1.1 正数和负数（教学设计）

.1正数和负数教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第一章“有理数”1.1正数和负数.本节课的教学内容：①章引言通过呈现零上温度与零下温度、产量的增长与下降、收入与支出等实例，引出本章要学习的主体内容，为正数与负数的学习作铺垫.②因生产生活需要，在已学正整数、0与正分数基础上，引入正数与负数概念，阐述0与正数、负数的关系，并尝试用它们表示实际生活中的量.③深入理解0的意义，引入负数后，零不再仅表示“没有”，其所代表的量具有实际意义.2.内容解析①知识的产生背景：数的概念是随着生产生活的需求不断发展的.在实际情境中，存在许多具有相反意义的量，仅用已学的数无法准确表示，这就促使了正数和负数的产生.②正数和负数的概念：大于0的数是正数，正数前面的“+”号通常可省略；在正数前面加上“-”号的数是负数.0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界点.这一概念的理解是后续学习的基础，学生需要准确把握，才能正确判断一个数的属性.③用正负数表示相反意义的量：这是本节课的重点应用.将一种意义的量规定为正，用正数表示；与之相反意义的量规定为负，用负数表示.如规定向东走为正，那么向西走就为负；规定盈利为正，亏损就为负等.通过这样的表示方法，能够简洁明了地描述实际生活中的各种数量关系.④0的意义拓展：在引入负数后，0的意义得到了拓展.它不仅可以表示“没有”，还可以作为正数和负数的界限，同时在很多实际情境中有特定含义.例如，0℃不是没有温度，而是表示冰水混合物的温度；海拔0米表示海平面的高度等.对零意义的全面理解，有助于学生更深入地掌握正数和负数的概念体系.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：会用正数、负数表示具有相反意义的量.二、目标和目标解析1.目标（1）了解负数的产生过程，体会引入正数和负数的必要性，感受数学与现实生活的联系.（2）能够用正数、负数表示具有相反意义的量.（3）理解正数、负数、0的在实际问题中表示的意义.2.目标解析对于目标（1），从现实实例抽象出负数概念，学生要观察、分析生活中的各种数量关系，发现用已学知识无法解决的矛盾，进而引入负数.这一过程锻炼学生从具体到抽象的思维转换能力，体会数学概念形成的过程.对于目标（2），学生能识别生活中的相反意义的量，并合理规定正、负方向，用正确的数来表示.对于目标（3），学生能将实际问题转化为数学问题，理解正数、负数、0表示的实际意义，体现数学知识的应用价值.三、教学问题诊断分析1.概念理解困难：部分学生可能难以理解正数、负数的本质特征，对0的特殊地位把握不准.例如，认为只要有“+”号就是正数，有“-”号就是负数，忽略了符号与数的整体关系；对于0既不是正数也不是负数的理解可能停留在表面，没有真正领会其作为分界点的意义.2.用正负数表示相反意义的量存在问题：学生在识别生活中的相反意义的量时可能出现错误，或者正确识别后不能合理规定正、负方向.例如，将身高增加和体重减轻当作相反意义的量；在规定方向时随意性大，导致表示混乱.3.0的意义理解不全面：表现：学生容易局限于小学时对0表示“没有”的理解，忽视了引入负数后0的其他实际意义.在解决问题时，不能正确运用0的多重含义进行分析.基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：理解正数、负数、0的在实际问题中表示的意义.四、教学过程设计（一）新知引入数的产生和发展离不开生活和生产的需要.人们对于数的认识就是伴随着记数、测量、运算等方面的需求不断拓展的.在古埃及，由分物、测量，产生分数12，13，…在古印度，由表示“没有”“空位”，产生数0在古埃及，由分物、测量，产生分数12，1在古印度，由表示“没有”“空位”，产生数0结绳计数在我国古代，由记数、排序，产生数1，2，3，…在小学，我们从日常生活中的实例出发，学习了整数、小数、分数及其运算.在日常生活、生产和科研中，还会遇到另外一些数的表示问题，例如：（1）北京冬季某一天的最高气温为零上3摄氏度，最低气温为零下3摄氏度.如何用数区分“零上3摄氏度”和“零下3摄氏度”？（2）某公司今年7月份盈利50万元，8月份亏损10万元.该公司在记账时如何用数分别表示“盈利50万元”和“亏损10万元”？（3）某年，我国棉花产量比上年增长7.8%，玉米产量比上年减少0.7%.统计这两种农作物产量的变化情况时，如何用数分别表示“增长7.8%”和“减少0.7%”？思考：这些问题都涉及意义相反的两个量，以前我们学过的数还够用吗？【设计意图】让学生理解数的产生和发展离不开生产和生活的需要，体验数学与生活的关系；通过章引言中的实例让学生感受在实际情境中，存在许多具有相反意义的量，仅用已学的数无法准确表示，理解引入负数的必要性.（二）新知讲解从右图中的天气预报中可以看出，零上3摄氏度用3℃表示，零下3摄氏度则用－3℃表示.类似地，你能表示出其他的量吗？在数学中，像3，50，7.8%这样大于0的数叫作正数，像－3，－10，－0.7%这样在正数前面加上符号“－”的数叫作负数．其中符号“－”是负号，读作“负”.思考：0是正数吗？0是负数吗？0既不是正数，也不是负数．【设计意图】将实际问题中具有相反意义的量用数学符号表示，引出正数和负数的概念.把0以外的数分为正数和负数，它们表示具有相反意义的量.随着人们对正数、负数意义认识的加深，正数和负数在实践中得到了广泛应用.例如，在表示某地的高度时，通常以海平面为基准，用0m表示海平面的海拔，用正数表示高于海平面的海拔，用负数表示低于海平面的海拔．我国水准零点位于山东省青岛市.“中华人民共和国水准零点”标志世界最高峰珠穆朗玛峰的海拔为8848.86m；我国陆地海拔最低处位于新疆吐鲁番盆地的艾丁湖，其海拔为－154.31m.0是正数与负数的分界.0℃是一个确定的温度，海拔0m表示海平面的平均高度.0已不只是表示“没有”.思考：下图中的正数和负数的意义分别是什么？地理中的分层设色地形图手机中的部分收支款账单A地高于海平面4600米，B地低于海平面100米；付款10元和30元，退款15元．思考：你能再举一些用正数、负数表示具有相反意义的量的例子吗？【设计意图】通过实际例子，进一步理解正数与负数的概念，体会正数、负数及0的意义.（三）知识溯源我国是历史上最早认识和使用负数的国家，至迟成书于东汉时期的我国古代数学著作《九章算术》，在“方程”一章中提出了正数、负数的概念及其加减运算法则，如关于家畜买卖的第八题，使用“正与负”来表示“卖出与买入”，将卖出家畜获得的钱数记为正，买入家畜付出的钱数记为负.魏晋时期的数学家刘徽在为《九章算术》作注时，用不同颜色的算筹分别表示正数和负数，红色为正，黑色为负.我国古代用算筹来记数和计算汉琉璃算筹春秋象牙算筹刘徽（约225年—约295年），汉族，山东滨州邹平市人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产.刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观.他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人.刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生.他虽然地位低下，但人格高尚.他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富.《九章算术》是我国最古老的算经书之一.此书的成书年代，各家的说法不一.一般认为，此书成于秦、西汉时期.现传本《九章算术》是经魏朝刘徽和唐朝李淳风注释过的注本.此书比较系统地记载了我国古代数学各方面的研究成果.关于负数的引用，书中以卖（收入钱）为正，买（付出钱）为负；余钱为正，不足钱（亏钱）为负.在关于粮谷计算的问题中，则以益实（增加粮谷）为正，损实（减少粮谷）为负.在《九章算术》中还记载了正数、负数的运算法则，实际是加法、减法的运算法则，也就是书中在方程解法中用到的“正负术”.【设计意图】通过了解数学知识的起源和发展历程，使学生能更深入地理解知识的本质，体会到数学在人类文明发展中的重要作用，感受到数学的文化价值，激发学生的学习兴趣.（四）典型例题题型一、正数和负数：例1将下列各数填在相应的位置：23，－59，－7，0，－0.001，3.14159，＋15%，－2025，＋4.28，－2(1)正数：____23，3.14159，＋15%，＋4.28___；(2)负数：____－59，－7，－0.001，－2025，－213(3)既不是正数也不是负数：___0___.【小结】判断正数与负数，只需要看数前面的符号即可，有“－”号的是负数，有“＋”号或省略“＋”号的是正数，0既不是正数也不是负数.【针对练习】教材P3练习：1.指出下面各数中的正数、负数：43，−1，2.5，+14，0，−3.14，120，−解：正数：43，2.5，+14，120；负数：−1，−3.14，−题型二、用正负数表示具有相反意义的量：例2某校组织学生去劳动实践基地采摘橘子，并称重、封装.一箱橘子的标准质量为2.5kg.如果用正数表示超过标准质量的克数，那么（1）比标准质量多65g和比标准质量少30g各怎么表示？（2）50g，－27g各表示什么意思？解：（1）比标准质量多65g用+65g表示，比标准质量少30g用－30g表示；（2）50g表示这箱橘子的质量比标准质量多50g，－27g表示这箱橘子的质量比标准质量少27g.【小结】具有相反意义的量的特征：(1)必须成对出现；(2)必须是同类量，表示时要写明单位(百分比除外)；(3)既要意义相反，又要有数量，但数量可以不同．【针对练习】教材P3练习：2.如果80m表示向右走80m，那么-60表示向左走60m.3.某天，月球表面白天的最高温度为零上126℃，如果把它记作126℃，那么夜间的最低温度零下150℃记作-150℃.4.在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作+3个，那么甲队失2个球，记作-2个.题型三、正数和负数的意义：例3（1）一个月内，李明体重增加1.2kg，张华体重减少0.5kg，刘伟体重无变化，写出他们这个月的体重增长值.分析：本题可根据正负数的意义来表示体重的增长值：增加记为正，减少记为负，无变化记为0.解：这个月李明体重增长1.2kg，张华体重增长－0.5kg，刘伟体重增长0kg.（2）四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季度相比，变化率如下：A品牌减少2%，B品牌增长4%，C品牌增长1%，D品牌减少3%，写出今年第二季度这些品牌的手机销售量的增长率.解：四种品牌的手机今年第二季度销售量的增长率是：A品牌－2%，B品牌4%，C品牌1%，D品牌－3%.思考：增长－2%，是什么意思?什么情况下增长率是0?增长－2%表示减少2%；销售额没有增加也没有减少时增长率为0.【针对练习】教材P5练习：1.如果水库的水位升高3m时，水位变化记作+3，那么水位下降3m时，水位变化记作-3m，水位不升不降时，水位变化记0m.2.一袋面粉的标准质量是10kg，如果比标准质量多0.1kg记作+0.1kg，那么－0.1kg，0kg，+0.5kg分别表示什么？解：－0.1kg表示比标准质量少0.1kg，0kg表示等于标准质量，+0.5kg表示比标准质量多0.5kg.3.若规定商品涨价为正，则甲商品涨价10%可以记作+10%，乙商品降价5%可以记作－5%.题型四、产品合格问题：例4某饮料公司生产的一种瓶装饮料的外包装上印有“（600±20）mL”字样．（1）请问“±20mL”是什么含义？（2）质监局对该产品随机抽查了5瓶，容量分别是603mL，611mL，589mL，573mL，627mL，则抽查产品的容量是否都合格？（3）如果以标准容量为标准，超过标准容量记“+”，低于标准容量记“－”，那么该种瓶装饮料容量的浮动范围又可以怎样表示？解:（1）“+20mL”表示比600mL多装20mL，“－20mL”表示比600mL少装20mL；（2）由题意可得合格的容量范围在580mL～620mL之内，则603mL、611mL、589mL是合格的，573mL、627mL是不合格的，即抽查产品的容量不是都合格；（3）根据题意可得该种瓶装饮料容量的浮动范围可以表示为－20mL～20mL．【小结】在产品合格问题中，可用正数和负数表示每个产品在质量指标上与标准值的偏差程度.【针对练习】某品牌酸奶外包装上标明“净含量：300±5mL”，现随机抽取四种口味的这种酸奶，它们的净含量如下表所示，其中，净含量不合格的是原味口味的酸奶．【设计意图】通过具体的例题，让学生将正数和负数的概念应用到实际情境中，从而更深入地理解正数、负数以及0的意义，明确它们在表示相反意义的量时的作用.（五）当堂巩固1．下列各数中，是负数的为(A)A.－5 B．2 C．0 D．62．中国是最早用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若某次知识竞赛中，得20分记作＋20分，则