2019年中考数学二轮新优化复习第二部分专题综合强化专题6圆的相关证明与计算针对训练

1、第二部分专题六类型1与全等三角形相关证明与计算1) （2016梧州）如图，过。O上的两点点C,D,连接CD交OO于点E,F,过圆心AB分别作切线，并交BOAO的延长线于O作OMLCD垂足为M点.CE求证：(1)AACOgBDO2) )CE=DF证明：(1).ACBD为。的切线,.CA®/DB®90,在ACMBDO,CAO=/DBO/ao=BQ上AOC=/BOD.ACBDOASA).(2).ACO2ABD(OCO=DO.OMLCDMC=DMEM=MF.CE=DF2.(2018北京)如图，AB是。的直径，过。O外一点P作。O的两条切线PCPQ切点分别为C,D,连接OPCD(1)

2、求证：OPLCD(2)连接ADBC若/DAB=50,/CBA=70,OA=2,求OP的长.证明：如答图，连接OCOD，OC=ODV PQ PC是。的切线,.Z ODP=Z OCP90 .在 RtAODW RtAOCF,OD=OQ'OR=OP, RtAODRtAOCIfHL),.Z DORZ CO?OD=OC OPL CD(2)解：。生 OD= OG= OB= 2,. Z ADe=Z DA0= 50 , Z BCO= Z CBO= 70 , / AO& 80 , Z BOG=40 ,/ COB 60° . OD=OQcot等边三角形，由 知，Z DORZ COR 30

3、,OD 4/3在RQOD叱0同厂=不3. （2017 贺州）如图，。是ABCW外接圆，AB为直径, 点D,过点D的切线分别交 AB AC的延长线于E, F,连接BDBAQI勺平分线交。O于求证：AFXER(2)若AC=6,C已2,求。的半径.证明：如答图1,连接OD-1EF是。O的切线，且点D在OO上,.ODLEF.OA=OD/DAB=/ADOA叶分/BAC/DAB=/DAC/ADe/DACAF/ODAFLEF(2)解：如答图2,过D作DGLAE于点G,连接CD:/BAD=/DAFAF±EF,.BD=CDDG=DF,aaaq在RtADF和RtAADG,DF=DGRtMDBRtAAD(

4、HL),同理可得RtACDF3RtBDG.BG=CF=2,AG=AF=AOCF=6+2=8,AB=AGBG=8+2=10,1.OO的半径为2AB=5.4. (2018苏州)如图，AB是OO的直径，点C在。O上，AD垂直于过点C的切线,垂足为D,CE垂直AB垂足为E,延长DA交。O于点F,连接FGFC与AB相交于点G连接OC(1)求证：CD=CE(2)若AE=GE求证：CEB等腰直角三角形.证明：（1）连接AC：CD。0的切线，.OdCD.ADLCD./DC®ZD=90,AD/OC/DAC=/ACOOC=OA /CA®/ACO/DAC=/CAO CELAB，/CEA=90,/

5、A/CEA在CDW口CEA,.DDAC=/EACAC=AC,.CD作CEAAAS）,CD=CE（2）连接BCCDMCEA ./DCA=/EC.-.CELAGAE=EGCA=CG/ECA=/ECG.AB是OO的直径，ACB=90°,.CELAR/ACE=/B./B=/F, .ZF=/ACE=/DCA=/ECG ./D=90°,.DCFF/F=90,/F=/DCA=/ACE=/ECG=22.5,.AO&2/F=45, .CEO1等腰直角三角形.类型2与相似三角形相关证明与计算片对i维1. （2018玉林适应考试）如图，AD是0O的直径，AB为。O的弦，OPLADOP与A

6、B的延长线交于点P,点C在OP±,且BC=PC(1)求证：直线BC是。O的切线；(2)若OA=3,AB=2,求BP的长.(1)证明：如答图，连接OBOA=OB./A=/OB.又.BOPC .ZP=/CBP.OPLAD./A+/P=90°, /OBA/CBP=90°,，/OB6180°(/OBA+/CBP=90. 点B在OO±,直线BC是OO的切线.(2)解：如答图，连接DBADOO的直径， ./ABD=90, RtAABID"RtAAOP'Abt祭即2解得AP=9，BP=AP-BA=9-2=7.2. (2018贺州)如图，AB

7、是。O的弦，过AB的中点E作ECLOA垂足为G过点B作直线B改CE的延长线于点D,使得DB=DE(1)求证：BD是。的切线；(2)若AB=12,DB=5,求AOB勺面积.(1)证明：OA=OBDB=DE./A=/OBA/DEB=/DBE.ECLOA/DEB=/AEC./A+/DEB=90°,OBA/DBE=90°,.OBD=90.O配OO的半径，BDOO的切线.(2)解：过点D作DUAB于点F,连接OE如答图.点E是AB的中点，AB=12,AE=EB=6,OELAB又.DE=DBDUBEDE=DB=5,EF=BF=3,.D已DE2EF2=4./AEG/DEF/A=/EDF.

8、OELABDF!AB,./AEO=ZDFE=90 . AEO DFEeo aeFe- dfEO6/口9丁4,彳导EO=2'''SAOB=1ABOE=1X12X9=27.222OM3. (2018随州)如图，AB是。O的直径，点C为。O上一点，CN为。O的切线,XAB于点Q分另1J交ACCNITD,M两点.(1)求证：MD=MC(2)若。O的半径为5,AC=4。5,求MC勺长.(1)证明：如答图，连接OC CNIOO的切线， OCLCM/OCA-ZACIW90° OM_AR./OAG/ODA90.OA=OC/OA仔/OCA /AC随/ODA/CDMMD=MC(2

9、)解：由题意可知AB=5X2=10,AC=6心.AB是OO的直径， ./ACB=90,BC=>102-W52=2收./AO®/ACB/OA®/CABOD AO. .AO建 ACB, .奇BC ACOD 5即一r =一尸,2,5 4,55可得 OD=-.设 MC= MD= x,在Rt"CMK由勾月定理得(x+5)2=x2+5；15154. (2016来宾)如图，在ABO43,/C=90°,/BAC的平分线交BC于点D,DELAD交AB于点E,AE为OO的直径.C(1)判断BC与OO的位置关系，并证明你的结论;(2)求证：AB9DBE若cosB=平，A

10、E=4,求CD3(1)解：结论：BC与。O相切.证明：如答图，连接OD.OA=OD/OA®/ODvA叶分/CAB/CAD=/DAB/CAD=/ADO.AC/OD.AdBCOD_BCBC是OO的切线.(2)证明：.BC是OO的切线，ODB=90°,BD曰/ODE90.AE是。O的直径， /AD号90°,./DAEF/AED=90.OD=OE/ODE=/OED/DAB=/BDE./ABD=/DBE .ABSDBE解：在 RtAODEJ,BDcosB=cOB3 设BD=2叔,OB=3k.OD+BD=OB,4+8k2=9k2,k=2,BO=6,BD=4,2. DO/ AC

11、,BDBO426CDTAd-CD=2, CD=412.3类型3与锐角三角函数相关证明与计算1. （2018毕节）如图，在ABC,以BC为直径的。O交AC于点E,过点E作AB的垂线交AB点F,交CB的延长线于点G且/ABG=2/C(1)求证：EG是0O的切线；_1(2)若tanC=2AC=8,求。O的半径.(1)证明：如答图，连接OEBE.ZAB(Gf2/C,/ABG/C+/A,/C=/A,BC=ABBC是OO的直径，.ZCEB=90,CE=AE.CO=OBOE/AB.GELAR，EGhOE又丁。加。可径，EG是。的切线.BE1-(2)解：AO8,.CE=AE=4.tanO支=万，BE=2,.B

12、C="CE2+BE2=2gCO=木，即。O的半径为水.2. (2018贵港二模)如图，已知在RtABC中，ZABC=90°,以AB为直径的。O(1)求证：DE是0O的切线；(2)若AB=3AD求sinC.(1)证明：连接OD.-AB是。的直径， ./ADB=90°,.BDC=90.E为BC的中点，DE=BE=CE/EDB=/EBDO氏OB.ZODBZOBD./ABC=90°, ./ED®ZEDB-/ODB/EBDF/OBD=ZABC=90,.OtXDE,.ODOO的半径，DEOO的切线.(2)解：.AB为。O的直径，/ADB=90°,

13、 /ABD/BAD=90./ABC=90,./C+ZBAC=90°,C=/ABDAB=3AD,z.sinZABD=AD=J,.sinC=1.AB333. (2018柳州三模)如图，AB是。的直径，弦CDLAB于H,过CD延长线上一点E作。O的切线交AB的延长线于F,切点为G,连接AG交CD于K.F GE(1)求证：KE=GE(2)若KC=KD-CE,试判断AC与EF的位置关系，并说明理由; 在(2)的条件下，若si nE= -3, AK= 2m，求FG的长.5芯 F GE F G图I图2图3第3题答图解：如答图1,连接OG EG。0的为切线，KGEF/OGA=90.CDLAB,.ZA

14、KH/OA&90.又.OA=OG,./OGA/OAG,/KGE=/AKH=/GKE,.KE=GE(2)解：AC/EF理由：连接GD如答图2所示.KG KDgTKg?o目口KGGEkG=KDGE即KDKG又./KGE=/GKE.GKHEGK .ZE=/AGD又,一/C=ZAGD,./E=/C,.AC/EF(3)解：连接OGOC如答图3所示.3、一一 ,sinE=sinZACH=-,<AH=3t,贝UAC=5t,CH=4t.KE=GEAC/EF,.CK=5AC=5t, .HK=CK-CH=t.在RtAHK中，根据勾股定理得aH+hK=aK,即(3t)2+t2=(2期,解得t=，2.设

15、。O的半径为r,在RtAOCFH,OC=r,OH=r3t,CH=4t,由勾股定理得OH+CH=OC,即(r3t)2+(4t)2=r：解得二25"2.-EF为。O的切线，.OG叨直角三角形，在RtOG冲,OG=r,tan/OFG=tanZCAH=而=-25.2OG625.2FG=tanZOF(T4=834. (2016北海)在ABC43,AB=AC以AB为直径的。O交AC于点E,交BC于点D,P,连接DE BEOO的切线BP与AC的延长线交于点(1)求证：BD=DE;(2)求证：/AED=/BCP已知：sin/BA氏迹，AB=10,求BP的长.5证明：AB是OO的直径， ./ADB=9

16、0,即AD!BC又“氏AC.A叶分/BAC/BAD=/DAC，BD=DE.(2)证明：.AB是。O的直径，ADLBCBD=DCBD=DE,BD=DEDC=DE/DEC=/DCE /AED"/DEG180,/DCEbZBCP=180, ./AED=/BCPBD5解：sinZBA>=,AB=10,AB5.AC=AB=10,BD=20DDC=DE=275.设EC=x,贝UAE=10-x, .在RtABE中，B=A-A,在RtBEC中,bP=bC-EC,a-aE=bC-EC,即102(10x)2=(2乖+2乖)2x2,解得x=4,EC=4,AE=6,.BE=#B2AE2=102-62=

17、8. /ABEFZEBP=90°,/EB印/P=90°, /ABE=/P.又AEB=/ABR=90,.ABaAAPBAEBE68cc40-AB=BP即而=而，.8尾于类型4与特殊三角形相关证明与计算计对训练1. (2016钦州)如图，在ABC43,AB=AQAD是角平分线，BE平分/AB改AD点E,点O在AB上，以OB为半径的。O经过点E,交AB于点F.求证：AD是。的切线；(2)若AC=4,Z030°,求己的长.(1)证明：如答图，连接0E0B=0E /0BE=Z0EB.BE平分/ABC /0BE=ZEBQ /0EB=ZEBPOBBD.AB=AQACW分/BAQ

18、.ADLBQOEA/BD与90°.点F有。O上，二.AD是。O的切线.(2)解：AB=AG=4,ZC=ZB=30,BD=243.设。的半径为r,则BO=OE=r,A0=AB-0B=4r.O曰BD=OEBD即二丁，解得4 2镜1 = 8 小 12,“=犒72=（乎”2.（2018巴中）如图，在ABC中，AB=BC以AB为直径的。O交BC于点D,交AC于点F,过点C作CE/AB,与过点A的切线相交于点E,连接AD(1)求证：AD=AE(2)若AB=6,AC=4,求AE的长.证明：.AE与OO相切，AB是。O的直径，BAE=90°,/ADB=90°.CE/AR.-/E=

19、90°,./E=/ADB.在ABO43,AB=BC/BAC=/BC.CE/AB/BAC=/ACE /BCA=/ACE又.AC=AC .ADCAECAAS),.AD=AE(2)解：设AE=AD=x,CE=CD=y,则BD=6-y. AECAAD助直角三角形，.A=+cE=aC,A5+bD=aB将AB=6,AC=4,AE=AD=x,CCD=y,BD=6-y代入，解得x=832,y=g,即AE的长为8,23.3. （2016南宁）如图，在RtAABO,/C=90°,BD是角平分线，点O在AB上,以点O为圆心，O助半径的圆经过点D,交BC于点E.I）（：（1）求证：AC是。的切线;

20、(2)若OB=10,CD=8,求BE的长.(1)证明：如答图，连接ODBD为AABC勺平分线，/1=72.OB=OD1 =/3,2=/3,OD/BC./C=90°, /ODA90. 点D在OO±, .AC为OO的切线；(2)解：过O作OG_BC,连接OE如答图.四边形ODCG;矩形，GC= O氏 OB= 10,OG= CD= 8,在RtOBGK利用勾股定理得BG= 6. . OGL BE OB= OE BE= 2BG= 12.类型5与特殊四边形相关证明与计算H时训练1. (2017 毕节)如图，已知。O的直径CD= 6, A B为圆周上两点,是平行四边形，过 A点作直线EF

21、/ BQ分另交CD CB的延长线于点 E,且四边形 OABCF, AO与BD交于G点.(1)求证：EF是。O的切线;(2)求AE的长.证明：.CM0O的直径，DBC=90°,，BDLBC二.四边形OABCI平行四边形,AO/BCBDLOA.EF/BQOALEF点A在OO上，EF是OO的切线.(2)解：连接OB如答图.四边形OABO平行四边形，OA=BC,而OB=OC=OAOB=OC=BC.OB等边三角形，C=60°.AOE=/C=60.在RtAOAE,AEtanZAOE=OAAE=3tan60°=33.2. （2018贵港二模）如图，在矩形ABCDK点O在对角线A

22、C上，以OA的长为半径的。O与ADAC分别交于点E,F,且/ACB=/DCE第2题图(1)求证：直线CE与。O相切；(2)若tan/BAC=BC=2,求。O的半径.证明：二.四边形ABC比矩形，BC/AD /BCA=/DAC又/ACB=/DCE/DAC=/DCE连接OE则/DAC=/AEO=/DCE ./DCE-/DEC=90°, ./AEQ-/DEC=90°, ZOE690,即OELCE又O蕾OO的半径，直线CE与。相切.(2)解：tan/BAO/，BC=2,z.AB=小,.AO®/DCE=ZACBtan/DCE=tan/ACB=#,DE=DC-tanZDCE=1.在RtACDE,CE=CD2TdE2=质.设。O的半径为r,则在RtACOEE,CO=OE+CE,即(m一r)2=r2+3,解得=".3. (2017贵港)如图，在菱形ABCD,点P在对角线AC上，且PA=PDOO是4PA曲外接圆.B(1)求证：AB是。O的切线；(2)若AC=8,tan/BAC=申,求。O的半径.证明：连接OPOAO汽AW点E,如答图.第3题答图.PA=PQ