四川大学线性代数课件第一章第二节矩阵的转置

1、第二节第二节 矩阵的转置矩阵的转置定义定义7 矩阵矩阵A=(aij)nn n的行列互换所得的矩阵的行列互换所得的矩阵称为称为A的转置的转置,记为记为A或或ATA T =例例1:1:,854221 A;825241 TA ,618 B.618 TB转置矩阵满足的运算规律：转置矩阵满足的运算规律： ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTkAkA .4TTTABAB （AB）T的的i 行行j 列元素是：列元素是：A的第的第j行行B的第的第i 列列BTAT的的i 行行j 列元素是：列元素是：BT的第的第i行行A AT T的第的第j j列列= =（B B的第的第i 列）列）T T（A A的第的第j

2、j 行）行）T TsmijaAnsijbBnmijcABCmnijTTdAB)(msjiTaAsnjiTbBsijsijijjibababac2211jssijijiijabababd2211jicijd=也就是也就是TTTABAB)(TTTTABCABC)(?11TnnTaajic要证ijd=例例2 2 已知已知,102324171,231102 BA .TAB求求直接计算后再转置：直接计算后再转置： 102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB先转置后再乘起来（顺序要改变）：先转置后再乘起来（顺序要改变）： TTTABAB 21301213102

3、7241.1031314170 . 称称为为反反对对称称的的则则矩矩阵阵如如果果AATA 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等. .说明：说明：AAA ATTAA 是是反反对对称称矩矩阵阵是是对对称称矩矩阵阵例例3:. ,都是对称矩阵和则设TTnmBBBBB设设 为为 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那末那末 称为对称阵称为对称阵.An njiaajiij, 2 , 1, A.6010861612为为对对称称阵阵例例如如 A对称阵对称阵:TAA 课后课后思考思考 .2.,1:.对称矩阵之和可表示为对称矩阵和反是反对称矩阵是对称矩阵证明阶矩阵对于

4、任意的AAAAAAnTT注：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵注：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵311121111100001010例如311111121例例4：.n,阶反对称矩阵是则BAABBBBAAATnnTnn什么时候仍然是对称的呢？TTTTTBAABBAAB）证：（).(BAABABBA例例5 5 设列矩阵设列矩阵 满足满足 TnxxxX,21 , 1 XXT.,2,EHHHXXEHnETT 且且阵阵是是对对称称矩矩证证明明阶阶单单位位矩矩阵阵为为证明证明 TTTXXEH2 TTTXXE2 ,2HXXET .是对称矩阵是对称矩阵H2HHHT 22TXXE TTTXXXXXXE44 TTTX

5、XXXXXE44 TTXXXXE44 .E 例例6：.:.0333为对称阵且不是零矩阵求证矩阵，实阶为TijAAAaATTTTTTAAAAAA)(证：31ijkikTaajiAA列元素为：行的31231iikikiikTaaaAA：的主对角线上的元素为233232231322322222122132122111aaabaaabaaab证至少有一个不为零。得对角线三个元素中,Raij思考解答思考解答设矩阵设矩阵A与与B为同阶对称阵，证明为同阶对称阵，证明AB是对称是对称 阵的充要条件为阵的充要条件为AB=BA.证：证：:TAB)(ABTTTABAB)(又BABAAB :BAAB TTTABAB)

6、(BAAB为对称阵。AB补充：求矩阵的幂补充：求矩阵的幂cossinsincosA?nA2222sincoscossin2cossin2sincos2cos2sin2sin2coscossinsincoscossinsincos2A) 1cos() 1sin() 1sin() 1cos(1nnnnAn设cossinsincos) 1cos() 1sin() 1sin() 1cos(1nnnnAAAnn则nnnncossinsincosnnnnAncossinsincos思考解答思考解答 任一任一 阶矩阵阶矩阵 都可表示成对称阵都可表示成对称阵与反对称阵之和与反对称阵之和.nA证明证明TAAC 设设 TTTAA