2017-2018学年高中数学第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用教学案新人教A版

1、1.1回归分析的基本思想及其初步应用核心必知一自波强村找关赛问同思考辨桁U题课前反思埔定目标稳启程核心必知1.预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P2P8的内容，回答下列问题.(1)在数学(必修3中，我们利用回归分析的方法对两个具有线性相关关系的变量进行了研究，其步骤是什么？所求出的线性回归方程是什么？提示：步骤为：画出两个变量的散点图，求回归直线方程，并用回.归直线方程进行预AAA报.线性回归方程为y=bx+a.(2)所有的两个相关变量都可以求回归方程吗？提示：不一定.2.归纳总结，核心必记(1)回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.(2)回归直线方程AA

2、A方程y=bx+a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(X1,y。，(X2,y?),，(xn,AAyn)的回归方程，其中a,b是待定参数，其最小二乘估计分别为：nXixyiyi=1Ab=n一2xixi=1nxiyinxyi=1n22xinxi=1一一1n-1n，其中x=nxi,y=nyi,(x,y)称为样本点的中心.(3)线性回归模型线性回归模型用y=bx+a+e来表示，其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差.(4)刻画回归效果的方式残差人把随机误差的估计值e称为相应于点(x,yi)的残差残差图作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号,或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差

3、图残差图法残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越宣明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高残差平方和nAo残差平方和为(yy)2,残差平方和越小，模型拟合效果越好i=1相关指数R2nA2yyii=1R2=1-,R表示解释艾量对十预报艾量艾化的贡献率,Rn一2yi-yi=1越接近于1,表示回归的效果越好问题思考(1)通过教材P2中的例1计算出的回归方程y=0.849x85.712可以预报身高为172cm的女大学生的体重为60.3.16kg.请问，身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？为什么？提示：不一定.从散点图可以看出，样本点

4、散布在一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y=bx+a表示.(2)下列说法正确的有哪些？在线性回归模型中，e是bx+a预报真实值y的随机误差，它是一个可观测的量；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；用R2来刻画回归效果，R2越小，拟合的效果越好；在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高.提示：e是一个不可观测的量，故不正确；R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差，故不正确；是正确的.课前反思(1)回归分析的定义是什么？如何求回归直线方程?(2)线性回归模型是什么?(3)

5、残差、残差图的定义是什么？如何作残差图?(4)残差平方和和相关指数R2的定义是什么？它们与回归效果有什么关系?知识突破 -I重点陆胃步步探究植根基能力密升I被高如设深化提能夺高分知识点1线性回归分析K重点如蛆讲遗练会】I思考求线性回归方程的步骤是什么？名师指津：(1)列表表示Xi,yi,Xiy,xnn(2)计算x,y,x2,Xiyi；(3)代入公式计算a,b的值；(4)写出线性回归方程.讲一讲百万元)之间有如1.(链接教材B例1)某种产品的广告费用支出x与销售额y(单位:下的对应数据：XI白力兀24568y/白力兀3040605070(1)画出散点图；(2)求线性回归方程；(3)试预测广告费用

6、支出为10百万元时的销售额.尝试解答(1)散点图如图所示:7(6050如3020所以)x = -= 5, y =r= 505510i12345合计xi2456825yi3040605070250xiyi6016030030056013802xi416253664145(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算:5X2=145,i=15Xiyi=1380.i=15_Xiyi5xyi=1A于是可得b=522Xi5xi=113805X5X50=-145-5X52=6.5'A-A-_a=ybx=506.5X5=17.5.A所以所求的线性回归方程为y=6.5x+17.5.(3)根据(2)中求得的

7、线性回归方程，当广告费用支出为10百万元时,Ay=6.5X10+17.5=82.5(百万兀),即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元.真题通法(1)求线性回归方程前必须判断两个变量是否线性相关，如果两个变量本身不具备相关关系，或者它们之间的相关关系不显著，那么即使求出回归方程也是毫无意义的.AAA(2)写出回归直线方程y=bx+a,并用回归直线方程进行预测说明：当x取x。时，由线性回归方程可得y0的值，从而可进行相应的判断.练一练1.某班5名学生的数学和物理成绩如下表:学生学科成绩ABCDE数学成绩(x)8876736663物理成绩(y)7865716461(1)画出散点图；

8、(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程；(3)一名学生的数学成绩是96,试预测他的物理成绩.解：(1)如图所示.90Ht).70- 60''"510dd-%il5560657075HQ8590Jt(2)因为"x-=-X(88+76+73+66+63)=73.2,5y=1X(78+65+71+64+61)=67.8,5Xiyi=88X78+76X65+73X71+66X64+63X61i=1=25054,522_2_222_Xi=88+76+73+66+63=27174.i=15_Xi yi 5 x yi = 1八所以b=522Xi 5 xi =125

9、054 5X73.2 X67.8 _ Z 227 174 5X73.20.625,a=ybx=67.80.625X73.2=22.05.故y对x的回归直线方程是y=0.625x+22.05.(3) x=96,贝Uy=0.625X96+22.05=82,即可以预测他的物理成绩是82.残差分析4K重点知识静达练会91思考如何用残差图、残差平方和、相关指数R2分析拟合效果?名师指津：残差图的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高；残差平方和越小，模型拟合效果越好；R2越接近于1,模型拟合效果越好.讲一讲2.假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下:x15.025.830.

10、036.644.4y39.442.942.943.149.2(1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；(2)求y与x之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗;(3)计算各组残差，并计算残差平方和；(4)求R,并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几?尝试解答(1)散点图如下.(2)由(1)中散点图看出，样本点大致分布在一条直线的附近,有比较好的线性相关关系,因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系.设回归方程为 y= bx+ a. x =30.36 , y =43.5,52x2 = 5 101.56i =152,y2=9 511.43.2x y = 1 320.66 , x 2=92

11、1.729 6 ,xi yi = 6 746.76.i =15xiyi 5 xi = 1A则6=52 C - 2xi 5 x= 0.29 , a= y -b x =34.70.i =1故所求的回归直线方程为y=0.2,9x+34.70.A当x=56.7时，y=0.29X56.7+34.70=51.143.估计成熟期有效穗为51.143.由于y= bxi + a,可以算得e=yiyi分别为e1=0.35,&=0.718,8=一0.5,e4=-2.214,85=1.624,残差平方和：22=8.43.i=1(4) (yi-7)2=50.18,i=14一8.43故R2=1500.832.所以

12、解释变量小麦基本苗数对总效应约贡献了83.2%,残差变量贡献了约183.2%=16.8%.夹里选柒(1)利用残差分析研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据，然后通过残差61,82,，8n来判断模型拟合的效果.(2)若残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合度越高，回归方程预报精确度越高.练一练(5) 运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下:次数(x)3033353739444650成绩(y)3034373942464851(1)作出散点图；(2)求出线性回归方程；作出残差图，并说明模型的拟合效果；计算F2,并

13、说明其含义.解：(1)作出该运动员训练次数x与成绩y之间的散点图，如图所示，由散点图可知,它们之间具有线性相关关系.60504030*20101J1L0204060182(2)x=39.25,y=40.875,Xi=12656,882yi=13731,Xiyi=13180,Xi xi = 1A b=yi y8公Xiyi 8 x yi = 1 1.0412xi - xi = 18x2-8"x2i = 15,a=ybx0.003875,，线性回归方程为y=1.0415x-0.003875.(3)残差分析计算得产一1.24,e2=0.366,e3=0.551,e4=0.468,es1.38

14、5,e6=0.178,e7=0.095,e8=1.071.作残差图如图所示，由图可知,说明选用的模型比较合适.残差点比较均匀地分布在水平带状区域中,(4)计算相关指数R2计算相关指数4=0.9855,说明了该运动员成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的.知识点3非线性回归分析I【拔高知识“拓宽提能】I讲一讲3.(链接教材R-例2)某地区六年来轻工业产品利润总额y与年次x的试验数据如下表所示:年次x123456利润总额y11.3511.8512.4413.0713.5914.41由经验知，年次x与利润总额y(单位：亿元)近似有如下关系:y=aba.其中a,b均为正数，求y关于x的回归方程.思

15、路点拨解答此题可根据散点图选择恰当的拟合函数，而本题已经给出，只需将其转化为线性函数，利用最小二乘法求得回归直线方程，再将其还原为非线性回归方程即可.尝试解答对y=abxe0两边取自然对数，得lny=lnaeo+xlnb,令z=lny,则z与x的数据如下表:x123456z2.432.472.522.572.612.67由z=lnaeo+xlnb及最小二乘法公式，得lnb0.0477,lnae0=2.378,即z=2.378+0.0477x,故y=10.8X1.05x.赛题,通.法非线性回归问题有时并不给出经验公式.这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(哥函数、指数函数、对数

16、函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决.其般步骤为：练一练3.某电容器充电后，电压达到100V,然后开始放电，由经验知道，此后电压U随时间t变化的规律用公式U=Aebt(b<0)表示，现测得时间t(s)时的电压U(V)如下表：t/s012345678910U/V100755540302015101055试求：电压U对时间t的回归方程(提示：对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题).解：对U=Aebt两边取对数得lnUlnA+bt,令y=lnU,a=InA,x=t,则y=a+bx,y与x的数据如下

17、表：x012345678910y4.64.34.03.73.43.02.72.32.31.61.6根据表中数据画出散点图，如图所示，从图中可以看出，y与x具有较好的线性相关关系,由表中数据求得x-=5,"y=3.045,由公式计算得b=0.313,a=y-bx=4.61,所以y对x的线性回归方程为y=-0.313x+4.61.所以InU0.313t+4.61,gpU一0.313t+4.610.313t4.61.因此电压0U对时间t的回归方程为0.313t4.61 e课堂归纳感悟提升1,本节课的重点是线性回归方程的求法及线性回归分析，难点是残差分析和非线性回归分析问题.2.本节课要重点

18、掌握的规律方法(1)线性回归分析，见讲1;(2)残差分析，见讲2;(3)非线性回归分析，见讲3.一3I学业水平小测.让学一越打蚊讯化新中，耽境德度工抹准度能力练I评下靛力提开.据审提他.等里一检刷，合步为甯步步出课下能力提升（一）学业水平达标练题组1线性回归分析1.关于回归分析，下列说法错误的是（）A.在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确士7EB.线性相关系数可以是正的也可以是负的C.在回归分析中，如果2=1或r=±1,说明x与y之间完全线性相关D.样本相关系数rC（1,1）解析：选D样本的相关系数应满足1wr<1.2 .为了研究变量x和y的

19、线性相关性，甲、乙两人分别利用线性回归方法得到回归直线11和12,已知两人计算过程中9分别相同，则下列说法正确的是（）A. |1与|2一定平行B. l1与l2重合C. l1与12相交于点（x,y）D.无法判断l1和12是否相交解析：选C回归直线一定过样本点的中心（x,y）,故C正确.3 .若某地财政收入x与支出y满足回3方程y=bx+a+e（单位：亿元）（i=1,2,），其中b=0.8,2=2,|ei|<0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过（）A.10亿元B.9亿元C.10.5亿元D.9.5亿元一一一人解析：选Cy=0.8X10+2+e=10+ei,-.1|ei|&

20、lt;0.5,.9.5<y<10.5.4 .甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x,y的回归模型时，分别选择了4种不同模型,计算可得它们的相关指数R2分别如下表:甲乙丙丁R20.980.780.500.85哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？（）A.甲B.乙C.丙D.丁解析：选A相关指数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好.5 .某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元）88.28.48.68.89销量y（件）908483807568（1）求回归直线方程y=bx+a,其中b=20,a=ybx；（2）预计在今后的销售中，销量与单

21、价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）解：(1)由于x=-(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5,一1y=6(90+84+83+80+75+68)=80.所以a=ybx=80+20X8.5=250,从而回归直线方程为y=-20x+250.（2）设工厂获得的利润为L元，依题意得L=x（20x+250）-4（-20x+250）2=-20x+330x1000=-20x-332+361.25.4当且仅当x=8.25时，L取得最大值.故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润.题组2残差分析6 .关于残差

22、图的描述错误的是（）A.残差图的横坐标可以是样本编号B.残差图的横坐标也可以是解释变量或预报变量C.残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小D.残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小解析：选C残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，则残差平方和越小，此时，相关指数R2的值越大，故描述错误的是选项C.7 .对变量x,y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是（）N幅口,血北残解析：选A用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明这样的模型比较合适.带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高.8 .在回归分析

23、中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和（）A.越大B.越小C.可能大也可能小D.以上均错nA2yi-yii=1解析：选B因为R2=1-,n-2yiy1 =1n所以当R2越大时，（yi-yi）2越小,i=1即残差平方和越小.9.通过下面的残差图，我们发现在采集样本点的过程中，样本点数据不准确的为（）1ft5-|ll_i；-46B10调号-101°_；15A.第四个B.第五个C.第六个Dr.第七个解析：选C由题图可知第六个数据的偏差最大，故选C.10.在一段时间内，某淘宝网店一种商品的销售价格x元和日销售量y件之间的一组数据为：价格x元2220181614日销售量y件374143505

24、6求出y关于x的回归方程，并说明该方程拟合效果的好坏.参考数据：xyi=3992,x2=1660.i=1i=1解：作出散点图（此处略），观察散点图，可知这些点散布在一条直线的附近，故可用线性回归模型来拟合数据.因为x =22 + 20+18+ 16 + 14= 18,37 + 41 +43+50+56= 45.4.A39925X18X45.4所以b=1660-5X182=2.35-，a=45.4(2.35)X18=87.7.所以回归方程为y=-2.35x+87.7.yiyi与yiy的值如下表:Ayiyi10.3一2.4-0.11.2y-y一8.4一4.4一2.44.610.65计算得(yi-y

25、i)2=8.3,i=152(yi-y)=229.2,i=1所以R2=1-2832-0.964.NN9.N因为0.964很接近于1,所以该模型的拟合效果比较好.能力提升综合练1.如图所示是四个残差图，其中回归模型的拟合效果最好的是解析：选B选项A与B中的残差图都是水平带状分布，并且选项B的残差图散点分布集中，在更狭窄的范围内，所以B中回归模型的拟合效果最好，选B.2.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:广告费用x（万元）4235销售额y（力兀）49263954根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元解析：选B样本点的中心是（3.5,42）则2=丫一bx=42-9.4X3.5=9.1,所以回归直线方程是y=9.4x+9.1,