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文档简介
1、数学谬论与诡辩赏析几何篇 一、梯形的上底等于下底如图,任意梯形的上底为 a,下底为 b,中位线为c下面来证明ab证明方法如下:因为c 是梯形的中位线所以ab2c等式两边都乘以(ab),得(a+b)·(ab)2c·(ab) 展开得 a2b22ac2bc移项 得 a22acb22bc等式两边都加c2,得a22acc2b22bcc2即 (ac)2(bc)2 两边都开方,得acbc等式两边都加c,得ab这就是说,任何梯形的上底都等于下底。 结论当然是荒谬的,要是这样的话,梯形和平形四边形岂不是没有区别了么? 但是,证明过程中什么地方错了呢?解析:错在等式(ac)2(bc)2两边都开
2、方得 acbc 这个环节上。因为由(ac)2(bc)2,只能得到|ac|bc|。在这里 ac0,bc0,所以,ac不可能等于bc,即ab。二、大圆半径等于小圆半径如左图,在两个同心圆中,大圆半径为R,小圆半径为r,下面来证明Rr。证明:如右图,使大圆沿着直线滚动一周,这时,大圆的周长AA2R。由于两圆是固定在一起的,所以小圆也转动一周,移动的距离是BB,即BB小圆的周长2r。因为四边形AABB是矩形,所以AABB由AA2R,BB2r,得,2R2r 在等式两边都除以2,得Rr即 大圆半径小圆半径。解析:从图上看,似乎是合情合理的,实际上其中忽略了一个隐含的因素,即因为两圆固定在一起,小圆除了滚动
3、之外,还随着大圆的滚动向前滑行。因此,AA是大圆的周长,BB虽与AA相等,实际却并不与小圆周长相等,它要比小圆周长大出许多。由于大前提错了,由此而推导出的结论也不可能正确。大圆的直径、半径不可能与小圆的直径、半径相等!三、三角形内切圆面积大于该三角形面积设三角形的周长为30,面积为75,根据S(a+b+c)rpr,得内切圆半径r5。于是,三角形内切圆的面积r22575,即三角形内切圆面积大于三角形面积。解析:部分居然大于整体!这究竟是怎么一回事呢?原来三角形的面积与周长之间有着内在的相关性:由秦九韶海伦公式和平均值不等式,得S= = s2= p2 (这里s= (a+b+c) = p,s为三角形
4、的半周长,p为三角形的周长)即三角形面积S和周长p之间必须满足不等式:Sp2 (当且仅当a=b=c时取等号).而上述三角形面积(75)和周长(30)之间并不满足这个不等式,换句话说,这个三角形根本不存在!四、任何三角形都是等腰三角形我们知道,三角形按边分类,可分为等腰三角形和不等边三角形。现在,有人却要证明:任意三角形都是等腰三角形。如图,ABC是任意三角形,当ABAC时,显然ABC是等腰三角形。 下面证明当ABAC时,ABC也是等腰三角形!不妨设ABAC,作边BC的垂直平分线DE与BAC的平分线,交点为P,过点P作PFAB、PGAC,垂足分别为F、G,连接PB、PC。容易证明APFAPG(角
5、角边),所以有AFAG,PFPG;BPFCPG(由得PFPG,又DE垂直平分BC,所以PBPC,再根据“斜边直角边”得证),所以有BFCG. 因为 ABAFFB,ACAGGC,所以ABAC.综上所述,任意三角形都是等腰三角形。假如这个结论是对的,那么就不存在按边分类了!但是,这个证明究竟错在什么地方呢?解析:这道题的错误在于把图画错了!如果严格的按要求画图,PG与边AC的垂足不会在边AC上,而在边AC的延长线上,这时,我们可以证明ABBC2BF(或2CG),只有当BFCG0时,才有ABBC。所以“任意三角形都是等腰三角形”这个结论不能成立。至于有人在证明时,故意把边BC的垂直平分线DE与BAC
6、的平分线的交点P画在ABC内部(见下图),那就更加大错特错了。事实上,设BAC的平分线与边BC相交于点K,根据三角形内角平分线定理得:AB/ACBK/KC。如果ABAC,那么BKKC,也就是说K点在边BC中点的右边,所以边BC的垂直平分线DE和BAC的角平分线的交点P不可能在ABC的内部!而这一点在“证明”中起着关键的作用。看了上面的“证明”,我们不免会有这样的疑问:如果一个几何题的证明的正确性取决于画图的准确性,那么我们又如何能保证画图的准确性呢?尤其严重的是,任何一个图形,即便你把它画得足够“一般”,它事实上都只能代表这个图形所表示的具体情况。当一个几何证明依赖于这个具体的图形时,如何使人
7、相信这个证明其实是对所有的情况作出的呢?尤其是当几何图形相当复杂时,这种疑问会变得很强烈:这个具体图形是否能代表一般的情况?对更一般的数学证明来说,我们也会有这样的担心:我们在证明一个命题的时候,是否会在证明里运用了太多的直觉,以至于不小心引入了事实上不存在的前提?五、钝角等于直角我们知道,一个小于平角的角可以分为三类:锐角,直角和钝角。直角小于钝角,但是下面却有一个关于钝角等于直角的证明,有兴趣的读者请往下看。如图,在矩形ABCD外作BEBC,且使0°EBC90°,连接DE。作AB、DE的垂直平分线,因为它们各自垂直于两条不平行的直线,所以必定相交于一点P,连接PA、PB
8、、PD、PE,于是PAPB,PDPE(垂直平分线性质定理)由作图,BEBCAD。所以PBEPAD (边边边)。所以,PBEPAD,但PBAPAB(等边对等角),于是PBEPBAPADPAB(等量减等量差相等),所以钝角ABE直角BAD。解析:众所周知,钝角大于直角,但证明错在什么地方呢?实际上,如果我们画图准确一些的话,会发现PE根本不会通过矩形ABCD内部,问题就出在这里。真是差之毫厘,谬之千里! 下面就来证明:PE与直线AB的交点不在边AB上,而在边AB的延长线上。建立如图所示的平面直角坐标系,设矩形矩形ABCD的边AB2a,BCb,EBX,0°90°则有 B(0,0),D(2a,b),E(bcos,bsin)因PG是AB的垂直平分线,故可设P(
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