数学必修ⅰ北师大版 函数的图像 课件

1、1函数的图像函数的图像 2三年三年7 7考考 高考指数高考指数: :1.1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图像法、列表法、在实际情境中，会根据不同的需要选择图像法、列表法、解析法表示函数解析法表示函数. .2.2.会运用函数图像理解和研究函数的性质，解决方程解的个会运用函数图像理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题数与不等式的解的问题. .3.3.会用数形结合思想、转化与化归思想解决数学问题会用数形结合思想、转化与化归思想解决数学问题. .31.1.知式选图、作图与知图选式是高考的热点知式选图、作图与知图选式是高考的热点. .2.2.利用数形结合思想，借助相应函数的图像研

2、究函数的性质利用数形结合思想，借助相应函数的图像研究函数的性质( (单调性、奇偶性、最值、值域、交点、零点单调性、奇偶性、最值、值域、交点、零点) )、方程与不等、方程与不等式的解等问题是命题的重点，也是求解的难点式的解等问题是命题的重点，也是求解的难点. .3.3.题型以选择题、填空题为主，属中、高档题目题型以选择题、填空题为主，属中、高档题目. .41.1.六种基本初等函数的图像六种基本初等函数的图像 函数函数 图象图象 一次函数一次函数 y=kx+by=kx+b 二次函数二次函数 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c (a0) (a0)xyo（k0）（0,b）xyo（k0）bx=-

3、2axyobx=-2a（a0a0且且a1a1）ky=xxyo(k0)(k0)xyo(k0)(k1)(a1)xyo(0a1)(0a0a0且且a1a1） 幂函数幂函数 y=xy=x（=-1, =-1, 1 1，2,32,3）1,2xyoxyo(a1)(a1)(0a1)(0a0a0且且a1a1，故，故f(x)=axf(x)=ax图像为过原图像为过原点且上升的直线，故不正确，再结合，分析点且上升的直线，故不正确，再结合，分析0a10a1a1，知正确，知正确. .11(3)(3)由图像知，图像的对称轴由图像知，图像的对称轴 又抛物线的开又抛物线的开口向下，口向下，a0a0b0，由，由f(0)=cf(0)

4、=c知，抛物线与知，抛物线与y y轴的交点轴的交点为为(0,c).c0(0,c).c0， 0,0,故点故点P(a, )P(a, )在第二象限在第二象限. .答案：答案：(1)(1) (2) (2) (3) (3)第二象限第二象限bbx0,0.2aa即cbcb122.2.函数图像间的变换函数图像间的变换(1)(1)平移变换平移变换左移左移h h个单位个单位（h0)h0)右移右移h h个单位个单位（h0)h0)上上移移k k（k0)k0)个单位个单位下下移移k k（k0)k0)个单位个单位y=f(x)y=f(x)y=f(x)+ky=f(x)+ky=f(x+h)y=f(x+h)y=f(x-h)y=f

5、(x-h) y=f(x)-k y=f(x)-k13(2)(2)对称变换：对称变换：y=f(x) y=_;y=f(x) y=_;y=f(x) y=_;y=f(x) y=_;y=f(x) y=_;y=f(x) y=_;y=ay=ax x(a0(a0且且a1) y=_.a1) y=_.关于关于x x轴对称轴对称-f(x)-f(x)关于关于y y轴对称轴对称f(-x)f(-x)关于原点对称关于原点对称-f(-x)-f(-x)关于关于y=xy=x对称对称logloga ax(a0 x(a0且且a1)a1)14(3)(3)翻折变换：翻折变换：y=f(x) y=_.y=f(x) y=_.y=f(x) y=_

6、.y=f(x) y=_.(4)(4)伸缩变换：伸缩变换：y=f(x) y=_.y=f(x) y=_.y=f(x) y=_.y=f(x) y=_.保留保留x x轴上方图像轴上方图像将将x x轴下方图像翻折上去轴下方图像翻折上去|f(x)|f(x)|保留保留y y轴右边图像，并作其轴右边图像，并作其关于关于y y轴对称的图像轴对称的图像f(|x|)f(|x|)f(ax)f(ax)a1,a1,纵向伸长为原来的纵向伸长为原来的a a倍倍0a1,0a1,a1,横向缩短为原来的横向缩短为原来的 倍倍0a1,0a0)|ax|=x+a(a0)有两个解，则有两个解，则a a的取值范围为的取值范围为_._.16【

7、解析解析】(1)(1)令令f(x)=2f(x)=2x x，则，则-2-2-x-x=-f(-x)=-f(-x)，y=2y=2x x与与y=-2y=-2-x-x的图像关于原点对称的图像关于原点对称. .(2)(2)由已知可得：关于直线由已知可得：关于直线 对称对称. .(3)(3)在同一坐标系中分别作出当在同一坐标系中分别作出当0a10a1时，时，y=|ax|=a|x|(a0)y=|ax|=a|x|(a0)与与y=x+a(a0)y=x+a(a0)的图像的图像, ,如图所示，由图像如图所示，由图像得得出出a1a1时符合要求时符合要求. .abx217答案：答案：(1)(1)原点原点 (2) (3)(

8、1,+) (2) (3)(1,+) abx218 作函数的图像作函数的图像【方法点睛方法点睛】作函数图像的方法作函数图像的方法(1)(1)直接法：当函数表达式直接法：当函数表达式( (或变形后的表达式或变形后的表达式) )是熟悉的基是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线的局部本函数或解析几何中熟悉的曲线的局部( (如圆、椭圆、双曲线、如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分抛物线的一部分) )时，就可根据这些函数的奇偶性、周期性、时，就可根据这些函数的奇偶性、周期性、对称性或曲线的特征直接作出对称性或曲线的特征直接作出. .19(2)(2)图像变换法：若函数图像可由某个基本函数的图像经过图像变换法：

9、若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图像变换作出，但要平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. .20(3)(3)描点法：当函数的表达式不适合用以上两种方法时，则描点法：当函数的表达式不适合用以上两种方法时，则可采用描点法，其一般步骤为：可采用描点法，其一般步骤为：第一步：确定函数的定义域以限制图像的范围第一步：确定函数的定义域以限制图像的范

10、围. .第二步：化简函数解析式第二步：化简函数解析式. .第三步：讨论函数的性质第三步：讨论函数的性质( (奇偶性、单调性、周期性、对称奇偶性、单调性、周期性、对称性等性等).).第四步：列表第四步：列表( (尤其注意特殊点，如：零点、最高点、最低尤其注意特殊点，如：零点、最高点、最低点及与坐标轴的交点点及与坐标轴的交点).).第五步：描点、连线第五步：描点、连线. .21【提醒提醒】当函数解析式是高次、分式、指数、对数及三角函当函数解析式是高次、分式、指数、对数及三角函数式等较复杂的结构时，常借助于导数探究图像的变化趋势数式等较复杂的结构时，常借助于导数探究图像的变化趋势, ,以此来画出图像

11、的大致形状以此来画出图像的大致形状. . 22【例例1 1】作出下列函数的图像作出下列函数的图像. .(1)y=e(1)y=elnxlnx; ;(2)y=|log(2)y=|log2 2(x+1)|;(x+1)|;(3)y=a(3)y=a|x|x|(0a1);(0a0,y=ex|x0,y=elnxlnx=x(x0),=x(x0),其图像如图其图像如图(1).(1).oy-11x12-1（1 1）25(2)(2)将函数将函数y=logy=log2 2x x的图像向左平移一个单位，再将的图像向左平移一个单位，再将x x轴下方的轴下方的部分沿部分沿x x轴翻折上去，即可得到函数轴翻折上去，即可得到函

12、数y=|logy=|log2 2(x+1)|(x+1)|的图像，的图像，如图如图(2).(2).x1-1yo1-1（2 2）26(3)(3)方法一：方法一：所以只需作出函数所以只需作出函数y=ay=ax x(0a1)(0a1)中中x0 x0的图像和的图像和y=( )y=( )x x(0a1)(0a1)中中x0 x0的图像，合起来即得函数的图像，合起来即得函数y=ay=a|x|x|的图像的图像. .如图如图(3).(3).方法二：作出方法二：作出y=ay=ax x(0a1)(0a1)的图像，去掉的图像，去掉y y轴左边图像，保留轴左边图像，保留y y轴右边图像，并作关于轴右边图像，并作关于y y

13、轴对称的图像，即得轴对称的图像，即得y=ay=a|x|x|的图像，如的图像，如图图(3).(3).xxxa ,x0y(0a0y0，得单调增区间为，得单调增区间为(-,-1)(-,-1)和和(3,+).(3,+).令令y0,y0,得单得单调减区间为调减区间为(-1(-1，3)3)，所以函数在，所以函数在x x1 1=-1,x=-1,x2 2=3=3处取得极值分别为处取得极值分别为 和和-9-9，由此可得其图像大致如图，由此可得其图像大致如图(5).(5).31x35329【反思反思感悟感悟】要准确作出函数的大致图像，需做到：要准确作出函数的大致图像，需做到：(1)(1)熟练掌握六种基本初等函数的

14、图像；熟练掌握六种基本初等函数的图像；(2)(2)掌握平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换以及导掌握平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换以及导数法等常用的方法技巧数法等常用的方法技巧. .30【变式训练变式训练】分别画出下列函数的图像：分别画出下列函数的图像：(1)y=|lgx|(1)y=|lgx|；(2)y=2(2)y=2x+2x+2；(3)y=(3)y=(4)y=x(4)y=x2 2-2|x|-1-2|x|-1x2x3；31【解析解析】(1)y=|lgx|=(1)y=|lgx|=函数函数y=|lgx|y=|lgx|的图像，如图的图像，如图(1)(1)；(2)(2)将函数将函数y=2y=

15、2x x的图像向左平移的图像向左平移2 2个单位即可得到函数个单位即可得到函数y=2y=2x+2x+2的的图像，如图图像，如图(2)(2)；lgx,x1,.lgx,0 x132(3) (3) 可见原函数图像可由可见原函数图像可由 图像向左图像向左平移平移3 3个单位再向上平移个单位再向上平移1 1个单位而得，如图个单位而得，如图(3).(3).x21y1,x3x3 1yx 33(4) (4) 且函数为偶函数，先用描点法作出且函数为偶函数，先用描点法作出0 0，+)+)上的图像，再根据对称性作出上的图像，再根据对称性作出(-,0)(-,0)上的图像上的图像, ,得得图像如图图像如图(4).(4)

16、.22x2x 1,x0yx2x 1,x034 识图与辨图识图与辨图【方法点睛方法点睛】1.1.知图选式的方法知图选式的方法(1)(1)从图像的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；从图像的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；(2)(2)从图像的变化趋势，观察函数的单调性；从图像的变化趋势，观察函数的单调性；(3)(3)从图像的对称性方面，观察函数的奇偶性；从图像的对称性方面，观察函数的奇偶性；(4)(4)从图像的循环往复，观察函数的周期性从图像的循环往复，观察函数的周期性. .利用上述方法，排除、筛选错误与正确的式子利用上述方法，排除、筛选错误与正确的式子. .352.2.知式选图的方法

17、知式选图的方法(1)(1)从函数的定义域，判断图像左右的位置；从函数的值域，从函数的定义域，判断图像左右的位置；从函数的值域，判断图像上下的位置；判断图像上下的位置；(2)(2)从函数的单调性从函数的单调性( (有时可借助导数判断有时可借助导数判断) )，判断图像的变，判断图像的变化趋势；化趋势；(3)(3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性；从函数的奇偶性，判断图像的对称性；(4)(4)从函数的周期性，判断图像的循环往复；从函数的周期性，判断图像的循环往复；(5)(5)从函数的极值点判断函数图像的升降变化的转折点从函数的极值点判断函数图像的升降变化的转折点. .利用上述方法，排除、筛选错误与正

18、确的图像利用上述方法，排除、筛选错误与正确的图像. 36【例例2 2】(1)(2012(1)(2012南阳模拟南阳模拟) )函数函数y=x+cosxy=x+cosx的大致图像是的大致图像是( )( )37(2)(2012(2)(2012合肥模拟合肥模拟) )定义在定义在R R上的偶函数上的偶函数f(x)f(x)的部分图像如的部分图像如图所示，则在图所示，则在(-2(-2，0)0)上，下列函数中与上，下列函数中与f(x)f(x)的单调性不同的单调性不同的是的是( )( )(A)y=x(A)y=x2 2+1+1(B)y=|x|+1(B)y=|x|+1 3xx2x 1,x0C yx1,x0e ,x0

19、D ye ,x038【解题指南解题指南】(1)(1)对函数求导，利用排除法求解对函数求导，利用排除法求解.(2).(2)由由f(x)f(x)的奇偶性作出其在的奇偶性作出其在(-2(-2，0)0)上的图像上的图像, ,再由图像判断其单调性，再由图像判断其单调性，然后逐个验证选项中的函数在然后逐个验证选项中的函数在(-2(-2，0)0)上的单调性上的单调性, ,确定是否确定是否与与f(x)f(x)在在(-2(-2，0)0)上的单调性不同，从而作出判断上的单调性不同，从而作出判断. .39【规范解答规范解答】(1)(1)选选B. B. 由由y=x+cosx,y=x+cosx,得得y=1-sinx0y

20、=1-sinx0恒成立恒成立, ,即函数即函数y=x+cosxy=x+cosx单调递增，从而排除单调递增，从而排除C C选项选项. .又又x=0 x=0时，时，y=1y=1；x= x= 时，时，y= y= 即图像应过即图像应过(0(0，1)1)和和( )( )点，再排除点，再排除A A、D D，故选故选B.B.,22,2 2 40(2)(2)选选C.C.由奇偶性知函数由奇偶性知函数f(x)f(x)在在(-2(-2，0)0)上的上的图像如图所示：图像如图所示：则知则知f(x)f(x)在在(-2(-2，0)0)上为单调减函数，而上为单调减函数，而y=xy=x2 2+1,y=|x|+1+1,y=|x

21、|+1和和作出其图像知在作出其图像知在(-2(-2，0)0)上均为减函数上均为减函数. .又又y=xy=x3 3+1,x0+1,x00，故，故y=xy=x3 3+1+1在在(-2(-2，0)0)上为增函数，与上为增函数，与f(x)f(x)的单调性的单调性不同，故选不同，故选C.C.xxe ,x0ye ,x0，41【反思反思感悟感悟】识图与辨图是一个比较综合的问题识图与辨图是一个比较综合的问题. .解答该解答该类问题的关键是要充分从解析式与图像中发现有价值的信息，类问题的关键是要充分从解析式与图像中发现有价值的信息，最终使二者相吻合最终使二者相吻合. .42【变式训练变式训练】(1)(1)设设a

22、babxb时，时，y0y0，当，当xbxb时，时，y0.y0.故选故选C.C.43(2)(2)函数函数y=f(x)y=f(x)与与y=g(x)y=g(x)的图像如图的图像如图, ,则函数则函数y=f(x)g(x)y=f(x)g(x)的的图像可能是图像可能是( )( )44【解析解析】选选A.A.方法一：方法一：函数函数y=f(x)y=f(x)g(x)g(x)的定义域是函数的定义域是函数y=f(x)y=f(x)与与y=g(x)y=g(x)的定义域的交集的定义域的交集(-,0)(0,+)(-,0)(0,+)，图像不，图像不经过坐标原点，故可以排除经过坐标原点，故可以排除C C、D.D.由于当由于当

23、x x为很小的正数时为很小的正数时f(x)0f(x)0且且g(x)0g(x)0，故，故f(x)f(x)g(x)0.g(x)0f(x)0的解集；的解集；(5)(5)求集合求集合M=m|M=m|使方程使方程f(x)=mf(x)=m有三个不相等的实根有三个不相等的实根. 49【解题指南解题指南】求解本题先由求解本题先由f(4)=0,f(4)=0,求得函数解析式，再根求得函数解析式，再根据解析式结构选择适当的方法作出函数的图像，进而应用图据解析式结构选择适当的方法作出函数的图像，进而应用图像求解像求解(3)(4)(5).(3)(4)(5).50【规范解答规范解答】(1)f(4)=0(1)f(4)=0，

24、4|m-4|=04|m-4|=0，即即m=4m=4；(2)f(x)=x|m-x|(2)f(x)=x|m-x|=x|4-x|=x|4-x|=函数函数f(x)f(x)的图像如图：的图像如图：由图像知由图像知f(x)f(x)有两个零点有两个零点. .x(x4),x4,.x(x4),x4x24yo451(3)(3)从图像上观察可知：从图像上观察可知：f(x)f(x)的单调递减区间为的单调递减区间为2 2，4 4；(4)(4)从图像上观察可知：从图像上观察可知：不等式不等式f(x)0f(x)0的解集为的解集为x|0 x4x|0 x4.x4.(5)(5)由图像可知若由图像可知若y=f(x)y=f(x)与与

25、y=my=m的图像有三个不同的交点，则的图像有三个不同的交点，则0m4,0m4,集合集合M=m|0m4.M=m|0m4,f(5)=54,由图像知，函数在由图像知，函数在1 1，5 5上的值上的值域为域为0 0，5 5. .53【反思反思感悟感悟】利用函数的图像能直观地解决函数的性质问利用函数的图像能直观地解决函数的性质问题、方程根的个数问题、函数的零点个数问题及不等式的解题、方程根的个数问题、函数的零点个数问题及不等式的解集与恒成立问题集与恒成立问题, ,但其关键是作出准确的函数图像，数形结合但其关键是作出准确的函数图像，数形结合求解求解. .否则若图像出现失误，将会得到错误的结果否则若图像出

26、现失误，将会得到错误的结果. .54【变式备选变式备选】(1)(1)已知函数已知函数f(x)f(x)满足满足f(x+2)=f(x),f(x+2)=f(x),当当xx- -1,1)1,1)时，时，f(x)=x,f(x)=x,则方程则方程f(x)=lgxf(x)=lgx的根的个数是的根的个数是_._.【解析解析】构造函数构造函数g(x)=lgxg(x)=lgx，在同一坐标系中画出，在同一坐标系中画出f(x)f(x)与与g(x)g(x)的图像，如图所示，易知有的图像，如图所示，易知有4 4个根个根. .答案：答案：4 455(2)(2)使使loglog2 2x1-xx0(A)M 0(B)M 0(B)M 0(C)M0(C)M0(D)M=0(D)M=064【解析解析】选选C.C.由图像知由图像知M=-(a