14第5、6课时函数的连续性

1、总课题第一章函数、极限与连续总课时第27、 28课时分课题1.7 函数的连续性分课时第5、6课时教学目标知识目标：1. 熟练掌握函数连续性的概念包括在某一点处连续以及区间 连续的定义；2. 掌握间断点的概念及其分类；3. 理解闭区间上连续函数的重要性质并能够进行简单的应用技能目标：1. 会用函数连续性的概念进行判断函数的连续性问题，女口：在某一点处的连续性，函数在指定区间是否连续等问题；2. 会求函数的间断点并能够予以分类；4. 会用闭区间上连续函数的性质证明一些函数的特性.情感目标：函数的连续性问题是运用极限思想解决函数的又一个特性一连续性的第一个问题，函数的连续性问题是继预科段学生掌握 了

2、初等函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性等性质的深入和延 伸，也是极限在研究函数的性质的第一个应用， 应该让学生在掌握 函数的连续性的根底上深刻体会由局部扩展到整体的极限思想.重点难点1.函数连续性的定义；2间断点的判断及其分类教学方法习题教学法要求学生能够在理解函数连续性的定义的根底上，充分结合定义会判 断函数的连续性，并会求函数的间断点及其分类，进而运用闭区间上连续 函数的性质解决一些实际问题.知识回忆1 .函数在一点的连续性：f (X)在点Xo处连续limX If(X)在点x0处连续limX Xof(x)f (Xo)2. 连续函数的运算3. 初等函数的连续性：根本初等函数在定义区间内是连

3、续的; 初等函数在定义区间内是连续的4函数的间断点和间断点的分类5闭区间上连续函数的性质：学生活动1、学生回忆复习函数 的连续性知识点，同 时指出，专转本考试 考察函数的连续性部 分的题型及其考察知 识点；有界定理、最值定理、介值定理例题练习例1：求函数f (x)ln(1 x)sin x1 sin 2x间断点，并指出其类型.例2 :讨论函数f (x)n )U(x 0)在定义域内是否连续解：考虑到该函数是与数列极限相关的函数，因此有必要先考察该数列的极限，而该数列的极限问题那么需要先转化为函数的极限即:tlimln et Xtt的计算问题，该极限属于“型不定式,所以运用洛必达法那么为:由于考察极

4、限时(1 )假设 X e ,X应视为常数,t t, e x ln xtlimt t e x由此应予以分类讨论:tlimt te x ln xt te xt tee.-t 1 ； ex学生活动2、本例题要求学生能 够清楚分别视为数列 极限时应把X视为常 数予以分类讨论，在 此根底上予以解决问 题一一即转化成为分 段函数；(2)假设 x e ,那么 lim tln etxtttlimet xt ln xxt1lim -t(3)假设 xe，那么limtln ettlimtxt ln xtxIn x综上所述，函数f xIn x例3:设F(x)x0 tf (t)dt2xc,试确定c的值使F(x)连续，并

5、讨论解：考察极限limx 0x0tf(t)dt且当x 0时，F而在点x 0处，考察极限limdX 0 x2x f x limx 0limte在定义区间0,etx . ln xeIn x上连续.其中f (x)具有连续导数且f(0)0,F'(x)是否连续.(答案：c 0)xf xlim0，故 c 0 ;x 0xtf0_2xt dtxm02x0tfx2f xt dtx2 tf t dt 03 x3xx3?学生活动x2 tf0xt dt即F'(x)在全体实数上连续.例4 :设f (x)在(a,b)内连续,xi试证明至少存在一点(a,b)，使 f(证明： f (x)在(a,b)内连续，x

6、i(a,b),tj0(ixtf t dt03x1,2,)hf(X1) t2f(X2)(a,b), (i 1,2,n),n)，且 ti 1,1t n f (xn ). f (x)在闭区间x1, xn处必连续(不妨设x1, xn分别为xi(i1,2, n)中5、本例涉及有关最值 定理以及零点定理的 综合运用，而关键在 于如何构造函数，本 例与例5具有一定的 相似性，大局部学生 很难能够想得到，需 要予以细致的分析；的左端点和右端点);且令f X1minf xi ii 11,2, n ,f xnmaxf Xi ,i1,2,n ,构造函数ng Xf Xf Xi在区间i 1X1, Xn必连续，且g X1

7、f X1nti fi 1Xi0, gXnfnXnti f Xi0i 1即g Xi g Xn 0满足零点定理，即证.1f(?) f(); (2)存在0,1，使 f (丄)nff(n),n N .证明：(1)略；(2)构造函数g xf X-f X n2n1f Xn在闭区112n 10,连续，且g 0f -f -ff0 ,nnnn例5：设f (X)在0,1上连续，且f (0)f (1)，证明121n使间(1)存在 (0,1),0，由零点定理即证.函数f (X)在0,3上连续(0,3)内f(0) f(1)f (2)3 , f (3)1.试证必存在(0,3)，使使 f'(0.证明：先利用零点定理

8、再使用罗尔定理即证.例7:设函数 f (x)ln(1 ax3)x arcsin x ' 6,ax 2 e x axXxsin 40，问a为何值时,f (X)在X 0处连续；问a为何值时,f (X)的可去间断点?1f(x)X1sin x,x X,1)(1 x) 2学生活动7、例610由学生自主解决；1 1试补充定义f(1)使得f(x)在,1上连续。(答案：f(1)2例9:函数f(x)x|sin(x 2) x(x 1)(x 2)2在以下哪个区间内有界(A)( 1,0)( B)(0,1)(C) (1,2)( D)(2,3)例10：设f (x)在全体实数有定义，且lim f(x)a, g(x)1f(-), x00xx0(A)x 0是g(x)的第一类间断点;(B)x 0是g(x)的第二类间断