2019高数(下)试题及答案

1、第二学期期末考试试卷一、填空题(每空3分，共15分)-日4*、一-1 .已知向量 a =(1,-1,4),b =(3,4,0)，则以 a,b为边的平行四边形的面积等于12 .曲面 z = sinxcosy在点 一, 一,一 |4 4 2的切平面方程是2 23 .父换积分次序 d dxf f(x, y)dy=.0 x ，时收敛.14 .对于级数Z -n- (a>0),当a满足条件n =1 a15 .函数y=展开成x的吊级数为2 x二、单项选择题(每小题3分，共15分)1 .平面x-2z=0的位置是()(A)通过y轴(B)通过x轴(C)垂直于y轴(D)平行于xoz平面2 .函数z = f (

2、 x, y)在点(x0, y0 )处具有偏导数fx ( x0, y0)，fy'( x0, y0),是函数在该点可微分的( )(A)充要条件(B)充分但非必要条件(C)必要但非充分条件(D)既非充分又非必要条件3 .设2= ex(cosy+ xsiny),贝U dZx=1 =()y =0(A) e(B) e(dx+dy)(C) e_1(dx+ dy)(D) ex(dx+dy)4 .若级数a 2八乂-1在乂= -1处收敛， n =1则此级数在x = 2处()(A)敛散性不确定(B)发散(C)条件收敛(D)绝对收敛5 .微分方程y'-xy= x的通解是()1x2x2(A) y=e2

3、-1(B) y = e 2 -1一、- 1x2(C) y= Ce 2三、(本题满分8分)1 2x(D) y=Ce2 -1设平面通过点(3,1,-2),而且通过直线x - 4 y 3 z=一,521求该平面方程.四、(本题满分8分)设z= f ( xy,x + y),其中f ( u,v)具有二阶连续偏导数,Z <2 2z试求和.Li1x x y五、(本题满分8分)计算三重积分 y =zdxdydz,Q其中 Ox, y,z)0M x 1,1 y 1,1 zW2>.六、(本题满分8分)计算对弧长的曲线积分 Le T2ds,其中L是圆周x2+ y2= R2在第一象限的部分.七、（本题满分9

4、分）计算曲面积分 Xd xdydz+ zdzdx+ 3dxdy,其中Z是柱面x2 + y2 = 1与平面z= 0和z = 1所围成的边界曲面外侧.八、（本题满分9分）求哥级数工nxn-1的收敛域及和函数.九、（本题满分9分）求微分方程y" - 4 y = ex的通解.十、（本题满分11分）设L是上半平面（y>0）内的有向分段光滑曲线,其起点为（1,2 ）,终点为（2,3 ）,口，212 x记 I xy dx | x y - - dyL yy21 .证明曲线积分I与路径L无关;2 .求I的值.第二学期期末考试试卷及答案一、填空题（每空3分，共15分）4i-1.已知向量 a = （

5、1,-1,4）,b = （3,4,0 ），则以 a,b为边的平行四边形的面积等于、病 .» 一二二1乩2.曲面z=sinxcosy在点 I 一，一，一 I处4 4 2的切平面方程是x - y - 2z 1 = 0 ._、222 y3 .交换积分次序 d dxf f(x, y)dy= d dyf f(x, y)dx .0 x0014 .对于级数2n (a> 0),当a满足条件a > 1 时收敛.n =1 a15 .函数y=展开成x的吊级数2 - xn X为 FT 2 X 2.2n+1二、单项选择题(每小题3分，共15分)1 .平面x-2z=0的位置是( A )(A)通过y轴

6、(B)通过x轴(C)垂直于y轴(D)平行于xoz平面2 .函数z = f ( x, y)在点(x0, y0 )处具有偏导数fx ( x0, y0)，fy'( x0, y0),是函数在该点可微分的(C )(A)充要条件(B)充分但非必要条件(C)必要但非充分条件(D)既非充分又非必要条件3 .设z = ex(cosy + xsiny),贝U dz|xw =( y=0(A) e(B) e(dx+dy)(C) e1(dx+dy)(D) ex(dx+dy)4.若级数£ an(x-1)n在x= -1处收敛， n =d则此级数在x = 2处( D(D)绝对收敛(C)条件收敛5.微分方程y

7、'-xy= x的通解是(D )12X(A) y = e2 - 112_一 X(B) y = e 2 - 112-X(C) y= Ce 212x(D) y=Ce21三、(本题满分8分)设平面通过点(3,1,-2),而且通过直线x - 4 y 3 z=-=,求该平面方程. 521解：由于平面通过点 A(3,1,-2)及直线上的点B(4,-3,0),因而向量AB = (1,-4,2 )平行于该平面。该平面的法向量为：I4n = (5,2,1) (1, 4,2) = (8, 9, 22).则平面方程为：8(x - 4) - 9(y 3) - 22(z- 0) = 0.或：8(x- 3) - 9

8、(y- 1)- 22(z 2) = 0.即：8x 9y- 22z 59= 0.四、(本题满分8分)设2= f( x,y仅)yM中f( q V具有二阶连续偏导数,、:z 2 z 试求和.x x y在R -z解：一二 f1y f2, 12x2_ 二 ziyf2 =fi ix fi 2 yfi=xyfix y jf f2五、（本题满分8分）计算三重积分 y :zdxdydz,其中(x, y,z)0wxw1,-1w yw1,1wzw2.112z2解：zdxdyd 0dx _1dy1zdz=2：2八、（本题满分8分）计算对弧长的曲线积分其中L是圆周x2 + y2R2在第一象限的部分.x2 yy2y ds

9、 二R2x2R .x dx=Re arcsin RRe 2解法二:Le x2 y2ds =/eRds= eR L ( L的弧长) L兀Re 2解法三：ax=RcoS, y=Rsin, 0wew 2x2 y2Le y ds =2eRRd=一ReR七、（本题满分9分）计算曲面积分xdydz+ zdzdx+ 3dxdy,其中 工是柱面x2十y2 = 1与平面z= 0和z= 1所围成的边界曲面外侧.解：P = x,Q = z,R= 3,由高斯公式：Wxdydz zdzdx dx dyP Q R二1i十- d v =d v兀二cl" 八、（本题满分9分）qQ求哥级数工nxn1的收敛域及和函数.

10、解：收敛半径：R=lim Sn- =1n Tan 1易判断当x= ±1时，原级数发散。于是收敛域为 -1,100 一, f 8 一、 x x s(x)=£nx =|£x | =n =1n =11 - x九、（本题满分9分）求微分方程y - 4y = ex的通解.解：特征方程为：r2-4=0特征根为：r = 2,r = 2y -4y= 0的通解为：Y = C1e2x + C2e-2x设原方程的一个特解为：y = Aex,1A - 4A ex = ex-3A = 1A =3、，“一1 V二原方程的一个特解为：y* = -ex3故原方程的一个通解为：1y = Y y = C1e2x C2e- gex十、（本题满分11分）设L是上半平面（y>0）内的有向分段光滑曲线，其起点为（1,2）,终点为（2,3）,记 I =Jxy2+1dxJx2y-O：dyLi y) y y)1 .证明曲线积分I与路径L无关;2 .求I的值.证明1:因为上半平面G是单连通域，在 G内:2 x y y21P(x, y)=xy + ，Q(x,y)=x y有连续偏导数，且：P1Q °12xy2xyyyx y所以曲线积分I与路径L无