最全圆锥曲线知识点总结

1、高中数学椭圆的知识总结坐标，则列= K I ,若弦所在直线方程设为一，则1. 椭圆的定义：平面内一个动点P到两个定点而的距离之和等于常数（列），这个动点P的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.注意：若，则动点 P的轨迹为线段 丨；若，则动点P的轨迹无图形.（1）椭圆：焦点在冋轴上时 WI （ g ）回冋（参数方程，其中 为参数），焦点在匚轴上时 珂 =1（）。2. 椭圆的几何性质：（1） 椭圆（以|空f （亠.）为例）：范围： I焦点：两个焦点亠| ;对称性：两条对称轴 亠，一个对 称中心（0,0 ），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2 ;离心率：.，椭圆 亠

2、，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。（2） 点与椭圆的位置关系：点 一:在椭圆外.；点.LI在椭圆上“匕 =1 ；点 L 在椭圆内3 _兰_|3. 直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：【亠直线与椭圆相交；（2）相切： a直线与椭圆相切；（3）相离：仝I：直线与椭圆相离；如:直线y 1=0与椭圆|二T恒有公共点，则m的取值范围是；4. 焦点三角形（椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形）5. 弦长公式：若直线 丨与圆锥曲线相交于两点 A、B,且分 别为A B的横坐标，贝V=丄，若丨分别为A B的纵6. 圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点 差法”求解。在椭圆叵 中，以曰 为中点

3、的弦所在直线的 斜率卜| ；如（1）如果椭圆弦被点A （4, 2）平分，那么这条弦所在的直线方程是；（2）已知直线1与椭圆*丨 相交于A B两点，且线段的中点在直线L： x 20上，则此椭圆的离心率为；（3） 试确定m的取值范围，使得椭圆|上有不同的两点关于直线对称；特别提醒：因为凹 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件， 故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验1 !椭圆知识点的应用1. 如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心， 两条对称轴。当且仅当椭圆的对称 中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。 此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个

4、条件：两个定形条件丄；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2. 椭圆标准方程中的三个量厂I的几何意义椭圆标准方程中， 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆 本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为:5共焦点，贝y c相同。与椭圆 共焦点的椭圆方程可可借助右图理解记忆：M恰构成一个直角三角形的三条边，其中为两条直角边。3.如何由椭圆标准方程判断焦点位置a是斜边，b、，此类问题常用待定系数法求解。7. 判断曲线关于 轴、 轴、原点对称的依据： 若把曲线方程中的 换成 ，方程不变，则曲线关于 轴对称; 若把曲线方程中的 换

5、成I，方程不变，则曲线关于 轴对称;椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方若把曲线方程中的、同时换成.丨，方程不变，则曲线关法是：看 ，的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴于原点对称上。4.方程ZB是表示椭圆的条件方程 I 可化为尸7 ，即，所以只有AB、C同号，且 时，方程表示椭圆。当.IjlI.时，椭圆的焦点在 轴 上；当时，椭圆的焦点在轴上。8. 如何求解与焦点三角形厶 （P为椭圆上的点）有关的计算问题？ 思路分析：与焦点三角形1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式 .11相结合的方法进行计算解题。将有关线段，有关角

6、I二（-丨 -）结合起5. 求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根 据定义确定方程。6. 共焦点的椭圆标准方程形式上的差异9.如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系?长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率因为 1，二-一，用二表示为显然：当越小时， 越大，椭圆形状越扁；当 越大， 越小，椭圆形状越趋近于圆题型1:椭圆定义的运用来，建立厂、厂之间的关系.例1.已知 I为椭圆I的两个焦点，过E的直线交椭圆于A B两

7、点若| ，则例2.如果方程Li表示焦点在x轴的椭圆，那么实数k的取值范围是.例3.已知二为椭圆 | 上的一点，一分别为圆 I和圆 1上的点，贝V _1的最小值为题型2:求椭圆的标准方程例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1) 经过两点1;(2) 经过点(2 , - 3)且与椭圆 具有共同的焦点；(3) 一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为一4.题型3:求椭圆的离心率例1、|中，丨 若以为焦点的椭圆经过点，则椭圆的离心率为例2、过椭圆的一个焦点作椭圆长轴的垂线交椭圆于P,若 I为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 题型4:椭圆的其他几何性质的运用(范围、对称性

8、等)例1.已知实数.满足匕J ,则的范围为例2.已知点是椭圆 |( )上两点，且I贝y =题型5:焦点三角形问题例1.已知I为椭圆 n丨的两个焦点，p为椭圆上的一点，已知 L 为一个直角三角形的三个顶点，且，求|的值.例2.已知冋 为椭圆C: F 的两个焦点，在C上满足 的 点的个数为.例3.已知椭圆的焦点是亠I,且离心率. 求椭圆的方程；设点P在椭圆上，且，求1.题型6:三角代换的应用例1.椭圆|上的点到直线I: 的距离的最小值为.例2.椭圆I二.的内接矩形的面积的最大值为题型7:直线与椭圆的位置关系的判断离？例1.当为何值时，直线二，与椭圆二訂相交？相切？相例2.若直线 与椭圆.工丨 恒有

9、公共点，求实数 的取值范围；题型&弦长问题例1.求直线丄T被椭圆 匕訂 所截得的弦长.例2.已知椭圆一旦的左右焦点分别为F12，若过点P（ 0，-2 ）及Fl的直线交椭圆于两点，求/2的面积；题型9 :中点弦问题例1.求以椭圆I仝J 内的点A （2, -1 ）为中点的弦所在的直线方程。例2.中心在原点，一个焦点为亠I的椭圆截直线 所得弦 的中点横坐标为，求椭圆的方程.例3.椭圆与直线相交于A、B两点，点C是的中点.若二1，的斜率为目（0为原点），求椭圆二I日1的方程.AV ) 巩固训练B1.如图，椭圆中心在原点是左焦点,直线列与交于D,且则椭圆的离心率为时，二一的值为3. 椭圆 |的一条弦被|

10、空T平分,那么这条弦所在的直线方程是4. 若 为椭圆的两个焦点为椭圆上一点,若 =- ,则此椭圆的离心率为5. 在平面直角坐标系中，椭圆 X 的焦距为2c,以0为圆心， 为半径的圆，过点回 作圆的两切线互相垂直，则离心率| =双曲线基本知识点双曲线标准方程（焦点在回轴）1标准方程（焦点在囚轴）1 X *定义定义：平面内与两个定点二，目的距离的差的绝对值是常数 （小 于区）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。1 = 1HIP目回JJ范围三,凹对称轴|工轴，目轴；实轴长为口，虚轴长为口对称中心原点上j隹 占 八、八、坐标1-1焦点在实轴上，列；焦距：上1顶点坐标（因

11、,0 ）（ a,0）（0,西,）（0，日）离心率11渐近线方程Z1共渐近线_ZJ（凹）_2Sl（回）的双 曲线 系方 程直线 和双 曲线 的位 置双曲线巨J 与直线 wj的位置关系： 利用匚|转化为一元二次方程用判别式确定。一次方程一次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦的弦长补充知识点:等轴双曲线的主要性质有:（1）半实轴长=半虚轴长（一般而言是，但有 些地区教材版本不同，不一定用的是这两个字 母）；（2）其标准方程为 I ，其中F ;（3）离心率 I ;（4）渐近线：两条渐近线 土 x互相垂直；例题分析:例1、动点与点3与点三！ 满足 二，则点的轨迹方A.C.丨=1B. DE0D.X 1同步

12、练习一:如果双曲线的渐近线方程为a ,则离心率为A.勺B.弓C.勺或D. 3例2、已知双曲线回的离心率为2，贝心的范围为(A.B.C.D.程为()同步练习二:双曲线IE的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离( )心率为.例3、设 是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为J-i, I分别是双曲线的左、右焦点，若 Q ,贝V旦的值为.同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为匚口 ，且经过点I ,则双曲线的标准方程为 。例4、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是 ()(A) I 2=1 和 I 1 (B) I 2=1 和 y2 I 1(C)y 2 I 1 和 x2 1(D) I 2=1 和 E

13、 目 1同步练习四:已知双曲线的中心在原点，两个焦点田分别为 和丨，点 在双曲线上且,且 的面积为1,则双曲线的方程为()A.B. EC.D. 例5、与双曲线 _ 有共同的渐近线，且经过点 A 二I的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是()(A) 8( B) 4(C) 2( D) 1同步练习五:以二 为渐近线，一个焦点是 F (0, 2)的双曲线方 程为.例6、下列方程中，以x20为渐近线的双曲线方程是 (A)同步练习六:双曲线822=8的一个焦点是(0 , 3)，那么k的值是例7、经过双曲线三|的右焦点F2作倾斜角为30的弦，(1) 求.(2) F1是双曲线的左焦点，求 F1的周长.同步练习

14、七过点(0, 3)的直线I与双曲线1= 只有一个公共 点，求直线I的方程。高考真题分析1.【2012咼考新课标文10】等轴双曲线凶的中心在原点，焦点在日轴上，凶与抛物线耳 的准线交于 习两点，=1;贝卩凶的实轴长为（)2d_js_j a2.【2012咼考山东文11】已知双曲线到：=|的离心率为2.若抛物线一1的焦点到双曲线21的渐近线的距离为2,则抛物线切的方程为(A)叵(B) H(C) S(D)3.【2012高考全国文10】已知目、因为双曲线的左、右隹占八、八、点刚在凶上，一1，贝UX 1(A)寸(B)(C)勺(D)4. （2011年咼考湖南卷文科6）设双曲线k .的渐近线方程为三J贝心的值

15、为（）A. 4 B . 3 C . 2 D . 15.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系中，若双曲线II血：I的离心率为 ，则 的值为.抛物线1y、Oxl定义平面内与一个疋点日和一条疋直线的距离相等的点的轨迹叫 做抛物线的焦点，直线：叫做抛物线的准线。冋=点M到直线的距离做抛物线，点日叫范围1 -*- 1【X 11 K 1r = I对称性关于轴对称关于日轴对称焦占八、八、(勺,0)(目,0)(0,勺)(0,凶)焦点在对称轴上顶点L2S1离心率=1准线 方程S0s0准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准 线的距离-焦点到准 线的距离J焦半径LH1H1CBJHJBl焦点弦长到1 一 |LJ1 一 1抛 物 线Eawia-yl一X0i,即 EII直线 ，抛物线 , 由二_| ，消y得:+2(幼-p)x+护=0(1) 当0时，直线 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；(2) 当kz 0时， 0,直线 与抛物线相交，两个不同交点； =0,直线 与抛物线相切，一个切点； v 0,直线 与抛物线相离，无公共点。(3) 若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗(不一定)1、关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线：:抛物线 , 联立方程法：|x|11设