数学谬论与诡辩赏析

1、数学谬论与诡辩赏析几何篇 一、梯形的上底等于下底如图，任意梯形的上底为 a，下底为 b，中位线为c下面来证明ab证明方法如下：因为c 是梯形的中位线所以ab2c等式两边都乘以(ab)，得(a+b)·(ab)2c·(ab) 展开得 a2b22ac2bc移项 得 a22acb22bc等式两边都加c2，得a22acc2b22bcc2即 (ac)2(bc)2 两边都开方，得acbc等式两边都加c，得ab这就是说，任何梯形的上底都等于下底。 结论当然是荒谬的，要是这样的话，梯形和平形四边形岂不是没有区别了么？ 但是，证明过程中什么地方错了呢？解析：错在等式(ac)2(bc)2两边都开

2、方得 acbc 这个环节上。因为由(ac)2(bc)2，只能得到|ac|bc|。在这里 ac0，bc0，所以，ac不可能等于bc，即ab。二、大圆半径等于小圆半径如左图，在两个同心圆中，大圆半径为R，小圆半径为r，下面来证明Rr。证明：如右图，使大圆沿着直线滚动一周，这时，大圆的周长AA2R。由于两圆是固定在一起的，所以小圆也转动一周，移动的距离是BB，即BB小圆的周长2r。因为四边形AABB是矩形，所以AABB由AA2R，BB2r，得，2R2r 在等式两边都除以2，得Rr即 大圆半径小圆半径。解析：从图上看，似乎是合情合理的，实际上其中忽略了一个隐含的因素，即因为两圆固定在一起，小圆除了滚动

3、之外，还随着大圆的滚动向前滑行。因此，AA是大圆的周长，BB虽与AA相等，实际却并不与小圆周长相等，它要比小圆周长大出许多。由于大前提错了，由此而推导出的结论也不可能正确。大圆的直径、半径不可能与小圆的直径、半径相等！三、三角形内切圆面积大于该三角形面积设三角形的周长为30，面积为75，根据S(a+b+c)rpr，得内切圆半径r5。于是，三角形内切圆的面积r22575，即三角形内切圆面积大于三角形面积。解析：部分居然大于整体！这究竟是怎么一回事呢？原来三角形的面积与周长之间有着内在的相关性：由秦九韶海伦公式和平均值不等式，得S= = s2= p2 （这里s= (a+b+c) = p，s为三角形

4、的半周长，p为三角形的周长）即三角形面积S和周长p之间必须满足不等式：Sp2 （当且仅当a=b=c时取等号）.而上述三角形面积（75）和周长（30）之间并不满足这个不等式，换句话说，这个三角形根本不存在！四、任何三角形都是等腰三角形我们知道，三角形按边分类，可分为等腰三角形和不等边三角形。现在，有人却要证明：任意三角形都是等腰三角形。如图，ABC是任意三角形，当ABAC时，显然ABC是等腰三角形。 下面证明当ABAC时，ABC也是等腰三角形！不妨设ABAC，作边BC的垂直平分线DE与BAC的平分线，交点为P，过点P作PFAB、PGAC，垂足分别为F、G，连接PB、PC。容易证明APFAPG（角

5、角边），所以有AFAG，PFPG；BPFCPG（由得PFPG，又DE垂直平分BC，所以PBPC，再根据“斜边直角边”得证），所以有BFCG. 因为 ABAFFB，ACAGGC，所以ABAC.综上所述，任意三角形都是等腰三角形。假如这个结论是对的，那么就不存在按边分类了！但是，这个证明究竟错在什么地方呢？解析：这道题的错误在于把图画错了！如果严格的按要求画图，PG与边AC的垂足不会在边AC上，而在边AC的延长线上，这时，我们可以证明ABBC2BF（或2CG），只有当BFCG0时，才有ABBC。所以“任意三角形都是等腰三角形”这个结论不能成立。至于有人在证明时，故意把边BC的垂直平分线DE与BAC

6、的平分线的交点P画在ABC内部（见下图），那就更加大错特错了。事实上，设BAC的平分线与边BC相交于点K，根据三角形内角平分线定理得：AB/ACBK/KC。如果ABAC，那么BKKC，也就是说K点在边BC中点的右边，所以边BC的垂直平分线DE和BAC的角平分线的交点P不可能在ABC的内部！而这一点在“证明”中起着关键的作用。看了上面的“证明”，我们不免会有这样的疑问：如果一个几何题的证明的正确性取决于画图的准确性，那么我们又如何能保证画图的准确性呢？尤其严重的是，任何一个图形，即便你把它画得足够“一般”，它事实上都只能代表这个图形所表示的具体情况。当一个几何证明依赖于这个具体的图形时，如何使人

7、相信这个证明其实是对所有的情况作出的呢？尤其是当几何图形相当复杂时，这种疑问会变得很强烈：这个具体图形是否能代表一般的情况？对更一般的数学证明来说，我们也会有这样的担心：我们在证明一个命题的时候，是否会在证明里运用了太多的直觉，以至于不小心引入了事实上不存在的前提？五、钝角等于直角我们知道，一个小于平角的角可以分为三类：锐角，直角和钝角。直角小于钝角，但是下面却有一个关于钝角等于直角的证明，有兴趣的读者请往下看。如图，在矩形ABCD外作BEBC，且使0°EBC90°，连接DE。作AB、DE的垂直平分线，因为它们各自垂直于两条不平行的直线，所以必定相交于一点P，连接PA、PB

8、、PD、PE，于是PAPB，PDPE(垂直平分线性质定理)由作图，BEBCAD。所以PBEPAD (边边边)。所以，PBEPAD，但PBAPAB(等边对等角)，于是PBEPBAPADPAB(等量减等量差相等)，所以钝角ABE直角BAD。解析：众所周知，钝角大于直角，但证明错在什么地方呢？实际上，如果我们画图准确一些的话，会发现PE根本不会通过矩形ABCD内部，问题就出在这里。真是差之毫厘，谬之千里！ 下面就来证明：PE与直线AB的交点不在边AB上，而在边AB的延长线上。建立如图所示的平面直角坐标系，设矩形矩形ABCD的边AB2a，BCb，EBX，0°90°则有 B(0，0)，D(2a，b)，E(bcos，bsin)因PG是AB的垂直平分线，故可设P(