第一课：晶体结构

1、 Tianjin University材料物理材料物理 马卫兵马卫兵暗能量在大尺度结构上驱动宇宙加速膨胀和星系彼此分离暗能量在大尺度结构上驱动宇宙加速膨胀和星系彼此分离 Tianjin University绪论：材料物理概况0.1 固体物理的研究对象0.2 固体物理的发展历程0.3 固体物理的研究方法0.4 固体物理的相关教材0. 5 课程的主要内容什么是什么是固体固体物理学？物理学？如何学习如何学习固体固体物理学？物理学？ Tianjin University 0.1 固体固体物理学的研究对象物理学的研究对象固体物理： 是研究固体材料的物理性质、微观结构、固体中各种粒子运动形态和规律及它们相

2、互关系的学科。晶体原子原子应用结构能带 Tianjin University量子力学的产物电子学革命将我们带入了计算机时代；光子学革命又将我们带入了信息时代。如今，“声波可代替光与原子相互作用” 带来的现实影响或将无可估量。Propagating phonons coupled to an artificial atomMartin V. Gustafsson, Thomas Aref, Anton Frisk Kockum, Maria K. Ekstrm, Gran Johansson,and Per Delsing（Science 1245993 Published online 11

3、September 2014 DOI:10.1126/science.1257219 1Microtechnology and Nanoscience, Chalmers University of Technology, Kemivgen 9, SE-41296, Gteborg, Sweden.2Department of Chemistry, Columbia University, NWC Building, 550 West 120th Street, New York, NY 10027, USA. Tianjin University能带理论晶格振动晶格结构固体性能本质光，电，热

4、，磁固体物理：揭示了不同材料具有不同性质的根本。 Tianjin University 0.2 固体物理学的发展历程固体物理学的发展历程 1912年Laue的X射线晶体衍射20世纪初量子论自此之后的几十年是创立固体理论的辉煌时期： 固体物理 Tianjin University*Einstein 1907 和和Debye 1912：固体：固体比热的量子理论。比热的量子理论。* Sommerfeld 1928 ，量子论的电子论，量子论的电子论。 *Bloch 1928， 周期周期势场中的势场中的Schrdinger方程，方程，引入引入 了了能带的概念能带的概念。Brillouin , Seitz

5、, Slater等等人完善人完善了能带论。了能带论。* Heisenberg, *Wigner, *Mott, *朗道，夫伦克尔，朗道，夫伦克尔，佩尔斯，佩尔斯，*肖特基，肖特基，*范弗莱克范弗莱克等形成了固体物理学。等形成了固体物理学。 Tianjin University赛兹1940年出版的现代固体理论一书,标志着固体物理的成熟并形成了固体物理理论的第一个范式。（建立在对晶体认识的基础上） Seitz F, Modern Theory of Solids, McGraw-Hill 19401963年由Walter Kohn 建立了密度泛函理论则是能带计算、量子化学和计算材料学的基础。 Ti

6、anjin University 1959年，著名的诺贝尔奖得主费曼就设想： “如果有一天人们可以按照自己的意志排列原子如果有一天人们可以按照自己的意志排列原子和分子，那会产生什么样的奇迹！和分子，那会产生什么样的奇迹！” ， “毫无疑问，如果我们对细微尺度的事物加毫无疑问，如果我们对细微尺度的事物加以控制的话，将大大扩充我们可以获得物性的范以控制的话，将大大扩充我们可以获得物性的范围围”， 如今，费曼的预言已经初步实现：我们已能够制备包括几十个到几万个原子的纳米粒子，并把它们作为基本构成单元，适当排列成一位量子线、二维量子面和三维纳米固体。 Tianjin University 1. 固体物

7、理是一门“横向”科学； 2. 是一门理论与实践密切结合的科学； 3. 固体理论中充满了各种近似方法近似方法。 4. 开放式、不断完善的科学。0.3 固体物理的研究方法固体物理的研究方法 Tianjin University1. 黄黄 昆，韩汝琦，固体物理学昆，韩汝琦，固体物理学 高等教育出版社 1988第1版， 2. Kittel C. Introduction to Solid State Physics, 8th ed. John Wiley Sons Inc.,2005 3. 顾秉林，固体物理学，清华大学出版社， 1989年第一版，未再版和重印4. 阎守胜，固体物理基础，北京大学出版社，

8、 2000年第一版，2004第二版5.方俊鑫，陆栋，固体物理学（上，下两册） 上海科技出版社1980，1981 0.4 参考教材参考教材 Tianjin University0.5课程的主要内容1 1、晶体的结构、晶体的结构2 2、固体的结合、固体的结合3 3、晶格热振动（固体中原子运动规律）、晶格热振动（固体中原子运动规律）4 4、晶体的能带理论、晶体的能带理论5 5、金属的自由电子理论、金属的自由电子理论6 6、固体的磁性、固体的磁性7 7、超导电性、超导电性现象机理应用 Tianjin University第一章：晶体的结构第一章：晶体的结构1.11.1：晶格：晶格1.21.2：晶向及晶

9、面：晶向及晶面1.31.3：晶体的宏观：晶体的宏观对称性对称性1.41.4：几种典型的晶体结构：几种典型的晶体结构1.51.5：倒易点阵：倒易点阵 Tianjin University六角相绿玉六角相绿玉单斜相石膏单斜相石膏三角相石英三角相石英非晶琥珀非晶琥珀1.11.1：晶格：晶格 Tianjin University方解石方解石 Tianjin University 1. 1.点阵和基元点阵和基元1.11.1：晶格：晶格晶体晶体中中按周期重复排列的那一部分原子按周期重复排列的那一部分原子（结构单元）抽象成一个几何点（结构单元）抽象成一个几何点来表示，来表示，这个从晶体结构中抽象出来几何点的

10、集合这个从晶体结构中抽象出来几何点的集合称之为称之为晶体点阵，晶体点阵，简称简称（crystal crystal latticelattice）。是周期结构中等同点的几何抽象。晶体：晶体：原子或原子团在三维空间无限地周期排列起来的列阵。点阵：点阵：晶格： Tianjin University 构成晶体构成晶体结构的原子结构的原子或原子团或原子团点阵点阵 基元基元 晶体结构晶体结构在空间规则地在空间规则地排列着的点排列着的点的列阵。的列阵。 Tianjin University 晶体结构 晶格 基元 Tianjin University2.原胞和基矢 原胞： 一个晶格最小的周期性单元（Primi

11、tive cell ）。）。 二维点阵的原胞是平行四边形，三维点阵的二维点阵的原胞是平行四边形，三维点阵的原胞是平行六面体。原胞是平行六面体。 以原胞的边矢量为点阵以原胞的边矢量为点阵基矢基矢构成平移矢量，构成平移矢量，可以把原胞复制满空间。可以把原胞复制满空间。 Tianjin University原包选取的不唯一性 Tianjin University 三维周期性晶格的每个格点的位置坐标：三维周期性晶格的每个格点的位置坐标： R = l1a1 + l2a2 +l3a3其中l1、l2、l3为整数。A1,a2,a3为基矢 Tianjin University Tianjin Universit

12、y1.21.2、晶向及晶面、晶向及晶面 1. 1. 晶列和晶向晶列和晶向 晶列： 晶向：晶向指数：格点可看成分别在一系列相互平行的直线系上，这些直线系称为晶列。同一个格子可以形成方向不同的晶列，每个晶列定义了一个方向，称为晶向。 Tianjin University如果从一个原子沿晶向到最近的原子的位移矢量为：如果从一个原子沿晶向到最近的原子的位移矢量为： l1a1 + l2a2 +l3a3则晶向就用则晶向就用l1、l2、l3来标记。来标记。写成写成 l1 l2 l3-晶向指数晶向指数 Tianjin University Tianjin University2 2、晶面指数、晶面指数 点阵中

13、的阵点可以看作是分布在一系列相互点阵中的阵点可以看作是分布在一系列相互平行的平面上，这些相互平行的平面是等间距的平行的平面上，这些相互平行的平面是等间距的，在每一个平面上的阵点分布情况是完全一样的，在每一个平面上的阵点分布情况是完全一样的，因此随便哪一个平面都可以代表这一组平面，因此随便哪一个平面都可以代表这一组平面，这一组相互平行的面称为这一组相互平行的面称为平面族平面族，一组相互平行，一组相互平行的点阵平面应当把所有的阵点概括。的点阵平面应当把所有的阵点概括。 Tianjin University Tianjin University 根据以上分析，我们可以确定找出一个晶根据以上分析，我们

14、可以确定找出一个晶面指数的基本方法面指数的基本方法: :（) )先找出晶面在三个晶轴上的截距值先找出晶面在三个晶轴上的截距值, ,晶轴晶轴可以是初基的可以是初基的, ,也可以是非初基的。也可以是非初基的。（) )将这些数取倒数。将这些数取倒数。（) )通常将三个数化成三个互质的整数，放通常将三个数化成三个互质的整数，放在圆括号中（在圆括号中（hklhkl），若选定的晶轴是初基的），若选定的晶轴是初基的（即是基矢），则（即是基矢），则hklhkl是不含公约数的。是不含公约数的。 Tianjin University Tianjin University Tianjin University1.1

15、.3 3、 宏观对称性宏观对称性 1. 1. 对称操作对称操作 布拉菲点阵有一些基本性质，对称性是其基布拉菲点阵有一些基本性质，对称性是其基本性质之一。点阵的类型是由点阵的对称性来区本性质之一。点阵的类型是由点阵的对称性来区分的。分的。 所谓点阵的对称操作是这样一种运动或动作所谓点阵的对称操作是这样一种运动或动作，将点阵经过这样一种操作后，点阵中的所有阵，将点阵经过这样一种操作后，点阵中的所有阵点都会落到操作前的等价点上，这种操作的结果点都会落到操作前的等价点上，这种操作的结果是把点阵引入到与原始状态完全等价的构型上。是把点阵引入到与原始状态完全等价的构型上。 Tianjin Universi

16、ty平移对称平移对称操作操作对称操作通常包括两大类：对称操作通常包括两大类：点对称点对称操作操作把点阵或晶体平移点阵矢量群中的任一把点阵或晶体平移点阵矢量群中的任一矢量的操作称之为平移对称操作。经过矢量的操作称之为平移对称操作。经过这种操作点阵（或晶体）自身是还原的，这种操作点阵（或晶体）自身是还原的，这种性质称为平移对称性。这种性质称为平移对称性。在操作的过程中点阵或晶体中至少在操作的过程中点阵或晶体中至少有一个点是保持不动的，这种操作有一个点是保持不动的，这种操作称为点对称操作。同样，经过点对称为点对称操作。同样，经过点对称操作，点阵或晶体也观察不到任称操作，点阵或晶体也观察不到任何变化。

17、何变化。 Tianjin University点对称操作主要分以下几类：点对称操作主要分以下几类：（1 1）转动）转动 将点阵（或晶体）绕通过某一定点的轴进行旋转将点阵（或晶体）绕通过某一定点的轴进行旋转，如果，每转动，如果，每转动2/2/点阵都是自身还原的，则相应点阵都是自身还原的，则相应的转动轴，我们称之为重转动轴。转动轴的符号用的转动轴，我们称之为重转动轴。转动轴的符号用1 1、2 2、3 3、4 4、6 6表示。表示。（2 2）镜面反映）镜面反映 若一个点阵以通过某一定点的平面为镜面，将点若一个点阵以通过某一定点的平面为镜面，将点阵反映为它的镜象，点阵是自身还原的，这种对称性阵反映为它

18、的镜象，点阵是自身还原的，这种对称性称为镜面对称性，这种操作称为镜面对称操作。通常称为镜面对称性，这种操作称为镜面对称操作。通常用符号或用符号或表示。表示。 Tianjin University Tianjin University点对称操作主要分以下几类：点对称操作主要分以下几类：6, 4, 3, 2, 1（3 3）中心反演）中心反演 通过某一定点的直线为轴，将点阵或晶体先转动通过某一定点的直线为轴，将点阵或晶体先转动1801800 0 ，然后通过过这一定点而垂直于旋转轴的平面再作，然后通过过这一定点而垂直于旋转轴的平面再作镜面反映的操作称为中心反演。这样的操作效果相当于镜面反映的操作称为中

19、心反演。这样的操作效果相当于把（，）变成为（，把（，）变成为（，z z）。原点）。原点O O称为对称心，中心反演一般用表示。称为对称心，中心反演一般用表示。（）转动反演（）转动反演 通过某定点的轴把点阵先转动通过某定点的轴把点阵先转动2/2/，再进行中心反，再进行中心反演，相应的转动轴称为重转动反演轴，用符号表示演，相应的转动轴称为重转动反演轴，用符号表示，只可能取，只可能取 。 Tianjin University旋转反演轴的对称操作：旋转反演轴的对称操作：1次反轴为对称中心；2次反轴为对称面；3次反轴为3次轴加对称中心 Tianjin University转动轴、对称心、镜面等这些几何元素

20、，即转动轴、对称心、镜面等这些几何元素，即进行对称操作所依靠的几何元素称为对称进行对称操作所依靠的几何元素称为对称元素。元素。点阵（或晶体）中的对称元素：点阵（或晶体）中的对称元素：（）转动轴：（）转动轴： 1 1、2 2、3 3、4 4、6 6（）转动反演：（）转动反演： （）对称心：（）对称心： （）镜面：（）镜面： 6, 4, 3 Tianjin University2.2.布拉菲晶胞（单胞）布拉菲晶胞（单胞） 为了能反映出点阵的对称性，选取的晶胞称为布拉为了能反映出点阵的对称性，选取的晶胞称为布拉菲晶胞。菲晶胞。布拉菲晶胞布拉菲晶胞选取的原则选取的原则a.a.尽可能选取高次对称轴为晶轴

21、方向。尽可能选取高次对称轴为晶轴方向。b.b.晶胞的外形尽可能反映点阵的对称性。晶胞的外形尽可能反映点阵的对称性。c.c.尽可能使晶轴夹角为直角。尽可能使晶轴夹角为直角。d.d.在满足上述原则的前提下尽可能选用最小体积的在满足上述原则的前提下尽可能选用最小体积的平行六面体。平行六面体。 Tianjin University 为了反映点阵的对称性就要考虑点阵所为了反映点阵的对称性就要考虑点阵所选取的选取的布拉菲晶胞布拉菲晶胞的晶胞参量。三维情况下，是的晶胞参量。三维情况下，是三棱的长，及三棱之间的夹角三棱的长，及三棱之间的夹角，。布拉菲晶胞的体积总是等于初基晶胞体积的整数倍布拉菲晶胞的体积总是等

22、于初基晶胞体积的整数倍 VV 为单胞中的阵点数。为单胞中的阵点数。 Tianjin University三维点阵类型三维点阵类型 在三维空间点对称操作与平移对称操作的在三维空间点对称操作与平移对称操作的组合共有组合共有1414种，因此三维空间只有种，因此三维空间只有1414种种BravaisBravais点阵，分属点阵，分属7 7个晶系。个晶系。 Tianjin University Tianjin University Tianjin University点群及空间群 点对称操作共有转动、反应和反演三种。在点对称操作基础上组成的对称操作群称为点群。对于晶体由于平移对称性的限制只能组成32个点

23、群。使晶体复原的全部平移及点对称操作的集合，构成空间群。1. 简单空间群-平移：73个。2. 复杂空间群-螺旋轴、滑移面。 32种点群，再加上这3类可能的操作就可以导出230种空间群。点群空间群 Tianjin University1.41.4：几种典型的晶体结构：几种典型的晶体结构闪锌矿金刚石 Tianjin University氯化钠氟化钙 Tianjin University钙钛矿 Tianjin University1.1.5 5、倒格子、倒格子一、定义：设布喇菲格子的基矢为一、定义：设布喇菲格子的基矢为a1, a2 , a3, 由由Rl=l1a1+l2a2+l3a3决定的格子称为正格

24、子。满足下决定的格子称为正格子。满足下述关系：述关系：220ijijija biji，j=1,2,3的的b1,b2,b3称为倒格子基矢。由称为倒格子基矢。由Gh=h1b1+h2b2+h3b3,(h1,h2,h3为任意整数）决定的格子称为为任意整数）决定的格子称为倒格子。倒格子。 Tianjin University二、倒格子与正格子之间的关系倒格子的每一基矢与正格子的两个基矢正交。倒格子的原胞体积为倒格矢Gh与正格子的晶面系（h1h2h3)正交。正、倒格矢互为付立叶变换32dr 4. 证明倒格矢证明倒格矢 与正格子的晶面系与正格子的晶面系 正交。正交。 如图所示，晶面系如图所示，晶面系 中最靠

25、近原点的晶面中最靠近原点的晶面（ABC） 在正格子基矢在正格子基矢 的截距分别为：的截距分别为：1 23()hh h1 23()hh h332211,321Gbhbhbhhhh321,aaa332211,ahahah于是： 而且 都在（ABC)面上，1 23()hh h)/()/(3311hhOCOACAaa)/()/(3322hhOCOBCBaa晶面系的面间距就是原点到ABC面的距离，由于可以证明：由此我们得出结论：倒易点阵的一个基矢是和正点阵晶格中倒易点阵的一个基矢是和正点阵晶格中的一族晶面相对应的，它的方向是该族晶面的法线方向，而的一族晶面相对应的，它的方向是该族晶面的法线方向，而它的大

26、小是该族晶面面间距倒数的它的大小是该族晶面面间距倒数的2倍倍。又因为倒易点阵基矢对应一个阵点，因而可以说：晶体点阵中的晶面取向和晶晶体点阵中的晶面取向和晶面面间距这面面间距这 2 个参量在倒易点阵里只用一个点阵矢量（或说个参量在倒易点阵里只用一个点阵矢量（或说阵点）就能综合地表达出来。阵点）就能综合地表达出来。三三. 倒易点阵（倒易点阵（Reciprocal lattice）的物理意义：的物理意义： 倒易点阵的物理意义和在分析周期性结构和相应物性中倒易点阵的物理意义和在分析周期性结构和相应物性中作为基本工具的作用，需要我们在使用中逐步理解。作为基本工具的作用，需要我们在使用中逐步理解。 当一个

27、点阵具有位移矢量当一个点阵具有位移矢量时，考虑到周期性特点，一个物理量在时，考虑到周期性特点，一个物理量在 r 点的数值点的数值 F(r)也应该具有周期性：也应该具有周期性：两边做两边做Fourier展开，有：展开，有： 显然：显然： 即：即： 123111nRn an an a 既然既然 是正点阵的格矢，符合该关系的是正点阵的格矢，符合该关系的 就是倒易点阵就是倒易点阵的格矢。所以，同一物理量在正点阵中的表述和在倒易点阵中的格矢。所以，同一物理量在正点阵中的表述和在倒易点阵中的表述之间服从的表述之间服从Fourier变换关系。变换关系。nR hklG)exp()exp()()exp()(nhklhklKhklhklKhklRGirGiGArGiGAmRGRGinhklnhkl21)exp()