中考数学复习相似专项综合练习及详细答案

1、中考数学复习相似专项综合练习及详细答案一、相似1.如图，在DABCDh对角线AC、BD相交于点O,点E、F是AD上的点，且AE=EF=FD.连结BE、BFo使它们分别与AO相交于点G、H(1)求EG:BG的值(2)求证：AG=OG(3)设AG=a,GH=hHO=c,求a:b:c的值【答案】(1)解：二四边形ABCD是平行四边形,I.AO=2AC,AD=BQAD/BC,2 .AEGACBG,EGAGAE.而=位=比.3 .AE=EF=FDBC=AD=3AE4 .GC=3AGGB=3EG5 .EG:BG=1:3(2)解：.GC=3AG(已证),.AC=4AG,1.AO=AC=2AG.GO=AO-A

2、G=AG(3)解：AE=EF=FDBC=AD=3AEAF=2AE.1.AD/BC,.AFHACBhl,AhAh2AE2.而=应=丸二，Ahgg=4,即AH=JAC.,.AC=4AG,.a=AG=：AC,213b=AH-AG=WAC-丁AC=，AC,c=AO-AH=二AC-5AC=/6AC,.a：b：c=»【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AO=AC,AD=BC,AD/BC,从而可证得AEgCBG,得出对应边成比例，由AE=EF=FD可得BC=3AE就可证得GB=3EG即可求出EG:BG的值。(2)根据相似三角形的性质可得GC=3AG就可证得AC=4AG从而可得AO=2AG

3、,即可证得结论。Ig(3)根据平行可证得三角形相似，再根据相似三角形的性质可得AG=AC,AH=AC,结合/AO=-AC,即可得到用含AC的代数式分别表示出a、b、c,就可得到a：b:c的值。abc卜二一二2.已知线段a,b,c满足326,且a+2b+c=26.(1)判断a,2b,c,b2是否成比例；(2)若实数x为a,b的比例中项，求x的值.abc-=R【答案】(1)解：设3二,讶，则a=3k,b=2k,c=6k,又a+2b+c=26,.3k+2x2k+6k=26军得k=2,a=6,b=4,c=12;.-2b=8,b2=i6,.a=6,2b=8,c=12,b2=16-2bc=96,ab2=6

4、X16=962bc=ab2a,2b,c,b2是成比例的线段。(2)解：:x是a、b的比例中项，x2=6ab,.x2=6X4内6，x=12.【解析】【分析】(1)设已知比例式的值为k,可得出a=3k,b=2k,c=6k,再代入a+2b+c=26,建立关于k的方程，求出kl的值，再求出2b、b2,然后利用成比例线段的定义，可判断a,2b,c,b2是否成比例。(2)根据实数x为a,b的比例中项，可得出x2=ab,建立关于x的方程，求出x的值。3.如图，抛物线y=-+bx+c过点A(3,0),B(0,2).M(m,0)为线段OA上一个动点(点M与点A不重合)，过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线

5、分别交于点P、N.(1)求直线AB的解析式和抛物线的解析式；(2)如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标;(3)如果以B,巳N为顶点的三角形与4APM相似，求点M的坐标.加+q=6<1=2【答案】(1)解：设直线AB的解析式为y=px+q,把A(3,0),B(0,2)代入得2直线AB的解析式为y=-0x+2;把A(3,0),B(0,2)代入y=-+bx+c得1Gb3c-2lb，抛物线解析式为y=x2+x+2(2)解：M(m,0),MNx轴,1.N(m,m2+m+m+2),P(m,-Jm+2),，NP=-Jm2+4m,PM=-1m+2,而NP=PM,-imm2+4m=-jm+2,解得m

6、i=3（舍去），m2=J,(3)解：.A(3,0),B(0,2),P(m,Jm+2),而NP=-.m2+4m,.MN/OB,/BPN=ZABO,Pbg4当Ob=朋时，BPNMOBA,则BPNMMPA,即3m：2=(-.m2+4m).班，整理得8m2-11m=0,解得mi=o(舍去)，m2=8,11此时M点的坐标为(8,0);PBPha/B4当皿=应时，ABRNsABO,则bpng/dapm,即3m：3=(-Jm2+4m)2,日整理得2m2-5m=0,解得mi=0（舍去），m2=上，目此时M点的坐标为（3,0）;115综上所述，点M的坐标为（8,0）或（一，0）【解析】【分析】（1）因为抛物线和

7、直线AB都过点A（3,0）、B（0,2）,所以用待定系数法求两个解析式即可；（2）由题意知点P是MN的中点，所以PM=PN;而MN上OA交抛物线与点N,交直线AB于点P,所以M、P、N的横坐标相同且都是m,纵坐标分别可用（1）中相应的解析式表示，即P(m,),N(m,3"),PM与PN的长分别为相应两点的纵坐标的绝对值，代入PM=PN即可的关于m的方程，解方程即可求解；(3)因为以B,巳N为顶点的三角形与MPM相似，而MPM是直角三角形，所以分两种情况：当/PBN软/时，则可得PBNMPMA,即得相应的比例式，可求得m的值;当/PNB=加一时，则可得PNBsPMA,即得相应的比例式，

8、可求得m的值。4.如图，在4ABC中,AB=AC,/BAC=90°,AHXBC于点H,过点C作CD,AC,连接AD,点M为AC上一点，且AM=CD,连接BM交AH于点N,交AD于点E.RHC(1)若AB=3,AD=®,求BMC的面积；(2)点E为AD的中点时，求证：AD=BN.图1在4ABM和ACAD中，/AB=AC,ZBAM=ZACD=90,AM=CD,AABMACAD,BM=AD=,AM=袅卡/=1,CM=CA-AM=2,.S/bcm=？CM?BA=-X23=3(2)解：如图2中，连接EGCN,彳EQ±BC于Q,EP±BA于P.AE=ED,/ACD=

9、90°,AE=CE=ED,/EAC玄ECA,-.ABMACAD,/ABM=ZCAD,.ABMAECM,/ABM=/MCE,ZAMB=/EMC,:'人CEM=ZBAM=90；郎不随a.琉劭，./AME"BMC,.AMEsBMC,，/AEM=/ACB=45°,，/AEC=135°,易知/PEQ=135°,./PEQ=/AEC,，/AEQ=/EQCZP=ZEQC=90,°EPAEQC,.EP=EQ/EP±BP,EQ,BC.BE平分/ABC,，/NBC=/ABN=22.5；AH垂直平分BC,.NB=NC,/NCB=ZNBC=

10、22.5,°，/ENC=ZNBC+/NCB=45；.AENC的等腰直角三角形，NC=工EG.AD=2EC,.-.2NC="AD,.AD=NC,/BN=NC,，AD='=BN.【解析】【分析】(1)首先利用SAS判断出ABMACAD,根据全等三角形对应边相等得出BM=AD=以根据勾股定理可以算出AM,根据线段的和差得出CM的长，利用1Sabcm=-7CM7BA即可得出答案；(2)连接EGCN,作EQ±BC于Q,EP±BA于P.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AE=CE=ED根据等边对等角得出/EAC=ZECA,根据全等三角形对应角相等得

11、出ZABM=ZCAD,从而得出/ABM=/MCE,根据对顶角相等及三角形的内角和得出/CEM=/BAM=90；从而判断出ABMsECM,由相似三角形对应边成比例得出BM:CM=AM:EM,从而得出BM:AM=CM：EM,根据两边对应成比例及夹角相等得出AMEABMC,故/AEM=/ACB=45；/AEC=135；易知/PEQ=135；故/PEQ=/AEC,/AEQ=ZEQC,又/P=/EQC=90，。故EPAEQQ故EP=EQ根据角平分线的判定得出BE平分/ABC,故/NBC=ZABN=22.5°,根据中垂线定理得出NB=NC,根据等腰三角形的性质得出/NCB=ZNBC=22.5,故

12、/ENC=ZNBC+ZNCB=45,ENC的等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边之间的关系得出NC=亚EC,根据AD=2EC,2NC=AD,AD=.NC,又BN=NC,故AD=.BN.5.如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点，与y轴交与点C.(2)若点D是y轴上的点，且以B、C、D为顶点的三角形与4ABC相似，求点D的坐标；(3)如图2,CE/X轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC、CE分别相交于点F,G,试探求当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积.

13、【答案】(1)解：把A(-1,0),B(5,0)代入y=ax2+bx-5可得(2)解：如图1,令x=0,则y=-5,C(0,-5),.OC=OB,/OBC=ZOCB=45；.AB=6,BC=5''，ABBCABBC要使以B,C,D为顶点的三角形与4ABC相似，则有CD取或无ABBC当灰时,CD=AB=6,.D(0,1),图.CD=3,D(0,),J6即：D的坐标为(0,1)或(0,3);(3)解：设H(t,t2-4t-5):“壁IIx轴，：一咕二-齿，又因为点E在抛物线上，即|/一介方=-5,解得|打工凡(舍去)心二(JE(4f-5)rI：*B(5.ohc(or-到-BC所在直

14、线解析式为y=x-5,“.HF=t-5-(t2-4t-5)=一炉+.I尸化F-励则S国迸覆曲-二心必二而CE是定值，当HF的值最大时，四边形CHEF有最大面积。A26当二:时，HF取得最大值/,四边形CHEF的最大面积为/125支-CEHFX4X二TOO./J?,435fBBB->BBBKi2)分两种情况，利BC的解析式，进而求出四此时hG：,)【解析】【分析】(1)根据待定系数法直接确定出抛物线解析式；用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；(3)先求出直线边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出最大值；6.如图，在RtABC中，ZC=90°,顶点A、C的坐标分别为(-1,2

15、),(3,2),点B在x轴上，点B的坐标为(3,0),抛物线y=-x2+bx+c经过A、C两点.(1)B求该抛物线所对应的函数关系式；5(2)点P是抛物线上的一点，当Sapab=3Saabc时，求点P的坐标;6(3)若点N由点B出发,以每秒个单位的速度沿边BCCA向点A移动，J秒后，点M也由点B出发，以每秒另一个点也停止移动，点写出解答过程.【答案】(1)解：将点个单位的速度沿线段BO向点O移动,N的移动时间为t秒，当MNLAB时,A(-1,2),C(3,2),代入抛物线一解得fc-2y=-x2+2x+5.(2)解:点A(-1,2),B(3,0),C(3,2),BOXx轴，AC=4,BC=2S

16、c=CXBC=-X4X2设直线AB为y=mx+n,将点A(-1,2),B(3,0),代入可得设点P(x,Hi当其中一个点到达终点时请直接写出t的值，不必y=x2+bx+c中,直线AB为y=广+/孑$),过点P作PN±x轴，交直线AB于点M,则M(x,则点-7t(4,-3)(3)解：当3"'"3时，如图1,点N在BC的线段上，BN=5'，BM='&,JA国1.MNXAB,上应*/必"外又.A(-1,2),B(3,0),C(3,2),.AC/x轴,BC/y轴,/ACB=90;a=/ADN=ZACB=90,2DAN=ZCAB,/

17、BDM=ZACB=90，/DBM=ZCAB,解得t=由A(-1,2),B(3,0),得AB=W'.3产+F=入切,设AD=a,则BD=1后-白,.ADN-AACB,又/MBN=ZACB=90,BNM-ACAB,点N在线段AC上，如图2,MN与AB交于点D,BM=.BDM-AACB,解得综上，【解析】【分析】(1)将点A(T,2),C(3,2),代入抛物线y=-x2+bx+c中，联立方程组解答即可求出b和c的值；(2)由A(-1,2),B(3,0),C(3,2)可求出直线AB)，过点P作PNI±x的解析式和$一起d，从而求出54月就设PP(x,轴，交直线AB于点M,则M(x,-

18、x代入求出P的横坐标x的值，再代入抛物线的解析式求出点P的纵坐标；(3)首先要明确时间t表示点N运动的时间，由点M,N的速度可求出它们当到达终点时的时间t,取其M只在线段OB上运动，点N在线段BC和线段N在线段BC上时和当点N在线段AC上时,中的较小值为t所能取到的最大值；由点AC上运动，则要分成两部分进行讨论，当点并分别求出相应时间t的取值范围；结合相似三角形的判定和性质得到相应边成比例，列方程解答即可.7.如图(1),已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE±BC,垂足为点巳GF±CD,垂足为点F.邸图(1)证明与推断：求证：四边形CEGF是正方形；推断:AG：BE

19、的值为(2)探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转(0°<“V45。)，如图(2)所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：(3)拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B,E,交AD于点H.若AG=6,GH=2五,则F三点在一条直线上时，如图(3)所示，延长CGBC=【答案】(1)证明：二四边形ABCD是正方形,/BCD=90,°/BCA=45,°-.GE±BCGFXCD,/CEG=ZCFG=ZECF=90,°，四边形CEGF是矩形，/CGE=ZECG=45,°EG=EC，四边形CEGF是正方形小(2)

20、解：连接CG,D由旋转性质知/BCE1ACG=,在RtACEG和RtACBA中,Cb1=1=cos45=°?、Ci=cos45=°-C6CA-CE=CB.ACGABCE,.庭CB',线段AG与BE之间的数量关系为AG=V-BE点【解析】【解答】(1)由知四边形CEGF是正方形,B、E、F三点共线,/CEG4B=90,°/ECG=45,°/BEC=135,°.ACGABCE,./AGC=/BEC=135,°/AGH=ZCAH=45；/CHA=ZAHG,.AHGsCHA,.而二施一不，设BC=CD=AD=a贝UAC=.a,AGGh

21、61/3则由AC/加得*，AH=3a,1则DH=AD-AH=.a,CH=十加=3a,I2d63AGAh巾ayflb=(3二.由"得3,解得：a=3名，即BC=3故答案为：33【分析】(1)根据正方形的性质得出/BCD=90,/BCA=45,根据垂直的定义及等量代换得出/CEG=ZCFG=ZECF=90,根据三个角是直角的四边形是矩形得出四边形CEGF是矩形，根据三角形的内角和得出/CGE=ZECG=45,根据等角对等边得出EG=EC根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可得出四边形CEGF是正方形；根据正方形的性质得出GE/CD,根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出GE/AB,根据平

22、行线分线段成比例定理得出GC：EC=AG：BE,根据等腰直角三角形的边之间的关系得出GC：EC='?,从而得出答案；函数的定义得出(2)连接CG,由旋转性质知/BCEWACG=,根据余弦CEW值<3-8号而,-r口号45-CG2CA2CGCACECBACGSBCE,根据相似三角形对应边的比等于相似比即可得出结论线段数量关系为AG=.BE;(3)根据/CEF=45,点B、E、F三点共线，由邻补角定义得出从而判断出AG与BE之间的BBEC=135,根据ACGABCE,得出/AGC=/BEC=135°,故/AGH=/CAH=45°,然后判断出AHGACHA,根据相似

23、三角形对应边成比例得出AG：AC=GH：AH=AH：CH,设BC=CD=AD=a则AC=：a,根据比例式得出关于AH的方程，求解AH的值，根据DH=AD-AH表示出DH,根据勾股定理表示出CH,根据前面的比仞式得出关于a的方程，求解得出a的值，从而得出BC的值。8.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,点P是边AB上的一动点，连结DPADj/A小(1)若将4DAP沿DP折叠，点A落在矩形的对角线上点A'处，试求AP的长；(2)点P运动到某一时刻，过点P作直线PE交BC于点E,将DAP与PBE分另I沿DP与PE折叠，点A与点B分别落在点A,B'处，若P,A,B'三点

24、恰好在同一直线上，且AR'2,试求此时AP的长；(3)当点P运动到边AB的中点处时，过点P作直线PG交BC于点G,将4DAP与4PBG分别沿DP与PG折叠，点A与点B重合于点F处，连结CF,请求出CF的长.【答案】(1)解：当点A落在对角线BD上时，设AP=PA'=x,当点A落在对角线AC上时,由翻折性质可知:AEAD*BLB。，.ap=AB在RtADB中，AB=4,AD=3,.BD=、/*/=5,.AB=DA'=3,BA=2,.J在RtBPA中，（4x）2=x2+22,解得x=-,.AP=2.PD±AC,贝U有DAgMBC,.AP的长为叵或力(2)解：如图3

25、中，设AP=x,则PB=4-x,图3根据折叠的性质可知：PA=PA'=x,PB=PB=4-x,-'A=B2,4xx=2,x=1,PA=1;如图4中，Pg小¥广3Ec图4设AP=x,贝UPB=4-x,根据折叠的性质可知：PA=PA'=x,PB=PB=4-x,.A'君2,.x-(4x)=2,.x=3,PA=3;综上所述，PA的长为1或3(3)解:如图5中，作FH,CD由H.|>由翻折的性质可知；AD=DF=3.BG=BF,G、F、D共线，设BG=FG=x,在RtAGCD中，(x+3)2=42+(3-x)2,a乙解得x=J,DG=DF+FG=3,CG=

26、BC-BG=',F.FHDHDFDHl13-'FH/CG,(6=-；=D6,-1='=【解析】【分析】（1）分两种情形：当点A落在对角线BD上时，设AP=PA=x构建方程即可解决问题；当点A落在对角线AC上时，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题；（2）分两种情形分别求解即可解决问题；（3）如图5中，作FHI±CD由H.想办法求出FH、CH即可解决问题9.如图，正方形ABCD的边长为4,点E,F分别在边AB,AD上，且/ECF=45°,CF的延长线交BA的延长线于点G,CE的延长线交DA的延长线于点H,连接AC,EF.,GH.备用图（1）求/AH

27、C苴/ACG的大小关系（冬”或2"或竺”）（2）线段AC,AG,AH什么关系？请说明理由；（3）设AE=m,4AGH的面积S有变化吗？如果变化.请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值.请直接写出使4CGH是等腰三角形的m值.【答案】（1）二.四边形ABCD是正方形，,-.AB=CB=CD=DA=4,/D=/DAB=90°ZDAC=ZBAC=45°,.AC=W一/=人-，/DAC=/AHC+ZACH=45°,/ACH+ZACG=45°,/AHC=/ACG.故答案为=.(2)解：结论：AC?=AG?AH.理由：ZAHC=ZACG,/CAH

28、=/CAG=135°,.AHCAACG,AHAC：ACAG,.AC2=AG?AH.(3)解：AAGH的面积不变.L?1/116.理由：.Sxagh=1?AH?AG=EAd=jX(4。三)2=.AGH的面积为16.如图1中，当GC=GH时，易证AAHGABGC,可得AG=BC=4,AH=BG=8,1.BO/AH,BCBE1.而一9二,AF1b目.AE=AB=J.如图2中，当CH=HG时,易证AH=BC=4,1.BC/AH,悭BC.彘一记=1,.AE=BE=2.如图3中，当CG=CH时，易证/ECB=/DC已22.5./BME=ZBEM=45°,/BME=ZMCE+ZMEC,/

29、MCE=/MEC=22.5,°.CM=EM,设BM=BE=m,贝UCM=EMt2m,m+''二m=4,m=4（-1）,AE=4-4（%二-1）=8-4，综上所述，满足条件的m的值为3或2或8-41【解析】【分析】（1）证明/DAC=/AHC+ZACH=45,/ACH+ZACG=45,即可推出/AHC=/ACG;（2）结论：AC2=AG?AH.只要证明AH8ACG即可解决问题；（3）4AGH的面积不变.理由三角形的面积公式计算即可；分三种情形分别求解即可解决问题.10.如图，在4ABC中，/C=90：AE平分/BAC交BC于点E,O是AB上一点，经过A,E两点的。交AB

30、于点D,连接DE,作/DEA的平分线EF交。O于点F,连接AF.B(1)求证：BC是。的切线；9(2)若sin/EFA=1,AF=天工1求线段AC的长.【答案】(1)解：如图1,连接以，.ZOAE；ZCAIOEA=ZCAL&/北，:./眼上/-如I.-.0E±BC.欠为匕的半径，加是0C的切线.(2)解：如图2,连接的.FH5由题可知必为®的直径,.上限=/力力;如1.昂平分二阳,.一两=ZAEF=犷|.上出济=ZDEF=15°.AFD为等腰直角三角形,浒Z守卜；.在信出现中，/卢+2户=.w-,卜尚-至/可八除忌/.-;鼻.一百阴=ZEDA,sinZEF

31、A二二§,sinEDA-sixiEFA在仇八曲中,sinZ£7d-.AE-AD'sin/£M-10X-6.CAE/匹比，仁=仍？宛d,|JGs皿.,仞川5（或6.4）【解析】【分析】（1）连接OE,根据等腰三角形的性质和角平分线定义可得上阳让,根据平行线的判定可得OE/AC,再由平行线的性质可得/BEO=/C=90；即可证得结论；（2）连接比1，根据已知条件易证团质dADP中，根据勾股定理求得和二14.根据同弧所对的圆周角相等及已知条件可得sinER-l=sln/fTH:一,.在后d，拓底中求得AE的长，再证明A心&AAED根据相似三角形的性质即可

32、求得线段AC的长.11.如图，半径为4且以坐标原点为圆心的圆。交x轴，y轴于点B、D、A、C,过圆上的动点不与A重合，作性上刚,且加PA住在AP右侧|J.（1）当P与C重合时，求出E点坐标；（2）连接PC,当R-6时，求点P的坐标;(3)连接OE,直接写出线段OE的取值范围.【答案】(1)解：当P与C重合时，PEPA,|。0的半径为4,且PEPArti在AP右侧I)，.：PEPA8,匕点坐标为电一)；(2)解：如图，作PF上AC于点F,：ZTFP=ZtPA=90:PCF/ncR,PCEs4ACP,CFK.一记一族?CFjV.'丁一工25；.：OF-7=-88?人国7队房7(-L,-)(-,-)，：点P的坐标为S8或内卜;可得BE-人口根据BEOBWOEWBE，OB,即可得出OE的取值范围.12.如图，矩形ABCD的边AB=3cm,AD=4cm,点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆。，点F为圆O与射线BD的公共点，