数学-湖南省长郡中学2025-2026学年高二上学期暑假作业检测（开学）试题+答案

长郡中学2025年高二暑假作业检测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合A={1,a},B={2a-3,2},若A=B,则实数a=2.(★)已知复数,则|=A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(★)函数f(x)=|4—x|·(x—1)的单调递减区间为A.B.(1,4)C.(一∞,4)5.为了得到函数y=9的图象，只需把函数y=3*的图象上所有点的A.横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)B.横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)C.纵坐标变为原来的倍(横坐标不变)D.纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变)OA+OP|的最小值为A.17.的值为A.a²<bB.a²>bC.e“>b-¹二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)9.(★)设A,B为两个随机事件，以下命题正确的是C.若A,B是互斥事件,则10.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为1,P是A₁D上的一个动点，下列结论正确的是A.当点P在直线A₁D上运动时，一定有C₁P⊥BD₁B.当点P在直线A₁D上运动时，三棱锥B₁-ACP的体积不变 D.以点B为球心为半径的球面与平面AB₁C的交线长11.(★)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为12,a=6,则下列说法正确的是A.若,则B.△ABC外接圆直径2R的最小值的值可以为题号123456789三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)13.(★)已知三棱锥A-BCD的底面是以BD为斜边的直角三角形，AB⊥平面BCD且AB=BD,设三棱锥A-BCD的体积为V₁,则三棱锥A-BCD的外接球体积V²与V₁之比的最小值是14.已知向量e=(1,0),a=(1,n),25b=a+24e,则当tan<a,b>取得最大值时，|n15.(本小题满分13分)(2)求三棱锥E-BDF的体积.数学试题(长郡版)第3页(共6页)数学试题(长郡版)第4页(共6页)020406080100120时间/分钟频率组距3000名高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了100名学生的调查结果.下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运(2)在抽取的100名学生中，随机选取了10名学生的每天平均运动时间(单位：分钟):x1,x2,x3,…,x10,已知这10个数的平均数x=20,方差s²=25,若剔除其中的20和12两个数，求剩余8个数的平均数与方差.17.(本小题满分15分)如图，在平面凸四边形ABCD中(2)若AD=BD=4,,求CD.18.(★)(本小题满分17分)的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场(1)试指出丙最终获胜的概率与的大小关系(不需给出理由);(2)求通过四场比赛决出胜负且甲最终获胜的概率；(3)求丙最终获胜的概率.数学试题(长郡版)第5页(共6页)数学试题(长郡版)第6页(共6页)19.(★)(本小题满分17分)(ii)若FN//平面PAC,求线段FN长度取最小值时二面角F-BC-A上移动.的平面角的正切值.长郡中学2025年高二暑假作业检测试卷数学参考答案一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的.)12345678CDBAADCD,令f(x)=e+x,知f(x)在R上单调递增.,由f(x)的单调性知所以贝,此时,排除A;所以贝取n=10,必有a²<4n²<e”=b,排除B.故选D.二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)题号9对于B,如图1,由正方体的性质可得A₁D//B₁C,A₁DC平面AB₁C,∴A₁D//平面AB₁C,∴点P到平面AB₁C的距离为定值，又S△AB₁c为定值，则VPAB₁c为定值，即三棱锥B₁-ACP的体积不变，故B正确；对于C,如图2,将平面DCB₁A₁翻折到平面ADA₁上，连接AC,与A₁D的交点即为点P,此时PA+PC取最小值AC,对于D,如图3,由于BD₁⊥平面AB₁C,设BD₁与平面AB₁C交于点Q,,设以B为球心为半径的球与平面AB₁C交线上任一点为G,数学参考答案(长郡版)-1数学参考答案(长郡版)—2∴交线长为故D正确.故选ABD.图211.ABD【解析】因为△ABC的面积为12,所,故acsinB=24.对于A,若,则,则,故ac=24√5.由正弦定理,故,故A正确；对于B,由余弦定理可得b²+c²—2bccosA=36,所以b²+c²=2bccosA+36≥2bc,即18≥bc(1—cosA),当且仅当b=c时等号成立.整理得又因为,故sinA的最大值为,当且仅当b=c=5时等号成立，由正弦定理,所以2R的最小值.故B正确；,故C错误；对于D,,则可得或消元得,整理得6sinA+8cosA=17,但6sinA+8cosA≤10,故矛盾，即不成立；若消元得数学参考答案(长郡版)-3所以,整理得3sinA+4cosA=5,此时c=2√5,b=4√5,故D正确.故选ABD.方法二：对C,D可用BC中点为坐标原点建系，可设A(x,4),建立目标函数，进而求出,进而判定三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)14.5【解析】由25b=a+24e,得,将a=(1,n),e=(1,0)代入得，,所以设α为a设β为b与x轴正方向的夹角，则与x轴正方向的夹角，则四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(2)因为该几何体为正方体，所以点D到平面ABB₁A₁的距离等于AD,所以点D到平面BEF的距离等于AD,13分………13分16.【解析】(1)由频率分布直方图可知，20×(0.005+0.009+0.011+0.0125+0.010+a)=1,每天平均运动时间不低于85分钟的频率估计为0.0025×20+(100-85)×0.01=0.2,故该校学生中“运动爱好者”的人数估计为3000×0.2=600.………………6分剔除其中的20和12两个数，剩余8个数的平均……………10分数学参考答案(长郡版)-4方差为……………15分因为sin(∠ABD+∠ADB)=sin(π-∠BAD)=sin∠BAD≠0,故,由三角形内角范围.………7分(2)方法一：由AD=BD=4,故△ABD为边长为4的等边三角形，在△ABC中,由正弦定理由于∠BAC+∠BCA+∠ABD+∠CBD=π,所,故BC=8cos∠CBD,……………13分在△BCD中，由余弦定理得CD²=BD²+BC²—2BD×BC×cos∠CBD,方法二(略解):在△ABC中，,且AB=4,分析知点C的轨迹是以D为圆心，以4为半径的圆弧，18.【解析】(1)由赛程安排知，丙最终获胜的概率大于……………………3分方法一：设甲输为事件A,乙输为事件B,丙输为事件C.(2)通过4场比赛决出胜负且甲最终获胜的概率……7分(3)设甲最终获胜为事件N,则甲最终获胜的概率为P(N)=P(BCBC)+P(BCBAC)+P(BCABC)+P(BCACB)+P(BABCC)+又由甲、乙最终获胜的概率相等，故丙最终获胜的概率为方法二：枚举法(树状图略).19.【解析】(1)过点A在平面PAC内作AH_PC,垂足为点H,因为平面PAC⊥平面PBC,平面PAC∩平面PBC=PC,AHC数学参考答案(长郡版)-5又ACC平面PAC,所以BC⊥AC5分(2)(i)由(1)得BC⊥平面PAC,所以PC为PB在平面PAC上的射影，∠BPC为PB与平面PAC所成角，(ii)如图，过点F作AB的垂线，垂足为Q,连接QN,又因为FQLAB,PA,FQC平面PAB,所以PA//FQ,因为FQ∩NF=F,FQ,FNC平面FQN,所以平面PAC//平面FQN,