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1、西南财经大学西南财经大学省级精品课程省级精品课程经济管理数学分析经济管理数学分析课题组版权所有课题组版权所有 请勿外传请勿外传 5 定积分的计算定积分的计算 (教材中的教材中的5部分部分 )经济管理数学分析经济管理数学分析 第九章定积分第九章定积分 我们知道求定积分的关键是求原函数，而求原函数的方我们知道求定积分的关键是求原函数，而求原函数的方法是求不定积分，然而不定积分中有换元法，那么定积分是法是求不定积分，然而不定积分中有换元法，那么定积分是否也有换元法，有哪些不同？否也有换元法，有哪些不同？ 在一定条件下，可以用换元积分法与分部积分法来计算在一定条件下，可以用换元积分法与分部积分法来计算

2、定积分定积分. .(5,二二,P227) 定积分的计算定积分的计算第九章定积分第九章定积分 5 5定积分的计算定积分的计算 定理定理9.12(P227) 若函数若函数 f(x) 在在a,b上连续，上连续，(t)在在,上连上连续可微，且满足续可微，且满足 则有定积分换元公式则有定积分换元公式1.定积分的换元法定积分的换元法( )( ) ( )( ) .xtbaf x dxftt dt 证证( )( )( ),baf x dxF bF a ( )dFtdt ( )f x ( )( ),ftt ( )( )ftt dt ( )( ),F xf x设设是是的的一一个个原原函函数数 ( ) ( )( )

3、,Ftftt 可可见见是是的的一一个个原原函函数数( ), (),( ), ,ab atb t dxdt dFdx ( ) t () ( )FF ( )( )F bF a ( ).baf x dx 第九章定积分第九章定积分 5 5定积分的计算定积分的计算(1)( )xtxt 用用把把积积分分变变量量 换换成成新新积积分分变变量量 时时，积积分分限限也也相相应应注注 的的改改变变. . ( )( ) ( ) ( ) ( ).(2)fttFtFtxtFt 求求出出的的一一个个原原函函数数后后，不不必必像像计计算算不不定定积积分分那那样样再再把把变变换换成成原原积积分分变变量量 的的函函数数，而而只

4、只要要把把新新积积分分变变量量 的的上上、下下限限分分别别代代入入然然后后相相减减就就行行了了解解220(0).2 ( 228) aax dxPa 例例计计算算令令sin ,xat ,xa 当当时时2t 0,x 当当时时0t cos,dxatdt 原式原式20 2201cos22at dt 2201sin222att 2.4a cosatcosatdt 2220cosatdt ; . 第九章定积分第九章定积分 5 5定积分的计算定积分的计算例例 计算计算40221xdxx 解解令令21,xt31 3311223.233tt40221xdxx 4,x 当当时时3211(3)2tdt 21,2tx

5、 则则,dxtdt 3;t 0,x 当当时时1.t ttdt 212t 2 例例3(P228)第九章定积分第九章定积分 5 5定积分的计算定积分的计算例例4(P229) 计算计算120ln(1)1xJdxx 解解 令令2tan ,sec,xtdxtdt40ln(1tan )Jt dt 402cos4lncostdtt 40ln2dt 40lncos4t dt 40lncos.tdt 4ut 令令，则有，则有40lncos4t dt 04lncos ()udu 40lncos.udu 故故120ln(1)1xJdxx 40ln2dt ln2.8 40cossinlncosttdtt 1,x 当当

6、时时;4t 0,x 当当时时0.t 第九章定积分第九章定积分 5 5定积分的计算定积分的计算证证0( )af x dx ( )(235) 3,f xa aP 当当在在上上连连例例习习题题续续，且且有有0( )( )( )2( );aaaif xf x dxf x dx 当当为为偶偶函函数数，则则( )( )( )0.aaiif xf x dx 当当为为奇奇函函数数，则则0( ),af x dx 在在中中0( )af x dx 0()aft dt 0().aft dt ()( ),ftf t 00( )( )( )aaaaf x dxf t dtf x dx 02( );af t dt ( )(

7、 )if x当当为为偶偶函函数数时时，则则()( ),ftf t 00( )( )( )0.aaaaf x dxf t dtf x dx ( )( )iif x当当为为奇奇函函数数时时，则则( )aaf x dx 0( ),af x dx ,xt 令令第九章定积分第九章定积分 5 5定积分的计算定积分的计算例例 计算计算解解21212cos.11xxxdxx 原式原式121cos11xxdxx 2120411xdxx 22120(11)41(1)xxdxx 1204(11)xdx 120441x dx 4. 2121211xdxx 偶函数偶函数奇函数奇函数P228例例1第九章定积分第九章定积分

8、 5 5定积分的计算定积分的计算(),uvu vuv 因因为为()bauv dx 则则 bauv .bbbaaaudvuvvdu所所以以2.定积分的分部积分法定积分的分部积分法9.13( ( ), (22), 9) u x v xbPa 若若为为 上上的的连连续续可可微微函函数数，则则有有定定积积分分分分部部定定理理积积分分公公式式: : .bbbaaaudvuvvdu bau vuvdx ()bauv dx ,bauv ,bbaau vdxuv dx,bbaavduudv 而而第九章定积分第九章定积分 5 5定积分的计算定积分的计算例例 计算计算10arctan.xxdx 解解2101arc

9、tan2xx 120arctanx dx 12 4 2120112xdxx 8 101arctan2x 142. 例例5(P230)10arctanxxdx 1201arctan2xdx 112001121dxdxx 182 8 12011121dxx 第九章定积分第九章定积分 5 5定积分的计算定积分的计算20 sin.xexdx 例例解解20sinxex 220cosxexde 2e 2201sin,xeexdx 2201 sin(1).2xexdxe 故故20sinxexdx 20sinxxde 20sinxe dx 2e 20cosxexdx 20cosxex 20cosxe dx 第

10、九章定积分第九章定积分 5 5定积分的计算定积分的计算例例6(P230) 计算计算2200sincos0,1,2,.nnxdxxdxn 和和，证证20sinnnJxdx 当当n2时，用分部积分法求得时，用分部积分法求得210( sincos )nxx 220(1)sinnnxdx 2(1)nnJ 21,2.nnnJJnn 移项整理后得到递推公式移项整理后得到递推公式210cossinnxdx 210sinsinnxdx 2220(1)sincosnnxxdx 210sincosnxdx 2220(1)sin(1sin)nnxx dx 20(1)sinnnxdx (1),nnJ第九章定积分第九章

11、定积分 5 5定积分的计算定积分的计算221 235 3 1(21)!,2226 4 2 2(2)!2mmmmJmmm 212226 4 2(2)!1.21 217 5 3(21)!mmmmJmmm 重复利用上面的递推公式，便得重复利用上面的递推公式，便得220100,sin1,2JdxJxdx 由由于于2xt 令令，可可得得20cosnxdx 因而这两个定积分是等值的因而这两个定积分是等值的.(12) 20cos ()2nt dt 20sin,ntdt 第九章定积分第九章定积分 5 5定积分的计算定积分的计算*沃利斯公式沃利斯公式(Wallis)：2(2)!1lim.(231)2(21)!2

12、1mmPmm 证证 由由2210sinmxdx 220sinmxdx 2210sinmxdx 由公式由公式(12)(P227)得：得：(2)!(21)!mm (21)!(2)!2mm (22)!(21)!mm 由此又得由此又得2(2)!1(21)!21mmAmm2(2)!1(21)!2mmBmm 因为因为0mmBA2(2)!1(21)!2(21)mmmm 12 2m 所以所以lim()0,mmmBAlim.2mmA 2 21sin mx 2sin mx 21sinmx 2mB 而 而 0 ()m 0 ,2mmmABA 而 故得而 故得第九章定积分第九章定积分 5 5定积分的计算定积分的计算*3

13、. 泰勒公式的积分型余项泰勒公式的积分型余项(P231三三) , ( )( )1a bu xv xn 若若在在上上，有有阶阶连连续续导导数数，则则有有(1)( )(1)( )( ) ( )( )( )( )bnnnau x vx dxu x vxu x vx ( )1(1)( 1)( ) ( )( 1)( ) ( )bbnnnnaaux v xux v x dx (1,2,)n 00()1,fxU xn 设设函函数数 在在点点 的的某某邻邻域域内内有有阶阶连连续续导导数数 令令0(),xU x 于是于是00( )1(1)()( )()( )!( )0( )xxnnnnxxxtftn xtftn

14、 f tf t dt !( )n f x 0(1)()( )xnnxxtft dt !( ).nn Rx 0( )() , ( )( ), .nu txtv tf ttxx ( )00000()!( )! ()()()() !nnfxn f xnf xfxxxxxn (P139)推广的分部积分公式推广的分部积分公式(P231)( )1(1)00000()()()()!()nnnnxxfxn xxfxn f x 由此求得由此求得0(1)1( )( )(),!xnnnxRxftxtdtn 称为称为积分型余项积分型余项(P232).利用推广的积分第一中值定理利用推广的积分第一中值定理(P218定理定理9.8)，可得：，可得：0(1)1( )( )()!xnnnxRxfxtdtn (1)101( )(),(1)!nnfxxn 00(),01)xxx其其中中即即拉格朗日型余项拉格朗日型余项(P142).(1)01( )( )() ()!nnnRxfxxx