九年级数学一元二次方程

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业第二章第二章 一元二次方程一元二次方程第第 1 讲讲 一元二次方程概念及解法一元二次方程概念及解法【知识要点知识要点】一一. 知识结构网络知识结构网络 一元二次方程 解 法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 分式方程的解法 二元二次方程组的解法 性质 判别式 根与系数的关系 应用 二次三项式的因式分解 列方程或方程组解应用题 二、一元二次方程的四种解法二、一元二次方程的四种解法 直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法1.直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为或02bbx的形式的方程求解。当时，可两边开平方

2、求得方程的解；当时，方程无实数根。bax20b0b2.因式分解法解方程的步骤：（1）将方程一边化为 0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个一次因式等于 0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。3.配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为 1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。 （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为的形式（5）如果右边是()xmn2非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。4.公式法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程化为一般形式，确定 a、b、c 的值；（2）02cbxax计算的值并

3、判别其符号；（3）若，则利用公式求方程的解，若acb42042 acbaacbbx242，则方程无实数解。042 acb【典型例题典型例题】（1）（用因式分解法） 67302xx解：解：0)32)(13(xx精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业23，31032或01321xxxx（2）（用公式法） 1432xx 解：解：01432xx 028)1(34)4(2372，3723723228)4(21xxx（3）（用配方法）030222xx解：解：15222xx 8121)42()42(15)42(222222xxx 225，2324114221xxx【经典练习经典练习】一、直接开方法（1）

4、 （2）()()xx11222bax2)(二、配方法注：（1） （2）223002xx3412xx二、公式法1. 用求根公式法解下列方程；( ) 12202xx解：解：精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业；( )2 28102yy 解：解：；( ) 3 231802xx解：解： ；( )4 3212yy 解：解：；( ) 5 25102xx 解：解：；( )62 5302xx解：解：； ( )7 34502xx 解：解：(7)方程无实数根；( )824 32 202xx 解：解：； ( ) .9 0020030352xx 解：解：(9)先在方程两边同乘以 100，化为整数系数，再代入求根

5、公式，()()()10 12 33 132xx 解：解：。三、因式分解 1. 用因式分解法解下列各方程：（1）x25x240； 解：解：；（2）12x2x60；解：解：；（3）x24x1650 解：解：；精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（4）2x223x560；解：解：；8，27，0)8)(72(21xxxx（5）； 924164122xxx 解：解： （6）；333 32()()xx解：解：（7） xx23260() 解：解：； （8）； ()xx 251062解：解： (x2)25(x2)60，(x22)(x23)0，x14，x25；（9）t(t3)28； 解：解：（9）t23t

6、280，(t7)(t4)0，t17，t24；（10）(x1)(x3)15。解：解：x24x315，(x6)(x2)0，x16，x222. 用因式分解法解下列方程：（1）(y1)22y(y1)0； 解：解：； （2）(3x2)24(x3)2； 解：解： 0)3( 2)23)(3( 2)23(xxxx 8，54，0)8)(45(21xxxx（3）9(2x3)24(2x5)20； 解：解：3(2x3)2(2x5)3(2x3)2(2x5)0， 219，101，0)192)(110(21xxxx（4）(2y1)23(2y1)20。 解：解：(2y1)1(2y1)20， 三、综合练习 1. 下列方程中，有

7、两个相等实数根的方程是（ B ） A. 7x2x10B. 9x24(3x1) C. D. xx271503222102xx2. 若 a，b，c 互不相等，则方程(a2bc2)x22(abc)x30（ C ）精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根D. 根的情况不确定 解析解析: : 因为4(abc)212(a2b2c2) 4(2a22b22c22ab2ac2bc) 4(ab)2(bc)2(ca)203. 若方程的两个实根的倒数和是 S，求：S 的取值范围。m xmx222310() 分析：分析：本题是二次方程与不等式的综合

8、题，即利用方程有两个实根，求出 m 的取值范围，再用 S 的代0数式表示 m，借助 m 的取值范围就可求出 S 的取值范围。 解：解：设方程的两个实根为221221211，32，则，mxxmmxxxx 方程有两个实根 32132110且430，且04)32(2221121222mmmmxxxxxxSmmmmm 023且432323SSSm 。3且23SS4. 已知关于 x 的方程 x2(2m1)x(m2)20。m 取什么值时， （1）方程有两个不相等的实数根？ （2）方程有两个相等的实数根？ （3）方程没有实数根？ 解析解析: :(2m1)24(m2)25(4m3)。 （1）当，即时，原方程有

9、两个不相等的实数根； （2）当时，原方程有两个相等的实数根； （3）当时，原方程没有实数根。5. 已知关于 x 的方程 xkxkk2221210() （1）求证：对于任意实数 k，方程总有两个不相等的实数根。 （2）如果 a 是关于 y 的方程 的根，其中为方程的两yxxk yxkxk2121220()()()xx12，个实数根。 求：代数式的值。()114112aaaaaa精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 分析：分析：第（1）题直接运用根的判别式即可得到结论，第（2）题首先利用根与系数关系可将方程化成，再利用根的定义得到，将代数式化简后，把整体代入即可求出代0122yy122aa1

10、22aa数式的值。 （1）证明：证明： 08484484)12(4)1(42222kkkkkkk 对于任意实数 k，方程总有两个不相等的实数根。 （2）解：解：是方程的两个实数根21，xx 12，)1( 222121kkxxkxx 1)1(212)()(22)1( 2222221212121kkkkkkxxkxxkxkxkkkxx 方程012为2yy a 是方程的根，0122aa aaaaaaaaaa114)11(12，01，022 2142)(4)112)(12(14)1)(1(141)1(12222222aaaaaaaaaaaaaaaaaa 注：注：第（2）问中的整体代换在恒等变形中有广泛

11、的应用。6. 已知关于 x 的一元二次方程的两个实数根之差的平方为 maxaxc220 （1）试分别判断当时，是否成立，并说明理由；acac 1322，与，m 4 （2）若对于任意一个非零的实数 a，总成立，求实数 c 及 m 的值。m 4 解：解：（1）原方程化为时，3，1当ca3，1，则032212xxxx 416)3(12m 即成立4m 当时，原方程化为2，2ca02422xx 由，可设方程的两根分别为02244221，xx 则22，22121xxxx 42244)()(21221221xxxxxxm 即不成立4m精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 （2）设原方程两个实数根是21

12、，xx 则acxxxx2121，2 acxxxxxxm444)()(21221221 对于任意一个非零的实数 a，都有444ac 4，004时，0当02mcacc 第第 2 2 讲讲 根的判别式根的判别式【知识要点知识要点】1.根的判别式： 关于 x 的一元二次方程axbxca200 () bac24 当时，方程有两个不相等的实根 0 当时，方程有两个相等的实根 0 当时，方程无实根 0【典型例题典型例题】1. a，b，c 是三角形的三条边， 求证：关于 x 的方程 b2x2(b2c2a2)xc20 没有实数根分析：分析：此题需证出0。已知条件中 a，b，c 是三角形的三边，所以有 a0，b0

13、，c0。还应注意有一个隐含关系“任意两边之和大于第三边” ， “任意两边之差小于第三边” 。 证明：证明：因为(b2c2a2)24b2c2 (b2c2a2)2bc(b2c2a2)2bc (bc)2a2(bc)2a2 (bca)(bca)(bca)(bca)。 (要判断这个乘积是不是负的，应审查每个因式的正、负) 因为 bca，即 bca0， 同理 bca0，又 cab，即 bca0。 又 abc0，所以(bca)(bca)(bca)(bca)0。 所以，原方程没有实数根。【经典习题经典习题】为三边长的三角形是cbacabxxcax、04)(. 12（ ） A. 以 a 为斜边的直角三角形精选优

14、质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 B. 以 c 为斜边的直角三角形 C. 以 b 为底边的等腰三角形 D. 以 c 为底边的等腰三角形 2. 已知关于 x 的一元二次方程xkxk2211410()（1）k 取什么值时，方程有两个实数根。 （2）如果方程的两个实数根满足，求 k 的值。xx12，|xx12 解：解：（1）032)141(4)1(22kkk 解得时，方程有两个实数根23当，23kk （2），分两种情况21|xx 当，方程有两个相等的实数根。211时，得0 xxx 23，0k 当0，时，得02112xxxxx 由根与系数关系，得01 k ，矛盾23知)1(，由1kk 23舍去1k

15、k3. 已知方程的两根的平方和为 11，求 k 的值。xkxk222120() 解：解：设方程的两根为21，xx 则有2，)12(22121kxxkxx 112)(11212212221xxxxxx 0)1)(3(0320642114214411)2( 2)12(222222kkkkkkkkkkk 94)2(4)12(1，32221kkkkk精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 ，舍去0时，3当k 当。0时，1k 1k 注：注：用根与系数关系后，要计算判别式检验是否有实根。4含有绝对值的一元二次方程 （1）. 方程 x|x|8|x|40 的实数根的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D

16、. 4 解：解： 显然 x0 不是方程的根。 当 x0 时，xx8x40。 x0 的任何实数不可能是方程的根。 当 x0 时，方程为 x28x40。 此方程两根之积为40，可见两根为一正一负。又因 x0， 故负根舍去。所以方程只有一个实数根。应选 A。 （2）. 求方程 x2|2x1|40 的实数根。 解：解：令得012x21x 显然不是方程的解21x 当时，方程是21x04)12(2xx 即1或3，解得0322xxxx x1 舍去，x3 当时，方程是21x04)21(2xx 即解得，0522xx61x 舍去，61 x61 x 故方程的实数根是。61，321xx5a，b，c，d 为有理数，先规

17、定一种新的运算：，那么=18 时，x= 。bcadcdabxx452)1( 6. 已知是方程的两根，求代数式的值。21,xx01942 xx135231xx7.（广东广州，19，10 分）已知关于 x 的一元二次方程)0(012abxax有两个相等的实数根，求4)2(222baab的值。【分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此240ba，可得出 a、b 之间的关系，然后将精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业4)2(222baab化简后，用含 b 的代数式表示 a，即可求出这个分式的值【答案】解：)0(012abxax有两个相等的实数根，240bac，即240ba 全品中考网22222

18、22222244444)2(aabbaaabbaaabbaab0a ，4222abaab8.（四川乐山中考）（四川乐山中考）若关于x的一元二次方程012)2(222kxkx有实数根、（1）求实数 k 的取值范围；（2）设kt，求 t 的最小值（3）解：（1）一元二次方程012)2(222kxkx有实数根、，（4）0， 2 分（5）即0)12(4)2(422kk，（6）解得2k4 分（7）（3）由根与系数的关系得：kk24)2(2， 6 分（8）2424kkkkt， 7 分（9）2k，0242k，（10） 2244k，（11） 即 t 的最小值为4 10 分9.（ 四川绵阳中考）四川绵阳中考）已

19、知关于 x 的一元二次方程 x2 = 2（1m）xm2 的两实数根为 x1，x2（1）求 m 的取值范围；（2）设 y = x1 + x2，当 y 取得最小值时，求相应 m 的值，并求出最小值【答案答案】 （1）将原方程整理为 x2 + 2（m1）x + m2 = 0 原方程有两个实数根， = 2（m1）24m2 =8m + 40，得 m21（2） x1，x2为 x2 + 2（m1）x + m2 = 0 的两根， y = x1 + x2 =2m + 2，且 m21精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业因而 y 随 m 的增大而减小，故当 m =21时，取得极小值 110.（ 湖北孝感中考）

20、湖北孝感中考）关于 x 的一元二次方程1201xpxx有两实数根、.2x （1）求 p 的取值范围；（4 分） （2）若pxxxx求, 9)1 (2)1 (22211的值.（6 分）【答案答案】解：（1）由题意得：. 0) 1(4) 1(2p2 分解得：45p4 分 （2）由9)1 (2)1 (22211xxxx得，. 9)2)(2(222211xxxx6 分. 1, 1, 01, 01,01,222211222121221pxxpxxpxxpxxpxxxx的两实数根是方程. 9) 1(, 9) 12)(12(2ppp即8 分. 4, 2pp或9 分. 4,45ppp的值为所求10 分说明：1

21、可利用,1, 12121xxxx得121xx代入原求值式中求解；11.（山东淄博中考）（山东淄博中考）已知关于 x 的方程014)3(222kkxkx（1）若这个方程有实数根，求 k 的取值范围；（2）若这个方程有一个根为 1，求 k 的值；（3）若以方程014)3(222kkxkx的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数xmy 的图象上，求满足条件的 m 的最小值【答案】解解: （1）由题意得1443222kkk0化简得 102 k0，解得 k5（2）将 1 代入方程，整理得2660kk，解这个方程得 133k ，233k .（3）设方程014)3(222kkxkx的两个根为1x，2x，根

22、据题意得12mx x又由一元二次方程根与系数的关系得21241x xkk，那么521422kkkm，所以，当 k2 时 m 取得最小值5精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业12.（广东茂名中考）（广东茂名中考）已知关于x的一元二次方程2260 xxk（k为常数） （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设1x，2x为方程的两个实数根，且12214xx，试求出方程的两个实数根和k的值 【答案】解：解：（1）0436)(14)6(42222kkacb，2 分因此方程有两个不相等的实数根3 分（2）12661bxxa ，4 分又12214xx，解方程组：12126,214,xxxx 解得

23、：218.2,xx 5 分方法一：将21x代入原方程得：0)2(6)2(22k，6 分解得：4k7 分方法二：将21xx 和代入12cx xa，得：1822k，6 分解得：4k7 分第第 3 3 讲讲 根与系数的关系根与系数的关系【知识要点知识要点】 1. 根与系数关系关于 x 的一元二次方程 当axbxca200 () 01212时，有，xxbax xca推论 1：如果方程的两个实数根是，那么xpxqxxxxp x xq21212120 ,.推论 2：以为根的一元二次方程（二次项系数为 ）是：xxxxxxx x122121210,()【典型例题典型例题】1. 已知方程的两个实根中，其中一个是

24、另一个的 2 倍，求 m 的值。xxm230 解：解：设方程的一个根为 x，另一根 2x 由根系关系知：xxxxm 2321222 解得：xm 121精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 m12. 已知方程的两根不解方程，求和的值。37302xxxxxx1212、()xx12xx1222解：解：由题设条件xxx x1212731 xxxxx x12122124133 xxxx12122 xxx x12122732393 xxxxxx122212127 139【经典习题经典习题】一. 选择题。 1. 已知是关于 x 的一元二次方程的一个根，则 k 与另一根分别为（ ）x 3kxkx1230

25、2 A. 2，-1B. -1，2C. -2，1D. 1，-2 2. 已知方程的两根互为相反数，则 m 的值是（ ）34102xmxm A. 4B. -4C. 1D. -1 3. 若方程有两负根，则 k 的取值范围是（ ）xxk20 A. B. C. D. k 0k 0k 14014k 4. 若方程的两根中，只有一个是 0，那么（ ）xpxq20 A. B. pq 0pq00， C. D. 不能确定pq00， 5. 方程的大根与小根之差等于（ ）xpxp22140 A. B. C. 1D. 1212p 212p 6. 以为根的，且二次项系数为 1 的一元二次方程是（ ） 152152， A. B

26、. xx210 xx210 C. D. xx210 xx210精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业二. 填空题。 7. 关于 x 的一元二次方程的两根互为倒数，则 m_。xmxm22210 8. 已知一元二次方程两根比 2：3，则 a，b，c 之间的关系是_。axbxc20 9. 已知方程的两根，且，则 _。xmxm m21340 xx12、xx12229m 10. 已知是方程的两根，不解方程可得：_，_，、xx2520221133_。 11. 已知，则以为根的一元二次方程是_2213112，、_。三. 解答题。 12. 已知方程的两根，求作以为两根的方程。23702xx、22、 13.

27、 设是方程的两个实根，且两实根的倒数和等于 3，试求 m 的值。xx12、xmxm22210【试题答案试题答案】一. 选择题。 1. A2. B3. D4. B5. C6. B二. 填空题。 7. 214011211222mmmmmm 8. 设，则xtxt1223， 5662522tbatcabac 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 9. xxmx xm mxx121212134229 13425m mm mm22150 或m5m 3 时，原方程0，故舍去，m 5m 3 10. 521 22222542334 11133333 135225431858231832 224254441

28、2 11. 2222131121312 由此22131 2222222221321214120 或6 2 或56 32 所求方程或xx2560 xx2320精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业三. 解答题。 12. 解：解：由题意3272 即 22392 2225292728222 故所求方程是，即xx29280291602xx 13. 解：解： 2140121231134221212212mmxxmx xmxx 由1410： m m14 由431212：xxx x 2132mm 32101 310113212mmmmmm， 不符合题意，舍去m213 m 14 m1第第 4 4 讲讲 一

29、元二次方程的应用一元二次方程的应用【知识要点知识要点】1. 列一元二次方程解实际问题的步骤：（1）设：设好未知数，根据实际问题，可直接设未知数，也可间接设未知数，不要漏泄单位。（2）列：根据题意，利用所蕴含的相等关系列出一元二次方程，注意等号两边的单位要一致。（3）解：解所列的一元二次方程。（4）验：检验所列方程的解是否符合实际问题情境，将不符合题意的方程的解舍去。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（5）答：根据题意，写出答案。【典型例题典型例题】1. 某农户种植花生，原来种植的花生的亩产量为 200kg，出油率为 50%（即每 100kg 花生可加工成花生油 50kg） ，现在种植新

30、品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油 132kg，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的，求：12新品种花生亩产量的增长率。解：解：设新品种花生亩产量的增长率为 x， 则有132)211(%50)1(200 xx 解得（不合题意，舍去）2.3，2.021xx 答：答：新品种花生亩产量的增长率是 20%。 注：注：对于增长率问题，解这类问题的公式是，其中，a 是原来的量，x 是平均增长率，n 是增长bxan)1(的次数，b 为增长的量。2. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如

31、果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。 求：（1）若商场平均每天要赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 解：解：（1）设每件衬衫应降价 x 元，则有 0200301200)220)(40(2xxxx 解得20，1021xx 根据题意，取 x=20， 每件衬衫应降低 20 元。 （2）商场每天赢利 1250)15( 2260800)220)(40(22xxxxx 当时，商场赢利最多，共 1250 元15x 每件衬衫降价 15 元时，商场平均每天获利最多。【经典习题经典习题】1. 一个两位数，十位数字与个位数字之和是 5，

32、把这个数的个位数字与十位数字对调位置后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为 736，求原来的两位数。2一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了 66 次手。这次会议到会的有多少人？精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业3某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克赢利 10 元，每天可售出 500 千克。经市场调查发现，在进货价格不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克。现该商场要保证每天赢利 6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元?【模拟试题模拟试题】（一）填空题 1. 一元二次方程化为一般式后，()()32 21222

33、xxx_，_，_。a b c 2. 若方程有两个实数根，则 m 的值是_。xxm2 3. 关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是_。kxx2610 4. 关于 x 的一元二次方程的一个根是 1，另一个根是_，m=_。202xxm 5. 若是方程的两个根，则=_。xx12、24302xx()()xx1211 6. 已知两不等实数 a、b 满足条件，则_2710271022aabb，11ab 7. 已知 a、b 是方程的两个实数根，则_。xx2270abb2234（二）解下列方程 1. ()211602x 2. xx2890 3. ()()xx12 12 4. xx2520 5. x x()760（三）解答题 1. 已知关于 x 的方程xmxm22230() 求证无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个不相同的实数根 若这个方程的两个实数根，求 m 的值xxxxm121222、满足 2. 已知关于 x 的方程的两个实数根是 x1、x2，且，如果关于 x 的另一个方程xmxm2230()xx12216的