全国初中数学竞赛《圆》历届真题

1、初中数学竞赛?圆?历届考题1 04. D是厶ABC的边AB上的一点，使得 AB=3AD，P是厶ABC外接圆上 点，使得 ADP ACB，求空的值.PDACB ADP ，解：连结AP，贝U APB 所以， APBs ADP，.AB APAP AD ，所以 AP2 AB?AD3AD2， AP 3AD ,所以些PD塑 3AD15分5分10分C1分别是 点I关于边BC，CA，AB的对称点。假设点 B在厶A1B1C1 的外接 圆上，那么/ ABC等于A、30°B、45 °C因为IA1 = IB1 = IC1 = 2rrABC的内切圆半径，所以点I同时是 A1B1C1的外接圆的圆心，=

2、2ID，所以/ IBD = 30°，同理，/ IBA = 30°2、 05答:解:点I是锐角三角形ABC的内心，A1C、60°，B1,D、90°BAiACB1设IA1与BC的交点为D，于是，/ ABC = 60°IB = IA13.06正方形ABCD内接于O O,点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q.假设QP=QO，那么QC的值为QAA2 3 1 B2 3 C32D3 2答：D.解：如图，设O O的半径为r， QO=m，贝U QP=m， QC=r + m，QA=r m.在O O中，根据相交弦定理，得 QA QC=QP QD .第3题图(r

3、m)(r + m)=m QD，所以QD=连结DO，由勾股定理，得 QD2=DO2+q。2,即二 r2 m2'解得m所以QA41324. 06如图，点P为O O外一点，过点P作O O的两条切线，切点分别为 A, B.过点A 作PB的平行线，交O O于点C .连结PC,交O O于点E;连结AE,并延长AE交PB于点K .求证：PE AC=CE KB .证明：因为 AC II PB,所以/ KPE= / ACE .又PA是O O的切线,所以/ KAP= / ACE，故/ KPE= / KAP，于是 KPEKAP ,所以KP KEKA KP2即 KP KE KA .所以由切割线定理得2KB K

4、E KAKP KB10分因为 AC II PB, KPE ACE ,PE KPCE ACPE KBCE AC，KEBOPE AC=CE-KB .15分第4题507 ABC为锐角三角形，O O经过点B, C,且与边AB, AC分别相交于点D , E.假设O O的半径与厶 ADE的外接圆的半径相等，那么O O 一定经过厶 ABC的 .A丨内心B外心C重心D丨垂心答：B丨.解：如图，连接BE,因为 ABC为锐角三角形，所以BAC ,ABE均为锐角又因为O O的半径与厶ADE的外接圆的半径相等，且DE为两圆的公共弦，所以BAC ABE .于是， BEC BAC ABE 2 BAC .假设 ABC的外心

5、为O1，那么 BOC 2 BAC，所以，O O 一定过ABC的外心.应选B.6.AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点.以点A为圆心，AP为半径作O A,O A与半圆O相交于点C;以点B为圆心，BP为半径作O B, O B与半圆O相交于点D，且线段和Rt ABD 中,由射影定理得 PA2 AC2 AE AB ,PB2BD2BF AB .5分两式相减可得PA2 PB2AB AEBFCD的中点为 M .求证：MP分别与O A和O B相切.证明：如图，连接 AC, AD , BC, BD，并且分别过点 C, D作AB的垂线，垂足分别 为E,F，那么CE/ DF 因为AB是O O的直径，所以

6、ACB ADB 90 . 在第 R3AA题答案图2又PAPB2'(PA PB)(PA PB)AB PA PB ,于是有AEBF PA PB ,即 PAAEPBBF ,所以PEPF,也就是说，点 P是线段EF的中点.因此，MP是直角梯形CDFE的中位线，于是有MP AB，从而可得 MP分别与O A和O B相切.7.如图，点E, F分别在四边形 ABCD的边AD, BC的延长线上，且满足 匹 俎.假 CF BC设CD , FE的延长线相交于点 G , DEG的外接圆与 CFG的外接圆的另一个交点为点P，连接PA, PB, PC, PD 求证:1ADBCPDPC ；2 PABPDC .证明：

7、1连接 PE, PF , PG,因为 PDG PEG , 所以 PDC PEF .又因为 PCG PFG，所以 PDC PEF ,PD PE于是有， CPD FPE ,从而 PDE PCF ,所PC PFp，PDDE又DEADADPD以-,所以，PCCFCFBCBCPC2由于PDAPGEPCB ,结合1知，10分PDA PCB ,从而有DPA CPB ,所以 APBPA PDPB PCDPC ,因此 PAB s PDC .15分8、AABC 中,AB = 7 , BC = 8 , CA = 9,过厶 ABC 的内切圆圆心 I 作 DE / BC , 分别与AB、AC相交于点D , E ,贝U

8、DE的长为解：如图,设厶ABC的三边长为a,b,c,B第8题内切圆I的半径为r , BC边上的高为ha ,贝U2aha SABC 2(a b c)r '所以 ha 汽匚因为 ADEsABC，所以它们对应线段成比例，因此 邑r EEhaBC所以DE =hara(1ra-)a (1)aa(bc)haa bchaa b c故 DE=8 (79)16。8 7969、AB是半径为1的圆0的一条弦，且AB = a < 1,以AB为一边在圆0 内作正 ABC，点D为圆0上不同于点A的一点，且DB = AB = a , DC的延 长线交圆0于点E，那么AE的长为B 。J5a2B、1 C、32解：

9、如图，连接OE，0A，0B，设/ D = a，贝U/ ECA = 120° a =/ EAC11又因为/ AB0 = ABD (601802a)12022所以 ACEAB0，于是 AE = 0A = 10CAB第9题10线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段 AB 的延长线上取点D，使得BD = AC;再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与OA分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，那么AH亦的值为解：如图，延长AD与O D交于点E,连接AF,EF .由11题设知 AC AD，AB AE，在 FHA 和厶EFA 33中， EFA FHA 90 ， FAH E

10、AF所以 Rt FHA s Rt EFA ，第10题AHAFAFAEAH.而AF AB，所以AB11 10.如图， ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点,BE和CF分别是 ABD和厶ACD的外接圆直径，连接 EF .求证:tan PADEFBC第11题证明：如图，连接ED，FD.因为BE和CF都是直径，所以ED± BC,FD 丄 BC,因此D, E, F三点共线.5分连接AE, AF,那么AEF ABC ACB AFD ,所以， ABCsAAEF. 10分作AH丄EF,垂足为H，贝U AH=PD.由厶ABCs AEF可得EFBCAHAP，从而EFBCPDAP，所以tanPADPDAPEF BC .20 分12 11、如图，点H ABC的垂心，以AB为直径的。1和厶BCH的外接 圆O。2相交于点D,延长AD交CH于点P,求证：点P为CH的中点。AO1H