牛顿插值公式

1、编辑课件编辑课件)(,1010 xfxxxxxxfnn 011021,xxxxxfxxxfnnn 牛顿插值公式牛顿插值公式n 阶差商阶差商)()()(xRxPxfnn 其中，其中， )(,)()(0100 xxxxfxfxPn)()(,11010 nnxxxxxxxxxf- - 牛顿插值多项式牛顿插值多项式)(,)(010ininnxxxxxxfxR - - 牛顿插值余项牛顿插值余项乘除法次数大约为乘除法次数大约为: :nn23212 较较L-L-插值法减少了插值法减少了3-43-4倍倍. .,10 xxf,10nxxxf)(0 xf牛顿插值多牛顿插值多项式系数项式系数牛顿插值多牛顿插值多项式

2、系数项式系数牛顿插值多牛顿插值多项式系数项式系数4 差商与牛顿插值多项式差商与牛顿插值多项式编辑课件编辑课件5 重节点差商重节点差商 定义定义5 ( (重节点差商重节点差商) )xxxxxfxxxfxxxxxfxxn )1(10)1(1010,lim,1)1(）（记记 ,00 xxf若若 ,)()()(lim00)1(00)1(00)1(0 xfxxxfxfxx )()()(lim00)1(00)1(00)1(0 xfxxxfxfxx ? ?,10 xxxxfdxdn 则定义则定义 类似的有类似的有!)(,)2(0)(1000nxfxxxfnn 个个分析：分析：(2)首先首先,由定义由定义!

3、1)()(,0000 xfxfxxf )()(!)()(! 2)()()()(000)(200000nnnxxoxxnxfxxxfxxxfxfxf )()(!)()(! 2)()()()(,10100)(000000 nnnxxoxxnxfxxxfxfxxxfxfxxf泰勒展开式泰勒展开式,lim)1(000)1(0 xxfxx000000000,lim,lim,00 xxxxfxxfxxxfxxxfxxxx 下下证证编辑课件编辑课件0000000,lim,0 xxxxfxxfxxxfxx 又又，! 2)(,0000 xfxxxf )()(!)()(! 3)(! 2)(20200)(000 n

4、nnxxoxxnxfxxxfxf(2)首先首先,由定义由定义! 1)()(,0000 xfxfxxf )()(!)()(! 2)()()()(000)(200000nnnxxoxxnxfxxxfxxxfxfxf )()(!)()(! 2)()()()(,10100)(000000 nnnxxoxxnxfxxxfxfxxxfxfxxf000000,xxxxfxxfxxxf 泰勒展开式泰勒展开式证明：证明：编辑课件编辑课件000000000,xxxxxfxxxfxxxxf )()(!)()(! 4)(! 3)(30300)(0040 nnnxxoxxnxfxxxfxf）（，及及! 2)(,0000

5、 xfxxxf 000000,xxxxfxxfxxxf 由由于于！）（3)(,lim,0300000000000 xfxxxxxfxxxfxxxxfxx ！）（nxfxxxfnn)(,01000 ，)()(!)()(! 3)(! 2)(20200)(000 nnnxxoxxnxfxxxfxf#编辑课件编辑课件给定给定)(xfy 的函数表的函数表)()()()(1010nnxfxfxfxfxxxx并记并记。), 1 , 0( ,)(nkfxfkk 5 差分，等距节点插值多项式差分，等距节点插值多项式5.1 差分及性质差分及性质 ,10bxxxan 且且, ), 2 , 1( , 01nkhxxk

6、k ,nabh 即即1、差分、差分), 1 , 0( ,0nkkhxxk 或或)(kkxff （1 1）记号）记号 向前差分算子；向前差分算子； ,)()(1 kkkkkffhxfxff,)2()2(2121 kkkkkffhxfhxff 在在kxx )(xf 称为称为点的步长为点的步长为h的的一阶一阶向前向前差分差分 中心差分算子中心差分算子. 定义定义6 向后差分算子；向后差分算子； 二阶向前差分；二阶向前差分；)()2(2kkff 二阶向后差分；二阶向后差分；)(2kkff 21 kf 若若,121 kkkfff 二阶中心差分；二阶中心差分； kf2 kkff 1kkkfff 1221

7、kkff212 kkkfff,1kkff 2121 kkff 112 kkkfff)()(kkxfhxf ,1kkff 、向后向后、中心中心差分差分. .分别分别编辑课件编辑课件 (3) 一般地，一般地，kmkmkmkmkmfffff11111)( 阶向前差分阶向前差分；m11111)( kmkmkmkmkmfffff 阶向后差分阶向后差分；mI I 不变算子（恒等算子）；不变算子（恒等算子）；mkkmkkffEfEf ,1kkfIf （4 4）设）设A与与B为两算子为两算子, 如如1)(,)( EIbIEakkBfAf ，则称算子，则称算子A与与B为相等。记为为相等。记为;BA 若若IBAA

8、B ，则称，则称A为为B的逆算子。记为的逆算子。记为);(11 BAAB 若若kkkfff 1()(kkkfIEIfEf （自己证）（自己证）,)(,12121212121kkkkkfEfEffEf ).(212121IEEEE ,2121 kkkfff E E 位移算子位移算子编辑课件编辑课件 2、性质、性质性质性质 1 1 )(xf的各阶差分均可用函数值表示。的各阶差分均可用函数值表示。 其中其中.!) 1() 1()(jjnnnCjnnj 证明：证明： njjknnjjf0)()1(用算子二项式定理：用算子二项式定理： njkjjnnjjknfIEfIE0)()1()( njkjjnnj

9、jknfEIfEI011)()()1()(.)()1(0 njjknjjf njkjjnnjjknfEIfEI011)()()1()(knf njkjjnnjjknfIEfIE0)()1()(得得knf 1 EIIE njkjnnjjknff0,)()1(.)()1(0 njjknjjknff即即# #编辑课件编辑课件用归纳法可证。用归纳法可证。 )., 2 , 1( ,!)(!)(,010nmhmxfhmxfxxxfmmmmmm 则则 性质性质 2 2 差分与差商的关系差分与差商的关系 令令), 1 , 0( ,0nkkhxxk ),1, 1 , 0( ,1 nkhxxkk或或 证明：证明：

10、 当当m=1时，时， hxfxxxfxfxxf)()()(,0010110 假设当假设当m=k时，有时，有 ,!)(,010kkkhkxfxxxf ,!)(,1121kkkhkxfxxxf 01, 101,21110,xxxxxfxxxfxxxxfkkkkk 则则hkhkxfhkxfkkkk)1(!)(!)(01 hkhkxfxfkkk)1(!)()(01 101)!1()()( kkhkxfxf.)!1()(101 kkhkxf#自己证自己证一般地一般地 nkhkxfxxxfhkxfxxxfkknknnknknkknnn，, 21,!)(,!)(,11 编辑课件编辑课件 性质性质3 差分与导

11、数关系差分与导数关系 ),(),()(0)(0mmmmxxfhxf 其其中中 )(mmxf 证明：证明： mmmhmxxxfxf!,)(100 性质性质2 2.)(!)()()(mmmmhfhmmf 定理定理7 7 5.2 牛顿向前插值，向后插值公式牛顿向前插值，向后插值公式 )(xfy 函数表函数表设有设有, 1 , 0,),(,(0nkkhxxxfxkkk 0 xa bxn 1x2x1 nx,bax 被插值点。被插值点。 （1）当）当 靠近靠近 (表初表初或或差头差头)时，时， 通常取插值节点：通常取插值节点：nxxx,10 x0 x以下推导以以下推导以 为节点的为节点的等距插值公式等距插

12、值公式。nxxx,10 作变换作变换 ,0thxx ,1 , 0 t,010hxxxx 此此时时，则则又由又由,0khxxk ), 1 , 0( ,)(nkhktxxk kkxxxfxxxxxx,)()(10110 kkkhkxfktttth!)()1()2)(1(0 1、公式、公式., 2 , 1,nm mmmhmxfxxxf!)(,010 自己证自己证编辑课件编辑课件 )(!)1()1(0 xfkktttk 0!)1()1(fkktttk kkxxxfxxxxxx,)()(10110 kkkhkxfktttth!)()1()2)(1(0 khkh )(,)()(0100 xxxxfxfxP

13、n)()(,11010 nnxxxxxxxxxf代入代入(4.2)：（牛顿前插公式或表初公式牛顿前插公式或表初公式）：）：即得即得牛顿向前插值公式牛顿向前插值公式 ),(),()1()!1()()(),0( ,!)()1()()()()(!)1()1()(! 2)1()()()()()()()()(01)1(0000200000nnnntknkktknnnnnxxnttthnfxRkkntttxfxfnntttxfttxftxfthxPxPxRthxPthxfxf 其中其中其中其中1)(0 t规规定定)(0 xf)(02xf )(0 xfn )(0 xf )2.5(系数系数系数系数系数系数系数

14、系数编辑课件编辑课件 作变换作变换 ,thxxn ,0 , 1 t,1nnxxx 此此时时，又又,0khxxk 则则),1 , 1,( ,)( nnkhkntxxk再由再由 ), 1( ,!1)(!1,1nkfhkxfhkxxxfknkknkkknnn （牛顿后插公式或表末公式牛顿后插公式或表末公式）：）：即得即得牛顿向后插值公式牛顿向后插值公式 ），（，）（）（）（其中其中nnnnktknknkknktkknktkknnnnnnnnnnxxnttthnfxRkktttkktttfffnntttfttftxfthxPxPxRxPxf01)1(002)()1()!1()()(!)1()1()1(

15、!)1()1()1()1(!)1()1(! 2)1()()()()()()( （2）当）当 靠近靠近 时，时，通常取插值节点：通常取插值节点：01,xxxnn xnx，以下，以下为为插值插值节点的节点的等距插值公式等距插值公式。01,xxxnn 推导以推导以)(nxfnf2 nnf nf )2.5( )(,)()(1nnnnnxxxxfxfxP及及)()(,1101xxxxxxxxxfnnnn 系数系数系数系数系数系数系数系数1 nf22 nf0fn 编辑课件编辑课件 注：注：（1）（）（5.2）、）、(5.3)使用于等距节点。使用于等距节点。 （2）（）（5.2）、）、(5.3)的系数分别为

16、的系数分别为 ，), 10( ,0nkffnkk，与与 差分表差分表2-72-7nfnxnfnfnffxnffffxfnffffffxffffxffxfnffffixfix12234443223301320412220310211000432)(34 求解方法见求解方法见表表2-72-7。03f 0f 0f02f 04f 0fn (5.2)的系数的系数(5.3)的系数的系数33 nf1 nfnf22 nf44 nf0fn nf3 nf nf2 nf4 nnf knkf nkf 编辑课件编辑课件 说明说明: :节点的取法：取与节点的取法：取与x尽量接近的节点。尽量接近的节点。注意两点注意两点，首

17、先，若，首先，若 2、计算量、计算量 （1）计算差分（计算量忽略不记）；）计算差分（计算量忽略不记）； （2）由前插（后插）公式计算近似值：）由前插（后插）公式计算近似值：（计算步骤）（计算步骤）)(!) 1() 1()(! 2) 1()()()(00200 xfnntttxfttxftxfxPnn 乘除法次数大约为乘除法次数大约为: : + +!)() 1(! 2)()1()()(00200nxfntxftxftxfn n1 n12 n秦九韶算法秦九韶算法达到了误差要求，则其他一些节点就用不到了，因此，表中的达到了误差要求，则其他一些节点就用不到了，因此，表中的n可以相当大，牛顿可以相当大，

18、牛顿插插值公式中的值公式中的n不一定就是表中的不一定就是表中的n；另外；另外,表初表初式计算。式计算。在公式中的比重是一样的。若在公式中的比重是一样的。若x不在表初、表末而在表中间，则有不在表初、表末而在表中间，则有例例4。例。例4还有另外的选取节点的方法，也可以用牛顿向后插值公还有另外的选取节点的方法，也可以用牛顿向后插值公公式中公式中 似乎占有较大比重，而从误差公式的对称性知似乎占有较大比重，而从误差公式的对称性知 0fnfff， 10编辑课件编辑课件例例4 4 已知已知 Bessel函数函数)(0 xJ函数表函数表2243115458. 09 . 21850360334. 08 . 21

19、424493700. 07 . 20968049544. 06 . 20483837764. 05 . 20025076832. 04 . 20555397844. 03 . 21103622669. 02 . 21666069803. 01 . 22238907791. 00 . 2)(0 xJx试用牛顿试用牛顿向前向前插值公式计算插值公式计算)45. 2(0J近似值。近似值。解：解：取取, 9 . 2, 8 . 2, 7 . 2, 6 . 2, 5 . 2, 4 . 2543210 xxxxxx各阶差分见表各阶差分见表2-8 编辑课件编辑课件表表2-82-8解：解：取取, 9 . 2, 8 . 2, 7 . 2, 6 . 2, 5 . 2, 4 . 2543210 xxxxxx各阶差分见表各阶差分见表2-8 6545554444332211005432101 . 2107591. 210533988. 2003311151. 00392755124. 0105491. 210809898. 20030577522. 00425866634. 010064808. 3002