2018年湖南省长沙市湘一中学高三数学文期末试卷含解析

1、2018年湖南省长沙市湘一中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1、2、3、4、5、6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字1、2、3对面的数字是A. 4、5、66D. 5、B. 6、4、6、45、4、1-32 .复数1十工等于A.-C. 1D.3 .已知不等式组*十LV51,则目标函数/二工+ 2的最大值是（B . C. 7。只5784.若函数范围是()A. (1,2B. (0,25 .设集合心 A.【知识点】集合及其运算集合M=x|-1 12 <

2、x< 2 【思路点拨】6 .设直线l 1T (a>0A1C.B.且叮*1)的值域是4, +8),则实数B的取值2,+ 8d. a响卜卜士，则(C.D.N=x|x 2<x=x|0 <x< 1,则 MT N=x|0 <x<解一元二次不等式求得l 2分别是函数f (x)垂直相交于点P,且l 1, l2分别与A. (0, 1)B. (0, 2)C.N,再根据两个集合的交集的定义求得-1匕& 0<y<l15,MT N.图象上点Pi, P2处的切线，l1与l2y轴相交于点A, B,则4 PAB的面积的取值范围是(0, +8) D. ( 1 ,

3、+8)A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】设出点P1,P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l1与l2的斜率，由两直线垂直求得R,P2的横坐标的乘积为1,再分别写出两直线的点斜式方程，求得A,B两点的纵坐标，得到|AB|,联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得PAB的面积的取值范围.【解答】解：设Pi(xi,yi),P2(X2,y2)(0vxiv1vx2),当0VxV1时，f'(x)="，当x>1时，f'(x)=R,.li与 I2垂直,且 x2>xi>0,直线11：即 xix2=1 .取x=0分别

4、得到A(0,1-lnx1),B(0,-1+lnx2),|AB|=|1-Inx1-(-1+lnx2)|=|2一(Inxi+lnx2)|=|2Inxix2|=2.联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=叼+耳2,函数 y=x+ * 在(017X2Xp|= >：,1)上为减函数，且 0Vxivi,则.PAB的面积的取值范围是(0,1).故选：A.7.设声:.石,若”=0,则、£九五K若二3=0,则3备。则()A.p瓜都假B.真1假C."假夕真D.P,1都真。8.给定性质：最小正周期为中，同时具有性质、的是图像关于直线3对称，则下列四个函数)A.C.y=sinB.y=sinI2

5、x-D.CD3是了的导函数，则函数/在原点附,若9.已知函数/=工+2cosz10.设值1严，则白，1&，仁的大小关系是(B,C.D.试题分析：因为0<0J2s<l,所以"C8.故选d.考点：指数函数与对数函数的性质.豆=3瓦乃丽=2,则二、填空题：本大题共7小题,每小题4分，共28分11.如图在平行四边形屈BUD中,已知4?=8,AD=5卅H的值是.【知识点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算.F3._1,.二【答案解析】22解析：:CP=3PD,.AP=A5+4AB,乐石-雷，又AB=8AD=5111_3_1一一旦一1.:AP?BP=（AD+4AB）?（

6、&4杷）=|AD|2-2AB?AD-161AB12=25-2AB?AD-12=2,故L?J=22,故答案为：22.13【思路点拨】由万=3而!，可得亚方+福，晶石-氨，进而由AB=8,AD=5万=3而，族?而=2,构造方程，进而可得答案.12 .函数»=*1n*8*的最小正周期是。13 .某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92,如果学号为1号到30号的同学平均成绩为90,则学号为31号到50号同学的平均成绩为.95由题意得二-二一-''-14 .已知球O的体积为36支，则球的内接正方体的棱长是姐【考点】球内接多面体.【专题】计算题；转化思想；综合法；空

7、间位置关系与距离.【分析】先确定球的半径，利用球的内接正方体的对角线为球的直径，即可求得结论.【解答】解：二.球的体积为36支二球的半径为3二球的内接正方体的对角线为球的直径:球的内接正方体的对角线长为6设球的内接正方体的棱长为a,则6a=6：a=2.；故答案为：持.【点评】本题考查球的内接正方体，解题的关键是利用球的内接正方体的对角线为球的直径，属于基础题.或十或二6琦=2,+2M3十缢十片十嘘二那一对.15.观察等式C：丁十g+笫+若+3=产+2、由以上等式推测到一个一般的结论:对于"二''；'；一'+16 .若锐角巩尸满足。+At犯困。+小回的=

8、4,则口+F=17 .一个几何体的三视图如图所示（单位:m）,则该几何体的体积4由三视图可知，该组合体是由两个边长分别为2,1,1和1,1,2的两个长方体，所以体积之和为2x1x14-1x1x2=40三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18 .已知直线ig与抛物线C：产-既相交于4E两点,网，则后C.1a52V2D.【答案解析】D解析：直线*1(")()恒过点加刊(：)=_8*的准线方程为过点4月两点分别【知识点】直线和圆锥曲线的关系H7H8,口=2fW&四得，如图：i11+4pjr.61tV1.户宜”心飞0k工jTV/C.yi8rJ:

9、r=-2、所以点火是线段/p的中点，I。用I盟连接UR，则2,on=/，|点fi的横坐标为1,故点H的坐标为：。，,2<2-0272/.k1-(-2)3故选：D【思路点拨】先过A,B两点分别作准线的垂线，再过由1MhMB作AC的垂线，垂足分别为C,D,作抛物线准线的垂线，垂足分别为E,在直角三角形ABE中，求得cos/BAE进而可求直线AB的斜率19 .(本小题满分12分)已知命题p：寸xqi,2,x2-a>Q命题q：3xoR,使得x+(a1)x0+1<0.若“p或q”为真，且4”为假，求实数a的取值范围。解：p真，则QW1q真，则=缶即1aA3或由7:“产vg”为真，由八g

10、为假,广闻中必有一个为真，另一个为假a三1得-1工1当真时，有-X当真推时，有徐”3实数a的取值范围为-王做"3 .略叫r3320 .(本小题满分12分)以椭圆必卜的中心O为圆心，山5+卜为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆C的左顶点为P,左焦点为F,上顶点为Q且满照=2同的2=当皿足(I)求椭圆c及其“准圆”的方程；(II)若椭圆C的“准圆”的一个弦ED(不与坐标轴垂直)与椭圆C交于MN两点，试证明：当时，试问弦ED的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.“I）设精的左焦点尸£一门口）,。由5-=乎5g湖金=畀又1?、1=2即?丁必=4旦射e4?,所IX&

11、amp;¥=3.61.3分照相圈C帕方1程为*/1=hl18EC的-覆黑”方程为尸十=工5分（Q）题直畿ED的方程为h=Nk+S（3B£R）,旦马常质C的交点yj）t（ykgr+b醺刑疗程迎，工工，,代入酒元得iF+*i1+&*）/+“心+3/-3"07分,由殖 * (5?9«0 W ZjZj + J1>7 "="即 g一砧人川二3由七+4.用手-皿工三中庐V一常可御M的=（*工1占）凌上：十"'=TTSF+1加;斐JJ。，所以护一&J4T分+1TiJjC/此时公=36/方-4（1一北'

12、H%:-3）=27即+3A。成立，1。分则原点凸到弦£口的.寓d=L=J*=7丹=器n分好原点。到弦区口的.离为,则叩=2加一卜内"，故弦ED的长为定值.几分21.（本小题满分12分）设公比大于零的等比数列%的前德项和为E,且呵=LS=55，数列4的前用项和为看,满足A=l"=”41柴犷.（I）求数列（心）、间的通项公式;（ii）设%=（邑+由叫叫,若数列kJ是单调递减数列，求实数兄的取值范围【知识点】等差数列与等比数列的综合.D5b_-（I）4r”血-1）（n）解析：（I）当勺二1时，经验证不符合题意；1-九5（1-力当产。且*1时，由枭=58，-1-守，解得&

13、quot;2,又出二I所以2一2”又小=31）飞|（">2）,两式相减得小/口（门N2）,b-A_.£A_1.,6二1"2叱32，1-所以bd-瓦1界卜】""】汛E1）,打=1时，队=1也满足上式，所以b-=1一2，所以f2.(tr I是单调%一2一2%一 八）父 0 对kN恒成立,口 12日II恒成立，所以n I 2 ft10分422日2nI2nII（n1）（/7I2）用_2因为巴用，,42、1日】（）111al_,A>所以当打三1或2时，“2小】-3所以312分【思路点拨】（I）利用的=%，求出数列的公比，即可求数列（）的通项公式；通过T广"°h推出I"1,利用累积法求解bn的通项公式.（II）求出等比数列的前n项和，化简%=（£+1）（叫一，推出Cn+1-Cn,利于基本不等式求出数列卜二是单调递减数列，求实数入的取值范围.22.如图，四棱锥PABCD,底面ABCM矩形，P/a平面ABCDE为PD的中点.(I)证明：PB/平面AEC;(II)设AP=1,AD=/N,三棱锥P-ABD的体积V=4，求A到平面PBC的距离.3而(I)见解析(II)13(I)设AC的中点为G,连接EG在三角形PBD中，