删除数据组132022-3-10MATLAB工程应用工程应用例：输入数据，采用例：输入数据，采用matlab自带的文件自带的文件census。vcensus 有两个变量：cdate和pop。 v cdate是一个年向量，包括1790-1990年，v pop是对应年份的美国人口。 whos -file censusv

7、 Name Size Bytes Class Attributesv cdate 21x1 168 double v pop 21x1 168 double load census cftool(cdate,pop)142022-3-10MATLAB工程应用工程应用散点图散点图152022-3-10MATLAB工程应用工程应用v单击Data按钮162022-3-10MATLAB工程应用工程应用v在X data和Y data两个下拉式列表框中选v择变量名，将在Data对话框中显示散点图的v预览效果：172022-3-10MATLAB工程应用工程应用当选择Data sets列表框中的数据集时，单击

8、View按钮，打开View Data Set对话框。工作表方式工作表方式182022-3-10MATLAB工程应用工程应用2.数据的预处理数据的预处理在曲线拟合工具箱中，数据的预处理主要包括平滑法、排除法和区间排除法等。(1)平滑数据打开拟合工具箱，单击Data按钮，打开Data对话框，选择Smooth选项卡。192022-3-10MATLAB工程应用工程应用Smooth选项卡各选项的功能：选项卡各选项的功能：.Original data set 用于挑选需要拟合的数据集；.Smoothed data set平滑数据的名称；.Method用于选择平滑数据的方法，每一个相应数据用通过特殊的曲线平

9、滑方法所计算的结果来取代。平滑数据的方法包括：（）Moving average 用移动平均值进行替换；（）Lowess局部加权散点图平滑数据，采用线性最小二乘法和一阶多项式拟合得到的数据进行替换；202022-3-10MATLAB工程应用工程应用（）Loess局部加权散点图平滑数据，采用线性最小二乘法和二阶多项式拟合得到的数据进行交换；（）Savitzky-Golay 采用未加权的线性最小二乘法过滤数据，利用指定阶数的多项式得到的数据进行替换；（）Span用于进行平滑计算的数据点的数目；（）Degree 用于Savitzky-Golay方法拟合多项式的阶数。212022-3-10MATLAB工

10、程应用工程应用.Smoothed data sets 对于所有平滑数据集进行列表。可以增加平滑数据集，通过单击Create smoothed data set按钮，可以创建经过平滑的数据集。.View按钮 打开查看数据集的GUI，以散点图方式和工作表方式查看数据，可以选择排除异常值的方法。.Rename用于重命名。.Delete可删去数据组。.Save to workspace保存数据集。222022-3-10MATLAB工程应用工程应用（2）排除法和区间排除法）排除法和区间排除法排除法是对数据中的异常值进行排除。区间排除法是采用一定的区间去排除那些用于系统误差导致偏离正常值的异常值。在曲线拟

11、合工具中单击Exclude按钮，可以打开Exclude对话框。232022-3-10MATLAB工程应用工程应用Exclusion rule name指定分离规则的名称Existing exclusion rules列表产生的文件名，当你选择一个文件名时，可以进行如下操作： Copy 复制分离规则的文件； Rename重命名；delete 删去一个文件； View以图形的形式展示分离规则的文件。Select data set 挑选需要操作的数据集；Exclude graphically允许你以图形的形式去除异常值，排除个别的点用“”标记。242022-3-10MATLAB工程应用工程应用Che

12、ck to exclude point 挑选个别的点进行排除，可以通过在数据表中打勾来选择要排除的数据。Exclude Sections 选定区域排除数据： Exclude X选择预测数据X要排除的数据范围； Exclude Y选择响应数据Y要排除的数据范围。252022-3-10MATLAB工程应用工程应用（3）其他数据预处理方法）其他数据预处理方法其他的预处理方法不便通过曲线拟合工具箱来完成，主要包括两部分：响应数据的转换和去除无穷大、缺失值和异常值。响应数据的转换一般包括对数转换、指数转换，用这些转换可以使非线性的模型线性化，便于曲线拟合。变量的转换一般在命令行里实现，然后把转换后的数据

13、输入曲线拟合工具箱，进行拟合。262022-3-10MATLAB工程应用工程应用无穷大、不定值在曲线拟合中可以忽略，如果想把他们从数据集中删除，可以用isinf和isnan置换无穷大值和缺失值。272022-3-10MATLAB工程应用工程应用 Matlab提供两种曲线拟合方法：（1）以函数的形式（polyfit函数），使用命令对数据进行拟合。这种方法比较繁琐，需要对拟合函数有比较好的了解。（2）用图形窗口进行操作，具有简便、快速，可操作性强的优点。6.1.2 曲线拟合曲线拟合282022-3-10MATLAB工程应用工程应用曲线的参数拟合曲线的参数拟合第一步：在命令行键入cftool打开cu

14、rve fitting tool对话框；第二步： 在curve fitting tool对话框中单击Data按钮打开data对话框指定要分析的（预先存在工作区间）数据；第三步：在curve fitting tool对话框中单击fitting按钮打开fitting对话框，进行设置，实现曲线拟合。292022-3-10MATLAB工程应用工程应用Fitting对话框对话框包括两个面板：“Fit Editor”面板和“Tabe of Fits”面板。（1）Fit editor 选择拟合的文件名、数据集，选择排除数据的文件，比较数据拟合的各种方法，包括库函数、自定义的拟合模型和拟合参数的选择。（2）T

15、able of Fits 同时列出所有的拟合结果。302022-3-10MATLAB工程应用工程应用两个面板的详细描述：两个面板的详细描述：vNew fit 和 Copy fit 按钮：开始进行曲线拟合时，单击New fit按钮，它采用默认的线性多项式拟合数据。在原有的拟合形式上，选择不同的曲线拟合方法，可以用Copy fit 按钮。vFit name 选项为当前拟合曲线的名字。单击New fit 按钮时系统会产生默认的文件名。vData set 选项为当前的数据集。vExclusion rule 排除异常值的文件名，在数据预处理前建立的文件名。312022-3-10MATLAB工程应用工程应

16、用vCenter and scale X data 可对观测数据进行中心化和离散化处理。vType of fit 拟合的类型，包括参数拟合和非参数拟合两种。具体包括：v（1）Custom Equations 自定义拟合的线性或非线性方程；v（2）New equation 使用Custom Equations 按钮钱，必须单击New equation 按钮选择合适的方程；322022-3-10MATLAB工程应用工程应用（3）Exponential指数拟合包括两种形式： y=a*exp(b*x) y=a*exp(b*x)+c*exp(d*x)（4）Fourier傅立叶拟合，正弦和余弦之和（共8个

17、多项式） )*8sin()*8cos()*sin()*cos()*2sin()*2cos()*sin()*cos()*sin()*cos(8811022110110wxbwxawxbwxaawxbwxawxbwxaawxbwxaa 332022-3-10MATLAB工程应用工程应用（5）Gaussian 高斯法，包括8个公式：)2)/ )(exp(*)2)/ )(exp(*)2)/ )(exp(*888111111cbxacbxacbxa （6）Interpolant 内插法，包括线性内插、最近邻内插、三次样条内插和shape-preserving内插；（7）Polynomial多项式，从一次

18、到九次；342022-3-10MATLAB工程应用工程应用（8）Rational有理拟合，两个多项式之比，分子与分母都是多项式；（9）Power指数拟合，包括两种形式： y=a*xb y=a*xb+c（10）Smoothing spline 平滑样条拟合，默认的平滑参数由拟合的数据集来决定，参数是0产生一个分段的线性多项式拟合，参数是1产生一个分段三次多项式拟合；352022-3-10MATLAB工程应用工程应用（11）Sum of Sin Functions 正弦函数的和，采用以下8个公式： a1*sin(b1*x+c1) a1*sin(b1*x+c1)+ a8*sin(b8*x+c8)（1

19、2）Weibull 两个参数的Weibull分布，表达式如下： Y=a*b*x(b-1)*exp(-a*xb)362022-3-10MATLAB工程应用工程应用Fit options 包括一些拟合方法，如线性拟合、非线性拟合，以及其他选项；单击Apply按钮：采用上述所选各种方法进行拟合；单击Immediate apply按钮，在选择一个拟合形式后立即输出结果并存储；Results罗列进行拟合的各种参数：（1）SSE-sum of squares due to error 误差平方和，越接近0曲线的拟合效果越好（2）R-square 越接近1，曲线的拟合效果越好372022-3-10MATLA

20、B工程应用工程应用（3）Degree of Freedom Adjusted R-Square 调整自由度以后的残差的平方，数值越接近1，曲线的拟合效果越好（4）Root Mean Square Error 根的均方误差Table of fits 拟合曲线的列表，可以对每个列表做如下操作：Delete fit 删除所选的拟合曲线；Save to workspace 储存所有的拟合信息；Table options 选择与拟合相联系的信息。382022-3-10MATLAB工程应用工程应用例：例：用三次和五次多项式拟合下列数据用三次和五次多项式拟合下列数据rand(state,0) %重置生成器到

21、初始状态x=1:0.1:3 9:0.1:10;c=2.5 -0.5 1.3 -0.1;y=c(1)+c(2)*x+c(3)*x.2+c(4)*x.3+(rand(size(x)-0.5);cftool(x,y);建立一个M文件，并运行上述文件，打开曲线拟合工具392022-3-10MATLAB工程应用工程应用点击fitting按钮new fitcubic polynomial-apply402022-3-10MATLAB工程应用工程应用resultsLinear model Poly3: f(x) = p1*x3 + p2*x2 + p3*x + p4Coefficients (with 95

22、% confidence bounds): p1 = -0.09837 (-0.1095, -0.08729) p2 = 1.275 (1.113, 1.437) p3 = -0.4351 (-1.092, 0.2222) p4 = 2.56 (1.787, 3.332)Goodness of fit: SSE: 2.587 R-square: 0.9993 Adjusted R-square: 0.9993 RMSE: 0.3039412022-3-10MATLAB工程应用工程应用Results：Linear model Poly5: f(x) = p1*x5 + p2*x4 + p3*x3

23、 + p4*x2 + p5*x + p6Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = 0.001389 (-0.003589, 0.006367) p2 = -0.03441 (-0.1601, 0.09125) p3 = 0.1934 (-0.9131, 1.3) p4 = 0.2733 (-3.856, 4.402) p5 = 1.013 (-5.785, 7.811) p6 = 1.835 (-2.167, 5.837)Goodness of fit: SSE: 2.552 R-square: 0.9993 Adjusted R-squa

24、re: 0.9992 RMSE: 0.3133422022-3-10MATLAB工程应用工程应用拟合图形：拟合图形：432022-3-10MATLAB工程应用工程应用例：用有理拟合方法拟合数据例：用有理拟合方法拟合数据hahn1.mhahn1.m是matlab自带，描述铜的热膨胀与热力学温度的相关性，包括两个向量temp与thermex。 load hahn1 cftool(temp,thermex) 442022-3-10MATLAB工程应用工程应用452022-3-10MATLAB工程应用工程应用分子分母均为分子分母均为2次次462022-3-10MATLAB工程应用工程应用分子分母均为分

25、子分母均为3次次472022-3-10MATLAB工程应用工程应用分子三次、分母二次分子三次、分母二次482022-3-10MATLAB工程应用工程应用分子三次、分母二次的有理多项式拟合效果很好，拟合曲线充分体现了整个数据，残差随机分布在0附近。492022-3-10MATLAB工程应用工程应用3.非参数拟合非参数拟合 有时我们对拟合参数的提取或解释不感兴趣，只想得到一个平滑的通过各数据点的曲线，这种拟合曲线的形式称之为非参数拟合。 非参数拟合的方法包括（1）插值法Interpolants（2）平滑样条内插法Smoothing spline 502022-3-10MATLAB工程应用工程应用内

26、插法：内插法：在已知数据点之间估计数值的过程，包括Linear 线性内插，在每一队数据之间用不同的线性多项式拟合；Nearest neighbor 最近邻内插，内插点在最相邻的数据点之间；Cubic spline 三次样条内插，在每一队数据之间用不同的三次多项式拟合；Shape-preserving 分段三次艾尔米特内插.512022-3-10MATLAB工程应用工程应用平滑样条内插法：平滑样条内插法：v是对杂乱无章的数据进行平滑处理，可以用平滑数据的方法来拟合，平滑的方法在数据的预处理中已经介绍。522022-3-10MATLAB工程应用工程应用例：用内插法拟合例：用内插法拟合carbon1

27、2alpha.mat数据数据 load carbon12alpha cftool(counts,angle)fit 1Fittingtype of fitInterpolant- Nearest neighbor fit 2Fittingtype of fitInterpolant- Shape-preserving532022-3-10MATLAB工程应用工程应用542022-3-10MATLAB工程应用工程应用552022-3-10MATLAB工程应用工程应用例：用三次样条内插和集中平滑样条内插法拟合下例：用三次样条内插和集中平滑样条内插法拟合下列数据。列数据。 rand(state,0)

28、; x=(4*pi)*0 1 rand(1,25); y=sin(x)+.2*(rand(size(x)-.5); cftool(x,y)562022-3-10MATLAB工程应用工程应用572022-3-10MATLAB工程应用工程应用582022-3-10MATLAB工程应用工程应用592022-3-10MATLAB工程应用工程应用602022-3-10MATLAB工程应用工程应用v 曲线的平滑级别用Smoothing Parameter选项给定，默认的平滑参数值与数据集有关，并再单击Apply按钮以后由工具箱自动计算。对于本数据集，默认的平滑参数值接近1，表示平滑样条接近于三次样条，并且

29、几乎正好穿过每个数据点。可以自己指定参数值，为0时，生成一个分段线性多项式的拟合，为1时，生成一个分段三次多项式的拟合，它穿过所有的数据点。v fit2默认平滑参数下的平滑样条内插拟合结果效果最好。612022-3-10MATLAB工程应用工程应用4.基本的拟合界面基本的拟合界面Matlab还提供了一个方便简捷的拟合界面。它具有拟合快速，操作简便的有时，但拟合方法较少。使用步骤：（1）导入数据，并画图；（2）在tool菜单中单击Basic Fitting对话框622022-3-10MATLAB工程应用工程应用例：用基本拟合界面拟合例：用基本拟合界面拟合census.mat load censu

30、s plot(cdate,pop,ro)632022-3-10MATLAB工程应用工程应用在在tool菜单中单击菜单中单击Basic Fitting对话框对话框642022-3-10MATLAB工程应用工程应用175018001850190019502000-10-50510residualsCubic: norm of residuals = 12.2381750180018501900195020000100200300 y = 0.92*z3 + 25*z2 + 74*z + 62where z = (x - 1.9e+003)/62data 1 cubic Y = f(X)652022

31、-3-10MATLAB工程应用工程应用662022-3-10MATLAB工程应用工程应用6.2 函数运算1. 函数的极值和零点功能：求函数在给定区间的极大值、极小值和零点。注意：Matlab仅提供了用于求极小值和零点的函数，没有求解极大值的专门函数。但一般情况下可通过求其倒数函数的极小值来得到函数的极大值。672022-3-10MATLAB工程应用工程应用求函数极小值：其调用格式为： x=fminbnd(f,a,b) x,y=fminbnd(f,a,b)其中：f为待求极值的单变量函数，a、b为求极值的区间，x为函数极值点，y为极值点的函数值。例如：x,y=fminbnd(x3-2*x+1,-1

32、,1)682022-3-10MATLAB工程应用工程应用注意：上式中函数的表达式书写格式。syms xf=x3-2*x+1不可用。以下2种方式可行。f=x3-2*x+1 f = (x)x.3-2*x-5; x = fminbnd(f, 0, 2)692022-3-10MATLAB工程应用工程应用6.3 数值积分数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法(插值多项式是一次的)、辛普生(Simpson) 法(插值多项式是二次的) 等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间a,b分成n个子区间xi,xi+1，i=1,2,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题

33、就分解为求和问题。702022-3-10MATLAB工程应用工程应用数值积分的实现方法1变步长辛普生法基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：I,n=quad(filename,a,b,tol,trace)其中filename是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=10-6。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。712022-3-10MATLAB工程应用工程应用 例 求定积分解法一： (1) 建立被积函数文

34、件fesin.m：function f=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); % 第一步是建立被积函数的M文件，不能在命令窗口中直接定义。WHY？(2) 调用数值积分函数quad求定积分：S,n=quad(fesin,0,3*pi)305)6sin(dxxex722022-3-10MATLAB工程应用工程应用解法二：F = (x)exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);Q = quad(F,0,3*pi)显然，该方法相对简单。(x)的用法：表示 f为函数句柄，是定义句柄的运算符。例如，f=(x)acos(x) 相于建立函数文件：% f.mfuncti

35、on y=f(x)y=acos(x);函数句柄的使用方法和函数是一样的。732022-3-10MATLAB工程应用工程应用解法三：还有什么方法？syms xf=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);F=int(f,0,3*pi)double(F)742022-3-10MATLAB工程应用工程应用2牛顿柯特斯法基于牛顿柯特斯法，MATLAB给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式为： I,n=quad8(fname,a,b,tol,trace)其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。 该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于

36、quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。752022-3-10MATLAB工程应用工程应用Quad8不管是在精度上还是在速度上都明显高于quad，而现在这个函数已经不用了，取而代之的是quadl。quadl：该函数使用了称为洛巴托求积（Lobatto Quadrature）的算法，对于高精度和光滑函数效率更高 。762022-3-10MATLAB工程应用工程应用例 求定积分。(1) 被积函数文件fx.m。function f=fx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x);(2) 调用函数quadl求定积分。I=quadl(fx,0,pi)I = 2.4

37、6740sin( )1cos( )cos( )xxdxxx772022-3-10MATLAB工程应用工程应用例 分别用quad函数和quadl函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。(1)调用函数quad求定积分。format long;fx=inline(exp(-x);I,n=quad(fx,1,2.5,1e-10)(2) 调用函数quadl求定积分。format long;fx=inline(exp(-x);I,n=quadl(fx,1,2.5,1e-10)782022-3-10MATLAB工程应用工程应用inline函数用于定义函数。 比如，你想定义函数f(x,

38、y)=sin(x*y), 输入命令： f = inline(sin(x*y),x,y)； 以后就可以用定义的f函数进行计算： z=f(pi/180,30) 792022-3-10MATLAB工程应用工程应用3被积函数由一个表格定义在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。例 用trapz函数计算定积分命令如下：X=1:0.01:2.5;Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量trapz(X,Y)5 .21dxex802022-3-10MATLAB工程应用工程应用 4. 二重定积分的数值求解该函数求f(x,y

39、)在a,bc,d区域上的二重定积分。参数tol，trace的用法与函数quad完全相同。 使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出二重定积分的数值解。该函数的调用格式为： I=dblquad(f(x,y),a,b,c,d,tol,trace)812022-3-10MATLAB工程应用工程应用例 计算二重定积分解：(1) 建立一个函数文件fxy.m：function f=fxy(x,y)global ki;ki=ki+1; %ki用于统计被积函数的调用次数f=exp(-x.2/2).*sin(x.2+y);(2) 调用dblquad函数求解：I=dblquad(fxy,-2,2,-

40、1,1)ki 112222/)sin(2dxdyyxex822022-3-10MATLAB工程应用工程应用6.4 数值微分数值差分与差商数值差分与差商高等数学关心的是导函数的形式和性质，而数值分析关心的问题是怎样计算导函数 f (x)=g(x) 在一串离散点X=(x1,x2,xn)的近似值G=(g1,g2,gn)以及所计算的近似值有多大误差。引进记号)2/()2/()()()()()()()(hxfhxfxfhxfxfxfxfhxfxf832022-3-10MATLAB工程应用工程应用称 分别为函数在x点处以h(h0)为步长的向前差分、向后差分和中心差分。称 分别为函数在x点处以h(h0)为步

41、长的向前差商、向后差商和中心差商。当步长h(h0)充分小时，函数f在点x的微分接近于函数在该点的任意种差分。 f在点x的导数接近于函数在该点的任意种差商。)()()(xfxfxf和、hxfhxfhxf/ )(/ )(/ )(和、842022-3-10MATLAB工程应用工程应用 数值微分的实现在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff，其调用格式为：DX=diff(X) 计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,n-1。DX=diff(X,n)计算X的n阶向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X)。DX=diff(A,n,dim)计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。852022-3-10MATLAB工程应用工程应用例 生成以向量V=1,2,3,4,5,6为基础的范得蒙矩阵，按列进行差分运算。命令如下：V=vander(1:6)DV=diff(V) %计算V的一阶差分DV = 31 15 7 3 1 0 211 65 19 5 1 0 781 175 37 7 1 0 2101 369 61 9 1 0 4651 671 91 11 1 0862022-