九年级培优初中数学旋转辅导专题训练及答案

1、九年级培优初中数学旋转辅导专题训练及答案一、旋转1.已知正方形ABCD的边长为4,一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与BCDC的延长线交于点E、F,连接EF,设CE=a,C已b.(1)如图1,当a=4&时，求b的值；(2)当a=4时，在图2中画出相应的图形并求出b的值；(3)如图3,请直接写出/EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式.图1图2图3【答案】(1)4V2；(2)b=8;(3)ab=32.【解析】试题分析：(1)由正方形ABCD的边长为4,可得AC=46，/ACB=45°.再CE=a=4j2,可得/CAE=/AEC,从而可得/CAF的度

2、数，既而可得b=AC;(2)通过证明ACD4ECA即可得；(3)通过证明ACD4ECA即可得.试题解析：(1)正方形ABCD的边长为4,.-.AC=472,ZACB=45°.CE=a=472，/CAE=/AEC=丝-=22.5/CAF=/EAF-/CAE=22.5°,2/AFC=/ACD-/CAF=22.5，CAF=/AFQ.b=AC=CF=4我；(2) ZFAE=45°,ZACB=45°,./FAU/CAE=45°,/CAE+/AEC=45°,./FACACCF.4/2_CECCA'44V2'=/AEC又./ACF=

3、/ECA=135°,AACFAEC/8,即b=8.(3) ab=32.AC提不：由(2)知可证ACQECA,ECCF42,CAab4.2.ab=32.2.如图1,点O是正方形ABCD两对角线的交点.分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE.(1)求证：DELAG;(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转次角(0之360°)得到正方形OFF'。'，如图2.在旋转过程中，当/力/行是直角时，求皮的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条直角边所对的锐角为30度)若正方形

4、ABCD的边长为1,在旋转过程中，求长的最大值和此时。的度数，直接写出结果不必说明理由.【答案】(1)DE，AG(2)当/"A行为直角时，a=30或150°.315°【解析】分析：(1)延长ED交AG于点H,证明四根据等量代换证明结论；(2)根据题意和锐角正弦的概念以及特殊角的三角函数值得到£W=3(T,分两种情况求出。的度数；(3)根据正方形的性质分别求出OA和OF的长，根据旋转变换的性质求出AF'长的最大值和此时M的度数.详解：|(1)如图1,延长ED交AG于点H,',"点。是正方形ABCD两对角线的交点,在月。和。门E中，

5、OA=OD乙4。=上U。"9。'DOE上=上，UG0+4/K?=9(r/LGAOI"EO=9(T即pn4q；如图2,在旋转过程中，上。八?成为直角有两种情况:G'Ki）我由0,增大到"0过程中，当4M"90"时，11?。4Of）06怦1,'在RtA"#/'中，sin/AGO1*'-,7版二30'?由1。凡。/11付，,，0D/A6150G*="G*0=30口?即。=30,1；（n）o由900增大到18°'过程中，当匕。八C=9（T时,同理可求£ROG

6、'=35二1眦一胱=1501综上所述，当乙MG'=90"时，取=30"或15卜.当旋转到A、O、厂,在一条直线上时，月F的长最大,正方形ABCD的边长为1,rOA-OD-OC-OU-2,*,0G=2叫W2.，AF'=A0+0F=+22,入此时优=315".点睛：考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角形函数，旋转变换的性质的综合应用，有一定的综合性，注意分类讨论的思想3.如图，在OABCD中，AB=10cm,BC=4cm,/BCD=120°,CE平分/BCD交AB于点E.点P从A点出发，沿AB方向以1cm/s的速度运动

7、，连接CP,将PCE绕点C逆时针旋转60°,使CE与CB重合，得到AQUB,连接PQ.(1)求证：4PCQ是等边三角形；(2)如图，当点P在线段EB上运动时，4PBQ的周长是否存在最小值？若存在，求出4PBQ周长的最小值；若不存在，请说明理由；(3)如图，当点P在射线AM上运动时，是否存在以点P、B、Q为顶点的直角三角形？(3)【答案】(1)证明见解析；(2)存在，理由见解析；(3)t为2s或者14s.【解析】分析：(1)根据旋转的性质，证明PC®4QCB,然后根据全等三角形的性质和等边三角形的判定证明即可；(2)利用平行四边形的性质证得4BCE为等边三角形，然后根据全等三

8、角形的性质得到PBQ的周长为4+CP,然后垂线段最短可由直角三角形的性质求解即可；(3)根据点的移动的距离，分类讨论求解即可.详解：(1)二旋转.-.PCEAQCB，CP=CQ/PCE=/QCB, /BCD=120,°CE平分/BCD,/PCQ=60； /PCE吆QCE=ZQCB+ZQCE=60,° .PCQ为等边三角形.(2)存在.CE平分/BCD,/BCE=60,.在平行四边形ABCD中， .AB/CD/ABC=180-120=60°BCE为等边三角形BE=CB=4 旋转.,.PCEAQCB .EP=BQ CapbcfPB+BQ+PQ=PB+EP+PQ=BE+

9、PQ=4+CP.-.CP±AB时，PBQ周长最小当CP,AB时，CP=BCsin60=2>/3 .PBQ周长最小为4+2百(3)当点B与点P重合时，P,B,Q不能构成三角形当0wy6时，由旋转可知，/CPE=ZCQB,/CPQ=ZCPB+ZBPQ=60°则：/BPQ+/CQB=60°,又/QPB+ZPQC+ZCQB+ZPBQ=180/CBQ=1806060=60°/QBP=60；BBPQ<60°,所以/PQB可能为直角由(1)知，PCQ为等边三角形，/PBQ=60；/CQB=30°/CQB=/CPB/CPB=30°

10、;/CEB=60；/ACP=/APC=30°PA=CA=4,所以AP=AE-EP=6-4=2所以占212s当6vtv10时，由/PBQ=120°>90°,所以不存在当t>10时，由旋转得：/PBQ=60°,由（1）得/CPQ=60°/BPQ=/CPQ+/BPC=60+°/BPC,而/BPC>0°,/BPQ>60°/BPQ=90；从而/BCP=30BP=BC=4所以AP=14cm所以t=14s综上所述：t为2s或者14s时，符合题意。点睛：此题主要考查了旋转图形变化的应用，结合平行四边形、等边

11、三角形、全等三角形的判定与性质，进行解答即可，注意分类讨论思想的应用，比较困难4.把两个直角边长均为6的等腰直角三角板ABC和EFG叠放在一起（如图），使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点。重合.现将三角板EFG绕。点顺时针旋转（旋转角a满足条件：0°<a<90°）,四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图）.（1）探究：在上述旋转过程中，BH与CK的数量关系以及四边形CHGK的面积的变化情况（直接写出探究的结果，不必写探究及推理过程）；（2）利用（1）中你得到的结论，解决下面问题：连接HK,在上述旋转过程中，是否存在15某一位置，使4G

12、KH的面积恰好等于4ABC面积的右？若存在，求出此时BH的长度；若不存在，说明理由.I5I【答案】（1）BH=CK;（2）存在，使GHH的面积恰好等于ABC面积的三的位置，此时BH的长度为3上巫.【解析】（1）先由ASA证出CGKBGH,再根据全等三角形的性质得出BH=CK根据全等得出四边形CKGH的面积等于三角形ACB面积一半；（2）根据面积公式得出Sghk=S四边形ckgh-Sackh=2x2-3x+9,根据GKH的面积恰好等于ABC面积的3,代入得出方程1x2-3x+9=X-X6.6求出即可.122122解：（1）BH与CK的数量关系：BH=CK理由是：连接OC,由直角三角形斜边上中线性

13、质得出OC=BGAC=BC,。为AB中点，/ACB=90,/B=/ACG=45;CO±AB,/CGB=90=ZKGH, 者B减去/CGH得：/BGH=ZCGK在4CGK和4BGH中ZKCfZECG二BG,/KGC:NBGH .CGKABGHI(ASA)， .CK=BH即BH=CK；CQGZ的面四边形CHGK的面积的变化情况：四边形CHGK的面积不变，始终等于四边形积，即等于4ACB面积的一半，等于9;5（2）假设存在使4GKH的面积恰好等于ABC面积的一的位置.12设BH=x,由题意及（1）中结论可得，CK=BH=xCH=CB-BH=6-x,.SachK=1CHXCK=3x1x2,2

14、212、J2.Saghk=S四边形ckghSackh=9(3xx2)x2-3x+9,5GKH的面积恰好等于ABC面积的一，12工x2-3x+9=XX6X62122解得x3J6,x23V6（经检验，均符合题意）存在使GKH的面积恰好等于ABC面积的5的位置，此时x的值为366.熏睛”本题考查了旋转的性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点,有一定的难度，但是一道比较好的题目.12此题5.如图，4ABC是等边三角形，AB=6cm,D为边AB中点.动点P、Q在边AB上同时从点D出发，点P沿AA以1cm/s的速度向终点A运动.点Q沿ABfD以2cm/s的速度运动，回到点D停止.以PQ为边在A

15、B上方作等边三角形PQN.将4PQN绕QN的中点旋转180°得到4MNQ.设四边形PQMN与ABC重叠部分图形的面积为S(cm2),点P运动的时间为(2)(3)(4)当占.=1八、当占.=1八、当占.=1八、t(s)(0<t<3).N落在边BC上时，求t的值.N到点A、B的距离相等时，求t的值.Q沿AB运动时，求S与t之间的函数表达式.设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,直接写出四边形PEMF与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值.S=S菱形pqmn=2Sapnq=t2;-苧+竽邛(4)15t=1或【解析】试题分析：(1)由题意知：当点N落在边BC

16、上时，点Q与点(2)(3)边形当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上,3当0D细；四边形PQMN与ABC重叠部分图形为四边形PQMN与ABC重叠部分图形为五边形PQFENB重合，此时DQ=3；此时PD=DQPQMN;当5wt乙时，四MN、MQ与边BC的有交点时，此时12<t亏,列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出t的值.试题解析：(1)4PQN与4ABC都是等边三角形,，当点N落在边BC上时，点Q与点B重合.DQ=3.-2t=3.3-t=,(2)二当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上,PD=DQ,当0<t<2时,此时，PD=t,

17、DQ=2t2 .t=2t3 .t=0(不合题意，舍去)，3当至wy3时，此时，PD=t,DQ=6-2t4 .t=6-2t,解得t=2;综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2;(3)由题意知：此时，PD=t,DQ=2t当点M在BC边上时， .MN=BQ,.PQ=MN=3t,BQ=3-2t.-3t=3-2t3，解得t=s3如图，当0wt刖Sapncf"PQ2=4t2；2 .S=S菱形pqmn=2Sapnq=t,3B如图，当"wtn寸，设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,MN=PQ=3t,NE=BQ=32t,.ME=MNNE=PQBQ=5t-3,EMF是等边三角形,I

18、冏Saemf=(5t3)27甲+IS%*/%*ME2=4(4)MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,此时<t<12Tt=1或图考点：几何变换综合题6.如图1,是边长分别为6和4的两个等边三角形纸片ABC和CDiEi叠放在一起.（1）操作：固定ABC,将CD1E1绕点C顺时针旋转得到CDE,连接AD、BE,如图2.探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？并请说明理由；（2）操作：固定AABC,若将CD1E1绕点C顺时针旋转30得至UCDE,连接AD、BE,CE的延长线交AB于点F,在线段CF上沿着CF方向平移，（点F与点P重合即停止平移）平移后的4CDE设为4PQR如图3

19、.探究：在图3中，除三角形ABC和CDE外，还有哪个三角形是等腰三角形？写出你的结论（不必说明理由）；（3）探究：如图3,在（2）的条件下，设CQ=x,用x代数式表示出GH的长.【答案】（1）BE=CD理由见解析；（2）4CHQ是等腰三角形；（3）"x.【解析】试题分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB=BCCD=CE/ACB=ZECD=60,然后求出/ACD=ZBCE再利用边角边”证明ACD和BCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）求出/ACF=30,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出/CHQ=30；从而得到/ACF=ZCHQ,判断出4CHQ是等腰

20、三角形；（3）求出/CGP=90,然后利用/ACF的余弦表示出CG,再根据等腰三角形的性质表示出CH,然后根据GH=CG-CH|理即可得解.试题解析：（1）BE=CD理由如下：4ABC与CDE是等边三角形,，AC=BC,CE=CQ/ACB=/ECD=60.° /ACB-ZACE之ECD-/ACE,即/BCE之ACD.在ACD和ABCE中，AB=BClACD=BCECD=CE' .ACDABCE(SA§,BE=AD;(2)二.旋转角为30°,/BCF=30,°/ACF=60-30=30；/CHQ=ZRQP-ZACF=60-30=30；/ACF=ZC

21、HQ, .CHQ是等腰三角形；(3)/CGP=180-ZACF-ZRPQ=180-30-60=90°,飞飞.CG=CP?cos30<x+4),.CHQ是等腰三角形，.CH=2?CQcos30°=2=?'x,k/？yZ.GH=CG-CH=/(x+4)-x=2-x.考点：几何变换综合题.7 .如图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字.同时转动两个转盘，当转盘停止后，计算指针所指区域内的数字之和.如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字(1)请你通过画树状图或列表的方法分析，并求指

22、针所指区域内的数字和小于10的概率；(2)小亮和小颖小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则是：指针所指区域内的数字和小于10,小颖获胜；指针所指区域内的数字之和等于10,为平局；指针所指区域内的数字之和大于10,小亮获胜.你认为该游戏规则是否公平？请说明理由；若游戏规则不公平，请你设计出一种公平的游戏规则.【答案】(1)1；(2)不公平.3【解析】试题分析：(1)依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率.(2)判断游戏的公平性，首先要计算出游戏双方赢的概率，概率相等则公平，否则不公平.试题解析：(1)共有12种等可能的结果，小于10的情况有4种，一一

23、1所以指针所指区域内的数字和小于10的概率为-.3察与678911789103口101112410111213(2)不公平，因为小颖获胜的概率为耳父斗*,S1O:=j;5一小亮获胜的概率为小亮获胜的可能性大，所以不公平.12可以修改为若这两个数的和为奇数，则小亮赢；积为偶数，则小颖赢.考点：1.游戏公平性；2.列表法与树状图法.8 .如图所示，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE/BC,如图，然后将ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图，然后将BD、CE分别延长至M、N,使DM=BD,EN=CE,得到图，请解答下列问题：(1)若AB=AC,请探究下列数量关系：在图中，BD与CE的数量

24、关系是;在图中，猜想AM与AN的数量关系、/MAN与/BAC的数量关系，并证明你的猜想；(2)若AB=kAC(k>1),按上述操作方法，得到图，请继续探究：AM与AN的数量关系、/MAN与/BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证【答案】(1)BD=CE;AM=AN,/MAN=/BAC理由如下：在图中，DEBC,AB=AC.AD="AE."AR=AC,=£.CAEf.A-A_,AD-AE_在ABD与AACE中AABDAACE.BD=CE/ACE玄ABD.在ADAM与EAN中,11111/AEN=ZACE-+ZCAE,DMBD,ENCE,BD=CE，DM=E

25、N,/ADM=/ABD+ZBAD,/AEN=ZADM.y.'AE=AD,AADMAAEN.'.AM=AN,/DAM=/EAN.，/MAN=/DAE=/BAC.AM=AN,/MAN=/BAC.(2)AM=kAN,/MAN=/BAC.【解析】(1)根据题意和旋转的性质可知AE®4ADB,所以BD=CE;根据题意可知ZCAE=BADAB=AC,AD=AE,所以得到BA44CAE,在ABM和ACN中，11DM=BD,EN=CE：,可证ABM0ACN,所以AM=AN,即/MAN=/BAC.工人（2）直接类比（1）中结果可知AM=k?AN,/MAN=/BAC.9.（特例发现）如图

26、1,在ABC中，AG±BC于点G,以A为直角顶点，分别以AB,AC为直角边，向ABC外作等腰RtABE和等腰RtAACF过点E、F作射线GA的垂线，垂足分另1J为P、Q.求证：EP=FQ（延伸拓展）如图2,在4ABC中，AG±BC于点G,以A为直角顶点，分别以AB,AC为直角边，向4ABC外作RtAABE和RtAACF7,射线GA交EF于点H.若AB=kAE,AC=kAF请思考HE与HF之间的数量关系，并直接写出你的结论.（深入探究）如图3,在4ABC中，G是BC边上任意一点，以A为顶点，向ABC外作任意4ABE和AACF,射线GA交EF于点H,若/EAB=/AGB,/FA

27、C玄AGC,AB=kAE,AC=kAF,上一问的结论还成立吗？并证明你的结论.（应用推广）在上一问的条件下，设大小恒定的角/IHJ分别与4AEF的两边AE、AF分别交于点M、N,若4ABC为腰长等于4的等腰三角形，其中/BAC=120,且/IHJ=/AGB=0=60k=2；求证：当/IHJ在旋转过程中，EMH、4HMN和4FNH均相似，并直接写出线段MN的最小值（请在答题卡的备用图中补全作图）.【答案】（1）证明参见解析；（2）HE=HF；（3）成立，证明参见解析；（4）证明参见解析，MN最小值为1.【解析】试题分析：（1）特例发现：易证AEBBAG,AFQ0CAG,即可求得EP=AGFQ=A

28、G,即可解题；（2）延伸拓展：过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.易证1II ABGsEAP,AC84FAQ,得到PE=AG,FQ=AG,.PE=FQ然后证明1 EPHAFQHI,即可得出HE=HF;（3）深入探究：判断PEAGAB,得到PE=AG,II AQFACGA,FQ=,得到FQ=AG,再判断EPHFQH,即可得出HE=HF;（4）应用推广：由前一个结论得到4AEF为正三角形，再依次判断MHNsHFNMAMEH,即可得出结论./PEA+/PAE=90,试题解析：（1）特例发现，如图:/GAB+ZPAE=90,/PEA=ZGAB,./EPA=ZAGB,AE=AB,/.APEAA

29、GAB,.PE=AG同理，4QF心AGAC,FQ=AG,.1.PE=FQ(2)延伸拓展，如图:/PEA+/PAE=90,°/GAB+ZPAE=90,°/PEA=/GAB,/EPA=/AGB,FQAFAGACAB=kAEIFFAE.AG=kAE1.PE=AG,同理,QFAAGAC,AC=kAF,FQ=AG,PE=FQEP/FQ,，/EPH=/FQH,ZPHE=ZQHF,.EP噌FQH,.HE=Hp(3)深入探究，如图2,在直线AG上取一点P,使得/EP/AGB,彳FQ/PE,/EAP+ZBAG=180/AGB,ZABG+ZBAG=180-/AGB,/EAP=ZABG,/EPA

30、=/AGB,AAPEABGA,PEAEII.AB=kAE,PE=AG,由于/FQA=/FAC=ZAGC=180-ZAGB,同理可得,|FQAF11AQFsCGAAC=kAF，FQ=AG,.EP=FQ/EP/FQ,，/EPH=/FQH,ZPHE=ZQHF,.EPHFQH,.HE=Hp(4)应用推广，如图3,在前面条件及结论，得到，点H是EF中点，AE=AF,=/EAB=/AGB,/FAC=ZAGC-./EAB+ZFAC=180，°/EAF=360-°(/EAB+ZFAQ-/BAC=60AEF为正三角形.又H为EF中点，ZEHM+ZIHJ=120°,ZIHJ+ZFHN

31、=120,HMEH./EHM=/FHN.ZAEF=ZAFE,.HEMsHFN,HNFN,eh=FH且/MHN=/HFN=60；.MHNAHFNI,AMHNAHFNAMEH,在HMN中，/MHN=60°,根据三角形中大边对大角，要MN最小，只有HMN是等边三角形，ZAMN=60,./AEF=60,MN.MN/EF,AEF为等边三角形，.MN为11AEF的中位线，MNmin=2EF=X2=1考点：1.几何变换综合题；2.三角形全等及相似的判定性质.10.如图1,正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE(ABvAE)在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为如在

32、旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG.(1)当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG(2)当点C在直线BE上时，连接FC,直接写出/FCD的度数；(3)如图3,如果=45°,AB=2,AE=W,求点G至UBE的距离.G【答案】(1)证明见解析；(2)45。或135。；(3)1口.【解析】试题分析：(1)根据正方形的性质可得AB=AD,AE=AG,/BAD=/EAG=90,再求出/BAE=ZDAG,然后利用边角边”证明ABE和4ADG全等，根据全等三角形对应边相等证明即可.(2)当点C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，据此

33、求解即可.111$BE。=5屯AEG=16S6BEC-BEh-X2甲Xft=16(3)根据/和'/求解即可.试题解析：(1)如图2,二四边形ABCD是正方形，AB=AD,/BAE+/EAD=90.四边形AEFG是正方形，AE=AG,/EAD+ZDAG=90:/BAE=ZDAG.ABEAADG(SAS.，BE=DG.(2)如图，当点C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，此时/FCD的度数为45°或135°.G/dr/，Z1%1一、，、/月f1D3P卬J口，,zC>(3)如图3,连接GRGE.由已知a=45；可知/BAE=45.又.GE为止方形AEFG

34、的对角线，./AEG=45.，/Z/1=4V7,.GE=8.1,5小IfEC-SxAEG=於正方砌iEFG=161.过点B作BHAE点H.AB=2,.=AH=V7.=.DC(G)B/GE.设点G到BE的距离为h.11Sabeg-'BE*h-y,245X/i=12士16寸5.一TL1八5点G至ijBE的距离为“.GE二3考点：1.旋转的性质；2.止方形的性质；质；5.勾股定理；6.分类思想的应用.4.3.全等三角形的判定和性质；4.平行的判定和性11.边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图1),现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落

35、在DF上时停止旋转，旋转过程中，AB边交DF于点M,BC边交DG于点N.(1)求边DA在旋转过程中所扫过的面积；(2)旋转过程中，当MN和AC平行时(如图2),求正方形ABCD旋转的度数；(3)如图3,设4MBN的周长为p,在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？请证明你白结论.n【答案】(1)2(2)22.5。；(3)不变化，证明见解析【解析】试题分析：(1)将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，DA旋转了45,从而根据扇形面积公式可求DA在旋转过程中所扫过的面积.(2)旋转过程中，当MN和AC平行时，根据平行的性质和全等三角形的判定和性质可求

36、正方形ABCD旋转的度数为(3)延长BA交DE轴于H点，通过证明三DCN和”切片D赭X可得结论.(1):人点第一次落在DF上时停止旋转，DA旋转了4".45rx22n.DA在旋转过程中所扫过的面积为m/:MN/AC,.严MN.=G451KBM=.ba=bc.am=cn.又.。八=DCf=£DG%ADMDCN.LADM-(900-45°)=22.5°，旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形ABCD旋转的度数为4225。=223".不变化，证明如下：如图，延长BA交DE轴于H点，则臼所=4W.UDM尸9=900-450-=45忆又DA=DCDAU=

37、180090。=阿=1OCNDAHDCN"三必"CN又£MDE=MDN=45。用M=叫,ADMH=ADMN.,MN=MH=AM+AH,MN=AMCN.，在旋转正方形ABCD的过程中，P值无变化.考点：1.面动旋转问题；2.正方形的性质;质.3.扇形面积的计算；4.全等三角形的判定和性12.(1)发现如图，点A为线段BC外一动点，且BCa,ABb.填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为(用含a,b的式子表示)(2)应用点A为线段BC外一动点，且BC3,AB1.如图所示，分别以AB,AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD,BE.找出图

38、中与BE相等的线段，并说明理由；直接写出线段BE长的最大值.(3)拓展如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为2,0，点B的坐标为5,0，点P为线段AB外一动点，且PA2,PMPB,BPM90,求线段AM长的最大值及此时点P的坐标.【答案】(1)CB的延长线上，a+b;(2)DC=BE,理由见解析；BE的最大值是4;(3) AM的最大值是3+2J2,点P的坐标为(2-J2,J2)【解析】【分析】(1)根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；(2)根据等边三角形的性质得到AD=AB,AC=AE/BAD=/CAE=60,推出CADEAB,根据全等三角形的性质得到CD=BE

39、由于线段BE长的最大值二线段CD的最大值，根据(1)中的结论即可得到结果；(3)连接BM,将4APM绕着点P顺时针旋转90°得至iJPBN,连接AN,得到4APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2J2+3；如图2,过P作PE±x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.【详解】解：(1);点A为线段BC外一动点，且BC=a,AB=b,，当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b故答案为CB的延长线上，a+b；(2)CD=BE,理由

40、：4ABD与4ACE是等边三角形，.AD=AB,AC=AE/BAD=/CAE=60,°ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,即/CAD=ZEAB,在ACAD与EAB中，AD=ABCAD=EABAC=AEACADIAEAB,.CD=BE二线段BE长的最大值=线段CD的最大值，由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，最大值为BD+BC=AB+BC=4(3)二.将APM绕着点P顺时针旋转90。得至IJPBN,连接AN,则APN是等腰直角三角形，PN=PA=2,BN=AM,.A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),.OA=2,OB=5,.AB=3,线段AM长的最

41、大值二线段BN长的最大值，当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值,最大值=AB+AN,.AN=.2AP=2万，最大值为22+3；如图2,过P作P已x轴于E,'4V APN是等腰直角三角形，PE=AE=、2， .OE=BO-AB-AE=5-3、2=2-、2， P(2-、.2,2).【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质.正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.13.如图，在边长为1的正方形网格中，A(1,7)、B(5,5)、C(7,5)、D(5,1) .(1)将线段AB绕点B逆时针旋转，得到对应线段BE.当BE与CD第一次平行时，画出

42、点A运动的路径，并直接写出点A运动的路径长；(2)线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，直接写出这个旋转中心的坐标.【答案】（1）见解析；J5兀；（2）旋转中心P的坐标为（3,3）或（6,6）.【解析】【分析】（1）依据旋转的方向、旋转角和旋转中心即可得到点A运动的路径为弧线，再运用弧长计算公式即可解答；（2）连接两对对应点，分别作出它们连线的垂直平分线，其交点即为所求【详解】解：（1）点A运动的路径如图所示，出点A运动的路径长为904筋=遍兀;180本题主要考查了利用旋转变换及其作图，掌握旋转的性质、旋转角以及确定旋转中心的方法是解答本题的

43、关键.14.如图，已知RtABC中，/ACB=90：AC=BC,D是线段AB上的一点（不与A、B重合）.过点B作B已CD,垂足为E.将线段CE绕点C顺时针旋转90,得到线段CF,连结EF.设/BCE度数为.(1)补全图形；试用含的代数式表示/CDA.(2)若空心，求的大小.AB2(3)直接写出线段AB、BE、CF之间的数量关系.【答案】(1)答案见解析；45；(2)30;(3)_222AB2CF2BE.【解析】试题分析：(1)按要求作图即可；由/ACB=90°,AC=BC得/ABC=45°,故可得出结论；(2)易证FCEsACB,得JAC;连结FA,得AFC是直角三角形，求出2/ACF=30,°从而得出结论;/ACB=90°,AC=BC/ABC=45°