人教A版高中数学必修第二册学案621向量的加法运算

1、精选优质文档-倾情为你奉上62平面向量的运算62.1向量的加法运算考点学习目标核心素养平面向量加法的几何意义理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义数学抽象、直观想象平行四边形法则和三角形法则掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题数学抽象、直观想象平面向量加法的运算律掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算数学抽象、数学运算 问题导学预习教材P7P10的内容，思考以下问题：1在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？2向量加法的运算律有哪两个？1向量加法的定义及运算法则定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法法则三角形法则前提已知非零向量a，b作法在平面内任取一点A

2、，作a，b，再作向量结论向量叫做a与b的和，记作ab，即ab图形法则平行四边形法则前提已知不共线的两个向量a，b作法在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作OACB结论对角线就是a与b的和图形规定对于零向量与任一向量a，我们规定a00aa名师点拨 (1)两个法则的使用条件不同三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和(2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同(3)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型2|ab|，

3、|a|，|b|之间的关系一般地，|ab|a|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立3向量加法的运算律交换律abba结合律(ab)ca(bc) 判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)任意两个向量的和仍然是一个向量()(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加()(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线()答案：(1)(2)×(3)× 已知非零向量a，b，c，则向量(ac)b，b(ac)，b(ca)，c(ba)，c(ab)中，与向量abc相等的个数为()A2B3C4 D5答案：D 如图所示，在平行四边形ABCD中，a，b，则()AaBbC0 Dab答案：

4、B 在正方形ABCD中，|1，则|_答案：平面向量的加法及其几何意义如图，已知向量a，b，c，求作和向量abc.【解】法一：可先作ac，再作(ac)b，即abc.如图，首先在平面内任取一点O，作向量a，接着作向量c，则得向量ac，然后作向量b，则向量abc为所求法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作如图，(1)在平面内任取一点O，作a，b；(2)作平行四边形AOBC，则ab；(3)再作向量c；(4)作平行四边形CODE，则cabc.即为所求(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合；以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点

5、为终点的向量，即为两个向量的和(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤平移两个不共线的向量使之共起点；以这两个已知向量为邻边作平行四边形；平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和 如图，已知向量a，b，求作向量ab.解：(1)作a，b，则ab，如图(1)(2)作a，b，则ab，如图(2)(3)作a，b，则ab，如图(3)平面向量的加法运算化简：(1)；(2)；(3).【解】(1).(2)()0.(3)0.向量加法运算中化简的两种方法(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量(2)几何法：通过

6、作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简 1下列等式不正确的是()a(bc)(ac)b；0；.ABC D解析：选B.由向量的加法运算律知正确；因为0，故不正确；成立，故正确2.如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：(1)；(2).解：(1).(2)0.向量加法的实际应用某人在静水中游泳，速度为4千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？【解】如图，设此人游泳的速度为，水流的速度为，以，为邻边作OACB，则此人的实际速度为.由勾股定理知|8，且在RtACO中，COA60&#

7、176;，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题 如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和解：设，分别表示飞机从A地按北偏东35

8、°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是|；两次飞行的位移的和指的是.依题意有|8008001 600(km)，又35°，55°，ABC35°55°90°，所以|800(km)，其中BAC45°，所以方向为北偏东35°45°80°，从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.1化简的结果等于()A. B.C. D.解析：选B.0.2在四边形ABCD中，则一定有()A四边形A

9、BCD是矩形B四边形ABCD是菱形C四边形ABCD是正方形D四边形ABCD是平行四边形解析：选D.由得，即ADBC，且ADBC，所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故为平行四边形3已知非零向量a，b，|a|8，|b|5，则|ab|的最大值为_解析：|ab|a|b|，所以|ab|的最大值为13.答案：134.已知ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，求作：(1)；(2).解：(1)延长AC，在延长线上截取CFAO，则向量为所求(2)在AB上取点G，使AGAB，则向量为所求A基础达标1点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则等于()A.B.C. D.解析：选

10、A.因为点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则.故选A.2如图，四边形ABCD是梯形，ADBC，对角线AC与BD相交于点O，则()A. B.C. D.解析：选B.3若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km ”，则向量ab表示()A向东北方向航行2 kmB向北偏东30°方向航行2 kmC向北偏东60°方向航行2 kmD向东北方向航行(1)km解析：选B.如图，易知tan ，所以30°.故ab的方向是北偏东30°.又|ab|2 km，故选B.4.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB1，则|等于()A1 B2C3 D2解析：选

11、B.由正六边形知，所以，所以|2.故选B.5(2019·云南曲靖一中检测)已知向量a，b皆为非零向量，下列说法不正确的是()A若a与b反向，且|a|>|b|，则ab与a同向B若a与b反向，且|a|>|b|，则ab与b同向C若a与b同向，则ab与a同向D若a与b同向，则ab与b同向解析：选B.a与b反向，且|a|>|b|，则ab与a同向，所以B错；a与b同向，则ab与a同向，也与b同向6化简()()_解析：原式()().答案：7在菱形ABCD中，DAB60°，|1，则|_解析：在菱形ABCD中，连接BD，因为DAB60°，所以BAD为等边三角形，又

12、因为|1，所以|1，所以|1.答案：18已知平行四边形ABCD，设a，且b是一非零向量，给出下列结论：ab；aba；abb；|ab|<|a|b|.其中正确的是_解析：因为在平行四边形ABCD中，0，0，所以a为零向量，因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以正确，错误答案：9根据下列条件，分别判断四边形ABCD的形状：(1)；(2)且|.解：(1)因为，所以ADBC，ADBC，所以四边形ABCD是平行四边形(2)因为且|，所以四边形ABCD是有一组邻边相等的平行四边形，即四边形ABCD是菱形10已知|a|3，|b|3，AOB60°，求|ab|.解：

13、如图，因为|3，所以四边形OACB为菱形，连接OC，AB，则OCAB，设垂足为D.因为AOB60°，所以AB|3.所以在RtBDC中，CD.所以|ab|×23. B能力提升11已知有向线段，不平行，则()A|>|B|C|D|<|解析：选D.由向量加法的几何意义得|a|b|ab|a|b|，等号当且仅当a，b共线的时候取到，所以本题中，|<|.12若P为ABC的外心，且，则ACB_.解析：因为，则四边形APBC是平行四边形又P为ABC的外心，所以|.因此ACB120°.答案：120°13如图，已知ABC是直角三角形且A90°，则下

14、列结论中正确的是_|；|；|2|2|2.解析：正确以AB，AC为邻边作ABDC，又A90°，所以ABDC为矩形，所以ADBC，所以|.正确|.正确由勾股定理知|2|2|2.答案：14如图，已知向量a，b，c，d.(1)求作abcd；(2)设|a|2，e为单位向量，求|ae|的最大值解：(1)在平面内任取一点O，作a，b，c，d，则abcd.(2)在平面内任取一点O，作a，e，则ae，因为e为单位向量，所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，|即|ae|最大，最大值是3.C拓展探究15如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，要使整个系统